复变函数习题总汇与参考答案稻谷书苑

1、复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若z1=（a, b）,z2=(c, d),则z1·z2=（c）a （ac+bd, a） b (ac-bd, b)c （ac-bd, ac+bd） d (ac+bd, bc-ad)2、若r>0，则n（，r）= z：（d）a |z|<r b 0<|z|<rc r<|z|<+ d |z|>r3、若z=x+iy, 则y=(d)a b c d4、若a= ，则 |a|=（c）a 3 b 0 c 1 d 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上

2、满足rez=4的点集为（ z=x+iy|x=4 ）3、（ 设e为点集，若它是开集，且是连通的，则e ）称为区域。4、设z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,)，则zn以zo为极限的充分必要条件是 xn=x0，且 yn=y0。三、计算题1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。解：re(-1-i)=-1 im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i的三角式。解：3、写出复数 的代数式。解：4、求根式 的值。解：四、证明题1、证明若 ，则a2+b2=1。证明：而 3、证明：证明：第2章 解析函数一、单项选择题1若f(z)= x2-y2+2xyi,则2、若f(z)=u(x,

3、 y)+iv(x,y), 则柯西黎曼条件为（d）a bc d3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（c）a 仅在点z=0解析 b 无处解析c 处处解析 d 在z=0不解析且在z0解析4、若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（c）a解析 b 可导c连续 d 不连续二、填空题1、若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点。2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。3、若f(z)=z2+2z+1，则 4、若 ，则 不存在。三、计算题：1、设f(z)=zre(z), 求解： =2、设f(z)=excosy+iexsiny,求解：

4、f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosy v=exsinyf(z)=u+ivf(z)在复平面解析，且 =excosy+iexsiny3、设f(z)=u+iv在区域g内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f(i)=0,试求f(z)。解：依c-r条件有vy=ux=3x2-3y2则v（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0c=1 f(z)=z3+i4、设f(z)=u+iv

5、在区域g内为解析函数，且满足u=2(x-1)y,f(2)=-i,试求f(z)。解：依c-r条件有vy=ux=2yv= =y2+(x) vx=(x)=v=y2-x2+2x+c(c为常数)f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i c=-1f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i四、证明题1、试在复平面讨论f(z)=iz的解析性。解：令f(z)=u+iv z=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y v=x于是ux=0 uy=-1vx=1 vy=0ux、uy、vx在复平面内处处连接又ux

6、=vy uy=-vx。f(z)=iz在复平面解析。2、试证：若函数f(z)在区域g内为解析函数，且满足条件（z）=0，zg，则f(z)在g内为常数。证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,zgf(z)在g内解析，ux=vy, uy=-vx又（z）=0, （z）=ux+ivxux=0 vx=0uy=-vx=0 ux=vy=0u为实常数c1，v也为实常数c2，f(z)=c1+ic2=z0f(z)在g内为常数。复变函数课程作业参考解答2第3章 初等函数一、单项选择题1. z = ( a ) 是根式函数的支点. (a) 0 (b) 1 (c) (d) i2. z = ( d ) 是函数的支点. (a)

7、 i (b) 2i (c) -1 (d) 03. ei =( b ). (a) e-1+e (b) cos1+isin1 (c) sin1 (d) cos14. sin1= ( a ) (a) (b) (c) (d) 二、填空题1. cosi = 2. = e(cos1+isin1)3. lni =4. ln(1+i) = k为整数.三、计算题1. 设z=x+iy，计算.解: = = 2. 设z = x+iy, 计算. 解: z = x+iy 3. 求方程的解.解: lnz = 由对数函数的定义有: z= 所给方程的解为z = i4. 求方程的解.解: =根据指数函数的定义有:z=n2+i 或

8、z=n(1+)四、证明题1. 试证: . 证明：根据正弦函数及余弦正数定义有： sin2z=2sinz·cosz2. 证明: . 证明: 令a= b=sinx+sin2x+sinnx = 第4章 解析函数的积分理论一、单项选择题1. ( d ) , c为起点在0 , 终点在1+i的直线段. (a) 0 (b) 1 (c) 2i (d) 2(1+i)2. . (a) 0 (b) 10 (c) i (d) 3. (a) i (b) 10 (c) 10i (d) 04. =( a ). (a) (b) (c) (d) 二、填空题1. 若与沿曲线c可积，则.2. 设l为曲线c的长度, 若f(

9、z)沿c可积, 且在c上满足,则.3. 4. 三、计算题1.计算积分,其中c为自0到2+i的直线段. 解: c的方程为: 其次由得 = =2. 计算积分. 解: = 作区域d:积分途径在d内被积函数的奇点z=2与z=3均不在d内,所以被积函数在d内解析.由定理4.2得:=03. 计算积分. 解: 奇点z=1和z=-1不在区域d,内 的三个根也不在d内 由定理4.2 得 =04. 计算积分, . 解: 由定理4.6得 四、证明题1. 计算积分，并由此证明. 证明：在圆域 |z|1内解析 = 另一方面,在圆|z|= =(实部和虚部为0) = = = = =0 而为偶函数0= = 复变函数课程作业参

10、考解答3第5章 解析函数的幂级数表示一、单项选择题1. 幂级数的收敛半径等于( b ) ( a ) 0 (b) 1 ( c ) 2 (d) 32. 点z=-1是f(z)=r ( b )级零点. ( a ) 1 (b)2 (c)3 (d)53. 级数的收敛圆为( d ). (a) | z-1|< 3 (b) |z|<3 (c) |z-1| >1 (d) |z| <14. 设f(z)在点a解析, 点b是f(z)的奇点中离点a最近的奇点,于是,使f(z)=成立的收敛圆的半径等于( c ). (a) a+b+1 (b) b-a+1(c) |a-b| (d) |a+b|二、填空题

11、1.级数1+z+的收敛圆r=+即整个复平面2.若f(z)= (k为常数),则z=m(m=0, )为f(z)的 1 级零点. 3.幂有数的收敛半径等于 0 . 4.z=0是f(z)=ez-1的 1 级零点. 三、计算题 1.将函数f(z)=在点z=0展开幂级数. 解: f(z)= =- 2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解：而(1-z)-1= = 3将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数. 解：f(z)=(z+2)-1= = 4将函数f(z)=ez在点z=1展开成幂级数. 解： f(z)=ez f(n)=ez 四、证明题 1证明:1-ei2z=-2isin

12、zeiz 证：eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinz eiz-e-iz=2isinz -2isinz=-( eiz-e-iz) = eiz-e-iz -2isinz eiz=( e-iz- eiz) eiz =e0- e2iz=1- e2iz2试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos2z-sin2z 证f1(z)=cos2z,则f1(z)复平面g解析设f2(z)coszsin2，则f2(z)也在整个复平面g解析取e=k为实数轴,则e在g内有聚点.当e为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z)由解析函数唯一性定理,由以上三条知f1

13、(z)= f2(z) 成立即cos2z= cos2z-sin2z 第6章 解析函数的罗朗级数表示 一、单项选择题 1函数f(z)=在点z=2的去心邻域( d ) 内可展成罗朗级数. (a) 0< (b) 0< (c) 1< (d) 0< 2设点为f(z)的孤立奇点，若=c，则点为f(z)的( c ). (a) 本性奇点 (b) 极点 (c) 可去奇点 (d) 解析点 3若点为函数f(z)的孤立奇点，则点为f(z)的极点的充分必要条件是( d ). (a) f(z)=c() (b) f(z)= (c) f(z)=c() (d) f(z)= 4若点为函数f(z)的孤立奇点，

14、则点为f(z)的本性奇点的充要条件是（ b ）. (a) f(z)= c() (b) f(z)不存在 (c) f(z)=c() (d) f(z)= 二、填空题 1设为函数f(z)在点的罗朗级数,称为该级数的主要部分. 2.设点为函数f(z)的奇点,若f(z)在点的某个 某个去心邻域内解析,则称点为f(z)的孤立奇点. 3.若f(z)=，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= 则z=0为f(z)的一个极点. 4.若f(z)=(sin)-1,则点z0为f(z)非孤立 奇点. 三、计算题1将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.解: f(z)=- =- 2将函数f(z)在点的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)= 3试求函数f(z)=z-3·sinz3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 解析,无奇点,f(z)的有限