广州市普通高中毕业班综合测试二理科数学试卷及答案

1、试卷类型：a2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2014.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2b铅笔将试卷类型（a）填涂在答题卡相应位置上.2选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

2、上要求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若复数满足 i，其中i为虚数单位，则的虚部为 a b ci di 2若函数是函数的反函数，则的值为 a b c d 3命题“对任意r，都有”的否定是 a存在r，使得 b不存在r，使得 c存在r，使得 d对任意r，都有 4. 将函数r的图象向左平移

3、个单位长度后得到函数 ，则函数 a是奇函数 b是偶函数 c既是奇函数又是偶函数 d既不是奇函数，也不是偶函数 5有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 a b c d 6设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段 的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为 a b c d7一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为 a b c d第1列第2列第3列第4列第5列第1行第2行第3行第4行第5行8将正偶数按表的方式进行 排列，记表示第行第列的数，若，则的值为 a b c d 表1 二、填空题：本大题共7小题，考

4、生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9不等式的解集为 .10已知的展开式的常数项是第项，则正整数的值为 .11已知四边形是边长为的正方形，若，则的值 为 .12设满足约束条件 若目标函数的最大值 为，则的最大值为 . 13已知表示不超过的最大整数，例如.设函数， 当n时，函数的值域为集合，则中的元素个数为 .（二）选做题（1415题，考生从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与 圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为 .15（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在线段上，且 ，连接，与相交于点，若的面积为 cm，则 的面积为 c

5、m.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分） 如图2，在中，是边的中点，且，. (1) 求的值； （2）求的值. 图17（本小题满分12分） 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图. （1）求的值； （2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.） （3）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.18（本

6、小题满分14分） 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面， ，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值. 图19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，对任意n，都有. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和.20（本小题满分14分）已知定点和直线，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.(1) 求曲线的方程;(2) 若点的坐标为, 直线r，且与曲线相交于两点，直线分别交直线于点. 试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21（本小题满分14分） 已知函数r在点处的切线方程为. （1）求的值；

7、（2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：当n，且时，.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累

8、加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案abcbcdac 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9 10 11 12 13 14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（1）解：在中，. 4分（2）解：由（1）知，且， . 6分是边的中点， . 在中，8分 解得. 10分 由正弦定理得， 11分 . 12分17（本小题满分12分） (1) 解：

9、由题意，得， 1分 解得. 2分（2）解：个样本小球重量的平均值为（克）. 3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克. 4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则. 5分 的取值为， 6分 ， ，. 10分 的分布列为： 11分. 12分 （或者）18（本小题满分14分）（1）证明：取的中点，连接，则， 平面，平面，平面平面， ，即. 1分 四边形是平行四边形. 2分 ，. 在rt中，又，得. . 3分 在中， ，. 4分，即.四边形是正方形，. 5分，平面，平面，平面. 6分（2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接， 则，. 由（1）

10、知，且， ，且. 四边形是平行四边形. ，且 .7分 由（1）知平面，又平面， . 8分 ，平面，平面， 平面. 9分 平面. 平面， . 10分 ，平面，平面， 平面. 11分 是直线与平面所成的角. 12分 在rt中，. 13分 直线与平面所成角的正切值为. 14分证法2：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接， 则，. 由（1）知，且， ，且. 四边形是平行四边形. ，且. 7分 由（1）知平面，又平面， . ，平面，平面， 平面. 平面. 8分 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则，. ，. 9分 设平面的法向量为，由， 得，得.

11、令，则平面的一个法向量为. 10分 设直线与平面所成角为， 则. 11分 ，. 13分 直线与平面所成角的正切值为. 14分19（本小题满分14分）（1）解法1：当时，1分 两式相减得， 3分 即，得. 5分 当时，即. 6分 数列是以为首项，公差为的等差数列. . 7分 解法2：由，得， 1分 整理得， 2分 两边同除以得，. 3分 数列是以为首项，公差为的等差数列. . . 4分 当时，. 5分 又适合上式， 6分 数列的通项公式为. 7分（2）解法1：， . 9分， 11分得. 13分 . 14分解法2：， . 9分.由， 11分两边对取导数得，. 12分令，得. 13分 . 14分20

12、（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离, 故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线. 1分 曲线的方程为. 2分解法2：设点的坐标为,依题意, 得, 即, 1分 化简得. 曲线的方程为. 2分 (2) 解法1: 设点的坐标分别为，依题意得，. 由消去得， 解得. . 3分 直线的斜率， 故直线的方程为. 4分 令，得， 点的坐标为. 5分 同理可得点的坐标为. 6分 . 7分. 8分设线段的中点坐标为， 则 . 9分 以线段为直径的圆的方程为. 10分 展开得. 11分 令，得，解得或. 12分 以线段为直径的圆恒过两个定点. 14分 解法2：由（1）得抛物

13、线的方程为. 设直线的方程为，点的坐标为， 由解得 点的坐标为. 3分由消去，得，即，解得或. 4分 ，.点的坐标为. 5分同理，设直线的方程为，则点的坐标为，点的坐标为. 6分点在直线上，. 7分又，得，化简得. 8分 设点是以线段为直径的圆上任意一点，则， 9分 得， 10分 整理得，. 11分 令，得，解得或. 12分 以线段为直径的圆恒过两个定点. 14分21（本小题满分14分）（1）解：， . 直线的斜率为，且过点， 1分 即解得. 3分（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于. 4分令，则. 5分令，则.当时，函数在上单调递增，故. 6分从而，当时，即函数在上单调递增， 故. 7分因此，当时，恒成立，则. 8分所求的取值范围是. 9分解法2：由（1）得. 当时，恒成立，即恒成立. 4分 令，则. 方程（）的判别式.（）当，即时，则时，得， 故函数在上单调递减. 由于， 则当时，即，与题设矛盾