2020-2021学年苏教版必修五简单的线性规划问题学案

1、第1课时简单的线性规划问1. 了解线性规划的意义.2.掌握简单的二元线性规划问题的解法.研读思考尝试学生用书 P551)线性规划的有关概念名称定义约朿条件由变量 x, y 组成的不等式(方程)组线性约束条件由变量 y 组成的一次不等式(方程)组目标函数关于 x, y 的函数解析式线性目标函数关于 x, y 的一次函数解析式可行解满足线性约朿条件的解( y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称线性规划问题1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“ J”，错误的打X”)(1) 可行域是一个封闭的区域.(

2、)(2) 在线性约束条件下，最优解是唯一的.()(3) 最优解一定是可行解，但可行解不一泄是最优解.()(4) 线性规划问题一上存在最优解.()解析：(1)错误.可行域是约束条件表示的平而区域，不一上是封闭的.(2) 错误.在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解, 故该说法错误.(3) 正确满足线性约朿条件的解称为可行解，但不一泄是最优解，只有使目标函数取得最大 值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解.(4) 错误.线性规划问题不一左存在可行解，存在可行解也不一泄存在最优解，故该说法是错 误的.答案：X X V X40,2. 若 舜 0,则z=

3、xy的最大值为_.x+yWl,解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.令 z=0,作直线：y-v=0.当直线 向下平移时，所对应的 z=.Y-y 的函数值随之增大，当直线经过可行域的顶点 M 时，z=.Y-y 取 北+卩=1,得最大值.顶点是直线 x+y=l 与直线 y=0 的交点，解方程组最大值等于_ .解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，丹指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为仔匚？=住，最长为 7+3=血.答案：2 V10法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由 z=.r-2y 得尸芬 作直线 y =$并平移，观察可知，当直线经过点月(3, 4)时，总

4、=32X4=-5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得， 易求得边界点分别为(3, 4), (1,2),(3. 0),依次代入目标函数可求得c=-5.【答案】(1)4(2)-5解线性规划问题的基本步骤(1) 画：画出线性约束条件所表示的可行域.(2) 移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截 距最大或最小的直线.(3) 求：通过解方程组求出最优解.(4) 答：根据所求得的最优解得岀答案.%+2y8W0,1已知 x, y 满足x-4y+4W0,求 z=3x+y 的最大值和最小值.解：作出已知不等式组所表示的平而区

5、域，如图中的阴影部分所示.由于目标函数为 z=3x+y.令3x+y=0,作直线厶：3x+y=0解感探究突破(1)若y 满足求线性目标函数的最大(小)值学生用书 P552-v卄応 3,则 2 卄 y 的最大值为_ .(2)若y 满足约束条件 Sxy+lO,x+ y 3 2 0,则Z=x2y 的最小值为.一 3W0,【解析】(1)不等式组 s2.Yx+)W3,表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界), Q0故当目标函数 z=2 龙+y 经过点川 1,2)时，Z 取得最大值，茲=2X1+ 2 = 4.平行移动直线厶至直线厶从图形中不难发现，当直线经过平而区域内的点方时，直线所对 应的 Z值最小；当直

6、线 2 经过平而区域内的点月时，直线所对应的 z 值最大.x4y+4=0,解方程组)A得点万的坐标为(0, 1),k+2y8=0,所以 s=3X0+l = l 解方程组丿1.A得点的坐标为(4, 2),所以 益=3X4+21*一 4 卄 4 = 0,= 14.故满足条件的Z的最大值为 14,最小值为 1.求非线性目标函数的最值学生用书 P56设实数y 满足 L+2y-4M0,求乂的最大值.x.2y3W0,【解】如图，画岀不等式组表示的平面区域ABC，令其几何意义是可行域遊内任一点(弘 y)与原点相连的直线1的斜率为 S 则 u=h由图形可知，当直线么经过可行域内的点 Q 时，u 最大,非线性目

7、标函数最值问题的求解方法解决非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距 离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线的斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到 事半功倍的效果.(2)常见代数式的几何意义主要有:1Qf+卩表示点(*, y)与原点(0, 0)的距离：yj(.Ya):+ (yZ):表示点(ASy)与点(a, b)的距离.2乂表示点(x, y)与原点(0, 0)连线的斜率：口表示点 y)与点 Q, b)连线的斜率.这些xx a代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.y+220,2已知+尸一 4 鼻 0,求：2x5W0.(1)z=x

8、+y 10y+25 的最小值；解：作岀可行域如图阴影部分所示，并求出顶点的坐标川 1, 3)、5(3, 1). C(7, 9).(1) z=Y4-(y-5)2表示可行域内任一点 Fbr, y)到定点 M(0, 5)的距离的平方炉，过作直9线 EC 的垂线，易知垂足 A在线段/1C 上，故 z 的最小值是.IA?=|.厂(-(A(2) z=2：_i)表示可行域内任一点 Pg y)与泄点一計连线的斜率曲的两倍,723 7因为屆=$妬=，故 Z 的范用为- -.已知目标函数的最值求参数问题学生用书 P56宀，设分 1,在约朿条件”妙，下，目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则加的值为_ .x+y

9、Wl3所以山：=夕所以 g)-vmax32*(2) z=2y+lx+l的范乱x+2y4 = 0,2 卩一 3=0,【解析】作岀可行域.把目标函数化为 y=-|x+|显然只有尸一$+学在 y 轴上的截距最大时 z 值最大，根据图y=mx,flm15 加形，目标函数在点乂处取得最大值，叫 + =得彳匸口，币讣 代入目标函数，即7；+ =4,解得 20=3.【答案】3根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合法，先画岀可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得最值的直线， 它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件， 即可求出参数的 值或范围.0 x+)W4,

10、3.已知变量0)仅在点(3,2Wx)W2.1)处取得最大值，求实数曰的取值范围.解：由约朿条件画出可行域，如图所示，点 C 的坐标为(3, 1).因为目标函数仅在点 C(3, 1)处取得最大值，所以一 a，即一 a 1.所以实数 a 的取值范用是(1, +8).1. 准确理解线性规划的有关概念(1) 线性约束条件包括两点：一是关于变量 x, y 的不等式(或等式)，二是次数为 1.(2) 目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量的次数上作了严格的限定： 一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.(3) 可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的平而区域(或

11、其内部一些点)， 可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域.2. b 的符号对目标函数z=ax+by(bQ)函数值的变化趋势的影响将函数 z=”+(bH0)变形为 y=-jr+|,它表示斜率为一务在 y 轴上的截距为自并随 z 变化的一族平行直线.(1)把直线几：ax+by=0 向上平移时，在 y 轴上的截距彳逐渐增大.当 40 时，z 的值逐渐增大；当从 0 时，z 的值逐渐减小.(2)把直线厶：ax+by=0 向下平移时，在 y 轴上的截距鼻逐渐减小.当 40 时，z 的值逐渐减小；当从 0 时，z 的值逐渐增大.设实数 X, y 满足不等式组(1) 画岀点(X, y)所在平而区

12、域：(2) 设 0 1,在(1)所求的区域内，求函数的最大值和最小值.解(1)已知不等式组等价于 y+222y3,或 y+223 2x,2x-30,2-Y3一 1,所以当直线过顶点 C 时，z 最大.因为 C 点的坐标为(一 3, 7).所以 z 的最大值为 7 + 3a.如果一：KaW2,那么当直线过顶点 J(2, 一 1)时，z 最小，最小值为一 l-2a.如果 a2,那 么当直线2 过顶点 5(3, 1)时，z 最小，最小值为 1 一 3a.去掉绝对值号时，容易漏掉加一 3一 1 时，在求 z=y-ax 的最 值时，不去进一步讨论，导致失分.(2)求解参数与斜率有关的问题时，可先作岀线性

13、约束条件所表示的平而区域，充分利用斜率 的特征加以转化，一般情况下需分类讨论，如本题中可将条件 a-l 分为一 l2 两种情 况分别求目标函数的最小值，经讨论求解的结果才是完整的答案.1. 若 0WxWl, 0WyW2,且 2y-xMl,则z=2y-2x+4 的最小值为_.解析：画出可行域(图略)，易知 z=2y-2 卄 4 的最小值在点(1, 1)处取到,盛=4.答案：4x+yN2,2. 已知实数 x, y 满足0,解析：可行域（如图所示）是四边形沁及英内部的区域.作出厶：6 卄 8 尸 0 即 3x+4y=0, 平移直线厶到/的位豊，由图形知，当 2 过点 CO, 5）时，z 取得最大值.

14、答案：（0, 5）x+y21,5.若 x,y 满足约朿条件*一卩 2 1，目标函数 z=ax+2y 仅在点（1, 0）处取得最小值，则 a的取值范围是_ .解析：作出可行域（图略），宜线 n+2y=z 仅在点（1, 0）处取得最小值，由图象可知一 1一号2,即一 4a),则其表示的平面区域如图阴影部分所示，其中月 G，另，求 a+b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z=a+b的最值的线性规划问题，作直线a+b=Q.并且平移使它通 过可行域内的*点,L此时z=a+b取得最大值为刍LB 能力提升+炸 2,1.若变虹，卩满足忖一 3 応 9,则 Y+y 的最大值是_.解析：不等式组表示的平而区域

15、如图中阴影部分所示，其中川 0, 3),5(3, -1), CO, 2),显然在点万处空+F 取得最大值 10.答案：102._ 若变虽x, y 满足约束条件 x +pW4,且z=2x+y的最小值为一 6,贝 9 ：=_.yPk,解：因为 1 在0, 1上恒成立，所以b叫 2a+b - 2W0,将 a.解析：作岀不等式组表示的平而区域，如图中阴影部分所示，z=2x+y,则y=-2x+z.易知当直线 y=-2x+zil 点幻时，z=2x+y 取得最小值， 即 3=6,所以k=-2.答案：-2&一 2y+4$0,3._ 已知实数 x, y 满足*x+y-220,则+的取值范围是_ .3x-y-3W0,解析：不等式组所表示的平而区域是以点(0, 2), (L 0), (2, 3)为顶点的三角形及其内部,94如图所示.因为原点到直线 2x+y-2 = 0 的距离为书