平行四边形的性质及判定典型例题

1、平行四边形的性质及判定 （典型例题）1平行四边形及其性质例1 如图，o是abcd对角线的交点obc的周长为59，bd=38，ac=24，则ad=_若obc与oab的周长之差为15，则ab=abcd的周长=_.分析：ac，可得bc，再由平行四边形对边相等知ad=bc，由平行四边形的对角线互相平分，可知obc与oab的周长之差就为bc与ab之差，可得ab，进而可得abcd的周长对角线互相平分)obc的周长=obocec=1912bc=59bc=28abcd中，bc=ad(平行四边形对边相等)ad=28obc的周长-oab的周长=(obocbc)-(oboa+ab)=bc-ab=15ab=13abc

2、d的周长=abbccdad=2(abbc)=2(1328)=82说明：本题条件中的“obc占oab的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即bc与ab之差是15例2 判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形 ( )(2)平行四边形的两角相等 ( )(3)平行四边形的两条对角线相等 ( )(4)平行四边形的两条对角线互相平分 ( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离 ( )(6)平行四边形的邻角互补 ( )分析：根据平行四边形的定义和性质判断解：(1)错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边如图四边

3、形abcd，两条对边adbc显然四边形abcd不是平行四边形(2)错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分”一般地不相等(矩形的两条对角线相等)(4)对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知平行四边形的邻角互补例3 如图1，在abcd中，e、f是ac上的两点且ae=cf求证：

4、edbf分析：欲址debf，只需dec=afb,转证=abfcdf,因abcd，则有abcd，从而有bac=cda再由af=cf得af=ce满足了三角形全等的条件证明：ae=cfae+ef=cf+efaf=ce在abcd中abcd(平行四边形的对边平行)bac=dca(两直线平行内错角相等)ab=cd(平行四边形的对边也相等)abfcde(sas)afb=dceedbf(内错角相等两直线平行)说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理例4 如图已知在abc中debcfg，若bd=af、求证；defg=bc分析1：要证defg=dc由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质考虑将de

5、平移列bc上为此，过e(或d)作ehab(或dmac)，得到de=bh、只需证hc=fg，因af=bd=eh，ceh=a.agfc所以afgehc此方法称为截长法分析2：过c点作ckab交de的延长线于k，只需证fg=ek，转证afgcke证法1：过e作ehab交于hdebc四边形dbhe是平行四边形(平行四边形定义)db=ehde=bh(平行四边形对边也相等)又bd=afaf=ehbcfgagf=c(两直线平行同位角相等)同理 a=cehafgehc(aas)fg=hcbc=bh+hc=de=fg即ce+fg=bd证法2：. 过c作ckab交de的延长线于k.debc四边形dbck是平行四边

6、形(平行四边形定义)ck=bd dk=bc(平行四边形对边相等)又bd=afaf=ckckaba=eck(两直线平行内错角相等)bcfgagf=aed(两直线平行同位角相等)又cek=aed(对顶角相等)agf=cekafgcke(aas)fg=ekde+ek=bcde+fg=bc例5 如图abcd中，abc=3a，点e在cd上,ce=1，efcd交cb延长线于f，若ad=1，求bf的长分析： 根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得c=f=45°进而由勾股定理求出cf，再根据平行四边形对边相等，得bf的长解： 在abcd中，adbcaabc=180°(两直线平行同旁内角互补

7、)abc=3aa=45°，abc=135°c=a=45°(平行四边形的对角相等)efcdf=45°(直角三角形两锐角互余)ef=ce=1ad=bc=1例6 如图1，abcd中，对角线ac长为10cm，cab=30°，ab长为6cm，求abcd的面积解： 过点c作chab，交ab的延长线于点h(图2)cab=30°sabcdab·ch6×5=30(cm2)答：abcd的面积为30cm2说明： 由于=底×高，题设中已知ab的长，须求出与底ab相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点d的高，故选择过点c作高

8、例7 如图，e、f分别在abcd的边cd、bc上，且efbd求证：sace=sabf分析： 运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形证明：将ef向两边延长分别交ad、ab的延长线于g、h.abcd deabdeg=bhf(两直线平行同位角相等)gde=dab(同上)adbcdab=fbh(同上)gde=fbhdebh，dbeh四边形bhed是平行四边形de=bh(平行四边形对边相等)gdefbh(asa)sgde=sfbh(全等三角形面积相等)ge=fh(全等三角形对应边相等)sace=safh(等底同高的三角形面积相等)sadesabf说明：平行四边形的面积等于它的底和

9、高的积即s=a·haa可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a例8 如图，在abcd中，be平分b交cd于点e，df平分d交ab于点f，求证bf=de证明：四边形abcd是平行四边形defb，abc=adc(平行四边形的对边也平行对角相等)1=3(两直线平行内错角相等)1=22=3dfbe(同位角相等两条直线平行)四边形bedf为平行四边形(平行四边形定义)bf=de(平行四边形的对边相等)说明： 此例也可通过adfcbe来证明，但不如上面的方法简捷例9 如图，cd的rtabc斜边ab上的高，ae平分bac交c

10、d于e，efab，交bc于点f，求证ce=bf分析 作egbc，交ab于g，易得eg=bf再由基本图，可得eg=ec，从而得出结论证明：过e点作egbc交ab于g点ega=befabeg=bfcd为rtabc斜边ab上的高bacb=90°bacacd90°b=acdacd=egaae平分bac1=2又ae=aeageace(aas)ce=egce=bf说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用(2)本题也可以设法平移ae(连f点作fgae，交ab于g)例10 如图，已知abcd的周长为32cm，abbc=53，aebc于e，afdc于f，eaf=2c，求ae和a

11、f的长分析：从化简条件开始由abcd的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长eaf=2c告诉我们什么？这样，立即可以看出adf、aeb都是有一个锐角为30°的直角三角形再由勾股定理求出解：abcd的周长为32cm即ab+bc+cd+da=32ab=cd bc=da(平行四边形的对边相等)又abbc=53eaf+afc+c+cea=360°(四边形内角和等于360°)aebc aec=90°afdc afc=90°eaf+c=180°eaf=2cc=60°abcd(平行四边形的对边平行)abe=c=60°(两直线

12、平行同位角相等)同理adf=60°说明： 化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始它虽简单，却很有效 2平行四边形的判定例1 填空题(1)如图1，四边形abcd与四边形befc都是平行四边形，则四边形aefd是_，理由是_(2) 如图2，d、e分别在abc的边ab、ac上，de=ef，ae=ec，debc则四边形adcf是_，理由是_，四边形bcfd是_，理由是_分析： 判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得ad平行且等于bc

13、，bc平行且等于ef，从而得ad平行且等于ef，由判定定理4可得(2)由ae=ec，de=ef，由判定定理3可得四边形adcf是平行四边形，从而得adcf即bdcf，再由条件，可得四边形bcfd是平行四边形解： (1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形说明： 平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法例2 如图，四边形abcd中，ab=cdadb=cbd=90°求证：四边形abcd是平行四边形分析：

14、判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法证法一：ab=cdadb=cbd=90°，bd=dbrtabdrtcdbabd=cdb，a=cabd+cbd=cdb+adb即 abc=cda四边形abcd是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)证法二：adb=cbd=90°，ab=cd、bd=dbrtabdrtcdbabd=cdbabcd(内错角相等两直线平行)四边形abcd是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)证法三：由证法一知，rtabdrt

15、cdbda=bc又ab=cd四边形abcd是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)说明： 证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明例3 如图，abcd中，e、g、f、h分别是四条边上的点，且ae=cf，bg=dh，求证：ef与gh互相平分分析： 只须证明egfh为平行四边形证明： 连结eg、gf、fh、he四边形abcd是平行四边形a=c，ad=cbbg=dhah=cg又ae=cfaehcfg(sas)he=gf同理可得 eg=fh四边形egfh是平行四边形(两组对边

16、分别相等的四边形是平行四边形)ef与gh互相平分(平行四边形的对角线互相平分)说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法例4 如图，abcd中，aebd于e，cfbd于f求证：四边形aecf是平行四边形分析：由平行四边形的性质，可得abecdfae= cf进而可得四边形aecf是平行四边形证明：abcd中，abcd(平行四边形的对边平行，对边相等)abd=cdb(两直线平行内错角相等)aebd、cfbdaecfaeb=cfd=90°abecdf(aas)ae=cf四边形aecf是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)说明：平行四边形的定义，既是

17、平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法例5 如图，abcd中，e、f分别在ad、bc上，且ae=cf，af、be相交于g，ce、df相交于h求证：ef与gh互相平分分析： 欲证ef与gh互相平分，只需四边形egfh为平行四边形，利用已知条件可知四边形afce、四边形ebfd都为平行四边形，所以可得afec，bedf，从而四边形gehf为平行四边形证明：abcd中，adbc(平行四边形对边平行且相等)ae=cfde=bf四边形afce、四边形bfde是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平形四边形)afce，bedf(平行四边形对边平行)四边形egfh是平行四边形(两组对边分别平

18、行的四边形是平行四边形)gh与ef互相平分(平行四边形的对角线互相平分)说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明例6 如图，已知abcd中，ef在bd上，且be=df，点g、h在ad、cb上，且有ag=ch，gh与bd交于点o，求证eghf分析：证ef、gh互相平分gehf为平行四边形证明：连bg、dh、gf、ehabcd为平行四边形adbc又ag=hcdgbh四边形bgdh为平行四边形(一

19、组对边平行且相等的四边形是平行四边形)hogo，do=bo(平行四边形的对角线互相平分)又be=dfoe=of四边形gehf为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)eghf(平行四边形的对边平行相等)说明： 由于条件be=df涉及到对角线bd，所以考虑用对角线互相平分来证明例7 如图，abcd中，aebd于e，cfbd于f，g、h分别为ad、bc的中点，求证：ef和gh互相平分分析： 连结eh，hf、fg、ge，只须证明ehfg为平行四边形证法一：连结eh，hf、fg、geaebd，g是ad中点ged=gde同理可得四边形abcd是平行四边形adbc，gde=hbfge=hf，ged=hfbgehf四边形gehf为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形