《二次函数和反比例函数》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

1、二次函数和反比例函数全章复习与巩固一知识讲解（提高）撰稿：杜少波 审稿：张晓新【学习目标】1. 理解并掌握二次函数及反比例函数的概念；2. 会用描点法画出二次函数及反比例函数的图象，能从图象上认识函数的性质；3. 熟练记忆二次函数及反比例函数的性质，并用来解决问题；4. 会用待定系数法求二次函数及反比例函数的解析式；5. 能利用二次函数及反比例函数解决一些常见的实际问题【知识网络】ftft冷二如昨二.|-亍3列口 工 0）= ar* + （d 工 O）y 电（工一h尸十A" *。才#永踊就的对丽顶点坐标用甬t观点着 一兀二次方程一元二扶方程与二次阪黴的冀系利用二次西数的團氨求，元二抚

2、 方程的解【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果- ,.r 是常数那么匸叫做的二次函数 要点诠释:如果y=ax2+bx+c（a,b,c 是常数，0），那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：其中':-.（以上式子0）2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标兀= 0（轴）（0, 0）y - f当辽> 0时孟三Q（V轴）（0,玄）y = -炉开口向上曲,0）y -百（h 及y当兌

3、时开口向下贰二孔血，疋）y = ai2 +直工+巴hT b Aac b12a（加4a）2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点（1）&的符号决定抛物线的开口方向：当 & > 0时，开口向上；当&丈0时，开口向下；位相等，抛 物线的开口大小、形状相同（2）平行于T轴（或重合）的直线记作/. - 特别地，丁轴记作直线-:.3. 抛物线的解析式中的a、b、c的作用：（1）主决定开口方向及开口大小，这与1 - V 中的&完全一样工a Lb（2）：，和卞共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线】-：-的对称轴是直线_,2a故：I时，对称轴为；7轴；（即.1、同号）

4、时，对称轴在.丁轴左侧；一（即aa;、D异号）时，对称轴在匸轴右侧.（3）的大小决定抛物线；-r I -与V轴交点的位置.当.1 -:时，二二,抛物线/ -I '与V轴有且只有一个交点（0 , T ）:7二，抛物线经过原点；二：;，与轴交于正半轴；：,与；轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立如抛物线的对称轴在轴右侧，则' a4. 用待定系数法求二次函数的解析式：(1) 一般式：1 - - (0).已知图象上三点或三对 r、亍的值，通常选择一般式(2) 顶点式：】-d :八” (0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式(可以看成-.的图象平移后所对应的函数 .)

5、(3) "交点式”：已知图象与 二-轴的交点坐标二、u ,通常选用交点式：k心-:(0).(由此得根与系数的关系:;一： 一 -').aa要点诠释：求抛物线y ax2 bx c ( a工0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数;一一 (/.-|,：,当一 "时，得到一元二次方程 "-:.| ；，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况(1)当二次函数的图象与 x轴有两个

6、交点，这时丄二 |_官_ ,则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与当二次函数的图象与x轴没有交点，这时_ T,则方程没有实根x轴有且只有一个交点，这时二上.，则方程有两个相等实根;a»o)的解要点诠释:二次函数图象与x轴的交点的个数由 二-的值来确定(1)当二次函数的图象与(2)当二次函数的图象与当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时丄；则方程有两个不相等实根；x轴有且只有一个交点，这时二-：' X则方程有两个相等实根;x轴没有交点，这时-；则方程没有实根要点四、利用二次函数解决实际问题禾U用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，禾U

7、用题中存在 的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1) 建立适当的平面直角坐标系；(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3) 用待定系数法求出抛物线的关系式；(4) 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数 关系式 要点五、反比例函数的概念k一般地，形如y

8、( k为常数，k 0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自x变量x的取值范围是不等于 0的一切实数要点诠释：kk1在y 中，自变量X的取值范围是，y 一( I -)可以写成一 (')的形式，也 xx可以写成y 的形式要点六、反比例函数解析式的确定k反比例函数解析式的确定方法是待定系数法由于反比例函数y 中，只有一个待定系数 k,因此x只需要知道一对X、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式要点七、反比例函数的图象和性质1. 反比例函数的图象k反比例函数y k 0的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第x二、四象限它们关于

9、原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.要点诠释:观察反比例函数:的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又 A是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.k y (k 0)的图象是轴对称图形，对称轴为y x和yx两条直线；xk y (k 0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点(0, 0)；xkk y 和y(k丰0)在同一坐标系中的图象关于 x轴对称，也关于 y轴对称.xx2. 反比例函数的性质(1) 图象位置与反比例函数性质当k 0时，X、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减

10、小；当k 0时，x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.k(2) 若点(a, b)在反比例函数y的图象上，则点( a, b)也在此图象上，故反比例函数的图象x关于原点对称.(3 )正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式y =忌（k莖0）X图象直线有两个分支组成的曲线(双曲线)位置k 0，一、三象限；k 0 , 、三象限k 0，二、四象限k 0 ,二、四象限增减性k 0, y随x的增大而增大 k 0, y随x的增大而减小k o,在每个象限， y随x的增大而减小 k 0 ,在每个象限， y随x的增大而增大Ir(4)反比例函数y =( k工0)中k的意

11、义k 过双曲线y (k工0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k .xk 过双曲线y (k工0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为IN.2x要点八、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问 题转化为数学问题2 列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围【典型例题】类型一、求二次函数和反比例函数的解析式 .已知抛物线的顶点是(3 , -2)，且在x轴上截得的线段长为 6,求抛物线的解析式.也就是【思路点拨】 已知抛物线的顶点是(3 , -2)，可设抛物线解析式为顶点式，即y

12、a(x 3)2 2 ,2y ax6ax 9a 2，再由在x轴上截得的线段长为6建立方程求出a 也可根据抛物线的对称轴是直线x= 3,在x轴上截得的线段长为6,则与x轴的交点为(0 , 0)和(6 ,0),因此可设y = a(x-0) -(x-6)【答案与解析】解法一：/抛物线的顶点是(3 ,-2),且与x轴有交点,2 设解析式为y = a(x-3) -2(a > 0),即y2 ax6ax9a 2 ,设抛物线与x轴两交点分别为(x1, 0),(X2,0) 则|x,J36a2 X2 |4a(9a 2) 6 ,|a|2解得a - 92 抛物线的解析式为y -(x3)22 ,即y2 2x4x 9

13、93解法二：抛物线的顶点为(3 , -2),设抛物线解析式为y a(x 3)2 2 .对称轴为直线x= 3,在x轴上截得的线段长为6,抛物线与x轴的交点为(0，0)，(6，0).把(0 , 0)代入关系式，得0 = a(0-3) 2-2 ,2解得a -,92 2抛物线的解析式为y (X 3)2 2 ,9即224即 y x x.93解法三：求出抛物线与x轴的两个交点的坐标(0 , 0) , (6 , 0)2设抛物线解析式为y = a(x-0)(x-6)，把(3 , -2)代入得a 3 (3 6)2，解得a -.9 22 24抛物线的解析式为 y x(x 6)，即yx2x.993【总结升华】 求抛

14、物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单.举一反三：【高清课程名称：二次函数复习 高清ID号：357019关联的位置名称(播放点名称)：练习题精讲】【变式】已知抛物线y mx 4mx 4m 2 (m是常数). 1(1) 求抛物线的顶点坐标；(2 )若m 5，且抛物线与x轴交于整数点，求此抛物线的解析式.5【答案】(1)依题意，得m 0 x -4m 2 ,2a 2m2 2 2 24ac b 4m(4m2)( 4m)_ 16m -8m-16m_ oy= -24a4m4m抛物线的顶点坐标为(2 ,2).(2)抛物线与x轴交于整数点， mx24m 、16m2 4m(4 m 2)2

15、2m2m4mx 4m 20的根是整数.是整数.2m/ m是完全平方数.m 1m 5,52取 1 , 4, 9,m4m26m 4m(4m 2)2 2m2m2m2当1时，m2 ；m21当4时，m ；m222当-9时，m - m9 m的值为2或-或2 29抛物线的解析式为 y2 1 22x 8x 6或y 2x2x或y2 2 810x x9992.已知y y y2 ,如与X成正比例，y与X成反比例，且X = 2与X = 3时，y的值都等于10.求y与x间的函数关系式.【思路点拨】 由于与x成正比例，可设 y-i k1x , y2与x 成反比例，可设 y2 理将y、丫2代入xk2y y1 y2，得y k

16、1x -，在y与x的关系式中有两个待定系数 k1、k2,利用x与y的两对对应值， x列出两个关于k1、k2的方程，解方程组可求出 k1和k2的值，从而写出 y与x的函数关系式.【答案与解析】解：设 y1 kjx , y2-2 ,x由题意得y Kx 邑，将(2, 10)与(3, 10)代入x解出 k12,k212,2x12x【总结升华】注意正比例系数和反比例系数要用不同的k1和k2表示，不要混淆成一个3,举一反三：【高清课堂406878反比例函数全章复习例2】k【变式】已知反比例函数y 与一次函数y ax b的图象都经过点 P(2 , - 1)，且当x 1时，这x两个函数值互为相反数，求这两个函

17、数的关系式k【答案】双曲线y 经过点p(2, - 1) , k xy 2 ( 1)2 .x2反比例函数的关系式为y ，当x 1时，y 2 .x当x 1时，由题意知y ax b 2，直线y ax b经过点(2 , - 1)和(1 , 2),2a b 1, a b 2,解得ab 5.一次函数解析式为y 3x 5 .类型二、二次函数和反比例函数的图象及性质C»3.函数y ax b和y ax2 bx c （a0）在同一直角坐标系内的图象大致是（【答案】C；【解析】/ 0，分a>0, av 0两种情况来讨论两函数图象的分布情况.若a> 0,则y= ax+b的图象必经过第一、三象限，

18、y ax2 bx c的图象开口向上，可排除 D.若a> 0, b> 0，贝U y = ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， y ax bx c的图象的对 称轴在y轴的左侧，故B不正确.若a> 0, b v 0，则y = ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，y ax2 bx c的图象的对 称轴在y轴的右侧，故 C正确.若av 0，则y = ax+b的图象必经过第二、四象限，y ax2 bx c的图象开口向下，故 A不正确.【总结升华】 在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a，b满足一致性，因此讨论a，b符号的一致性成为解决本题的关键所在事实上，

19、a，b的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置.24.如图所示，在反比例函数y （x 0）的图象上有点 R, F2, F3, F4,它们的横坐标依次为1，2,x3, 4.分别过这些点作 x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1, S2, & ,则 s +S2 +S3 =3【答案】3 ;2【解析】由题意及图象可知，三个长方形的长都为1,设R（1 , y1）, R2（2 , y2） , R3（3 , y3） , P4（4 ,221.3y4 ) 代入 y(X0)可求得 y1 = 2,y2= 1 ,y3= 3，y4 = 2，SS2S31

20、(y1y4)x322【总结升华】严格根据点在函数图象上，解出每个矩形的宽度，利用平移将阴影部分组合成一个大矩形， 就可以求出 S+S2+S3的值类型三、二次函数与方程.如图所示，把一张长 10cm宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成 一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).要使长方体盒子的底面积为 48 cm2,那么剪去的正方形的边长应为多少？折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形如果没有，请说明理由；如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，?如果有，请你求出最大值和此时剪去的

21、正(1)(2) 的边长；(3) 然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况 方形的边长；如果没有，请你说明理由.【思路点拨】 结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的 边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子用含字母的代数式表示长方体盒 子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积 的最大值.【答案与解析】(1)设剪去的正方形的边长为 x cm，则(10-2x) (8-2x) = 48,即x2-9x+8 = 0.解得xi = 8(不合题意，舍去)，X2= 1.所以剪去的正方形的边长

22、为1 cm .2y cm ,x cm,盒子的侧面积为y = 2(10-2x)x+2(8-2x)x(2)有侧面积最大的情况.设此时剪去的正方形的边长为 则y与x的函数关系式为：即y = -8x2+36x，改写为y81，所以当x= 2.25时,2y最大40.5 .即当剪去的正方形的边长为(3)有侧面积最大的情况.设剪去的正方形的边长为2.25 cm时,长方体盒子的侧面积最大为x cm，盒子的侧面积为 y cm2.1696240.5 cm所以当x13时，y最大若按图所示的方法剪折，则1696 y与x的函数关系式为:8 2xy 2(10 2x)x 2x，即 y2279833所以当x3时，y最大3983

23、比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,【总结升华】 由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类讨论，以免漏解.最大面积为983cm 3举一反三:【变式1】抛物线严"与直线y= 2+b只有一个公共点，则 b=【答案】由题意得凡y = 2x-¥b把代入得J: C .抛物线1 - -与直线=一7：只有一个公共点，二方程十二工:一必有两个相等的实数根，| _ ,. 二.【变式2】二次函数-一 I： -:的图象如图所示，根据图象解答下列问题:(1) 写出方程工j |二L二.一的两个根;写出不等式j - | ； c ;的解集；(3)

24、写出y随x的增大而减小的自变量 x的取值范围；(4) 若方程7:有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【答案】(1) :-亠；： JT ；：三.丁三1 .(4)方法1：方程/匚：的解,L V ax +ix+,即为方程组*中x的解也就是抛物线y = 亠血与直线y =上的交点卩=上的横坐标，由图象可看出，当一时，直线-：与抛物线* I 有两个交点方法2: T 二次函数;- <的图象过(1 , 0) , (3 , 0) , (2 , 2)三点,a = 2t心二徨c - -6.:小，即:. 一，- r -:.方程有两个不相等的实数根， - 广二，；：二.类型四、函数综合题36.已知平面直角坐标系

25、xOy(如图所示)，一次函数y x 3的图象与y轴交于点A,点M在正比4例函数y2x bx c的图象经过点A、M(1) 求线段AM的长;(2) 求这个二次函数的解析式;3 如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上， 点D在一次函数y x 34的图象上，且四边形 ABCD是菱形，求点 C的坐标. 【答案与解析】3(0 , 3),(1) 一次函数y x 3，当x= 0时，y = 3，所以点A的坐标为4又 MO= MA3 M在OA的中垂线上，即 M的纵坐标为又M在2|x上,y I时,x = 1,3点M的坐标为 1.2如图所示,3(2)将点 A(0, 3) , M 1,-2代入x2bx c 中,3,b 5,2c 3.即这个二次函数的解析式为:(3)如图所示，设 B(0, m)(mv3) , C(n,n252n 3)，3 n, 一 n4135则 |AB| = 3-m, | DC | yD yCn n2, | AD | n .44因为四边形ABCD是菱形，所以| AB | | DC | | AD | .3 m1321nn ,3,所以4解得m.(舍去)m2,23 m5n.n0；巧 2.4将n=2代入2y x5x3，得yc2 ,所以点C的坐标为(2, 2)2【总结升华】 结合