电磁学第十九讲

1、第十九讲第十九讲 2010-05-013第第5章章 真空中的静磁场真空中的静磁场5.1 磁现象与磁场磁现象与磁场5.2 毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律5.3 安培定律安培定律5.4 静磁场的基本定理静磁场的基本定理5.5 带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动 小论文要求小论文要求2. 高斯定理高斯定理(通量定律通量定律) 高斯定理高斯定理：通过任意闭合曲面：通过任意闭合曲面S的磁通量为零，即的磁通量为零，即 微分形式：微分形式： B0. 物理意义物理意义：反映了磁场的：反映了磁场的无源性无源性，即，即不存在孤立的不存在孤立的磁荷磁荷，磁场线闭合磁场线闭合 (一般地说一般地说)。 注：注：

2、不闭合不闭合其实是其实是更一般更一般的情况，所以的情况，所以加加下划线下划线句句子子修正如下更妥：修正如下更妥：孤立磁荷之不存在孤立磁荷之不存在导致磁场线导致磁场线有有可能闭合可能闭合。(稳恒电流线为什么总能闭合？稳恒电流线为什么总能闭合？).d0.SBS高斯定理的证明高斯定理的证明证明证明 任意磁场都是由许多任意磁场都是由许多电流元电流元的磁场叠加而成。的磁场叠加而成。只要证明只要证明电流元的磁场遵守高斯定理电流元的磁场遵守高斯定理，由磁通量的叠，由磁通量的叠加性，任意磁场也遵守高斯定理。加性，任意磁场也遵守高斯定理。 取电流元取电流元Idl为坐标原点，电流元为坐标原点，电流元方向方向为为z

3、轴。在以轴。在以z为轴的任意圆上，由为轴的任意圆上，由毕毕萨定律得萨定律得 所以圆上任意一点所以圆上任意一点dB的大小相同，方向与圆相切。的大小相同，方向与圆相切。穿过以穿过以z为轴的为轴的任一环形管内任意截面任一环形管内任意截面的的磁通量为磁通量为常量常量，与截面在管中的位置、取向无关，与截面在管中的位置、取向无关。02d sind4 I lrB 对于任一对于任一封闭曲面封闭曲面S，上述，上述环形管每穿过环形管每穿过S一次一次，均会在均会在S上上切出两切出两 (偶数偶数) 个面元个面元S1、S2，且其磁通，且其磁通量量B1 S1B2 S2BS BS0. 对曲面对曲面S上的任一面元，都可作一个

4、环形管，上的任一面元，都可作一个环形管，且且可找可找到到S上的另一个面元与之对应。同上理，这上的另一个面元与之对应。同上理，这两个两个面元面元的磁通量之和为零。的磁通量之和为零。 所以穿过所以穿过S 的总磁通的总磁通 证毕。证毕。0.dSBS3. 安培环路定理安培环路定理 类于静电场环量，引入类于静电场环量，引入磁场环量磁场环量 安培环路定理安培环路定理：磁感应强度：磁感应强度B沿任何闭合曲线沿任何闭合曲线L的环的环量等于穿过量等于穿过L的电流强度代数和的的电流强度代数和的0倍，即倍，即 其微分形式为其微分形式为 物理意义物理意义：磁场是：磁场是有旋场有旋场。 I 的正负规则的正负规则：设定：

5、设定L的绕行方向，采用右手定则，的绕行方向，采用右手定则，四指沿四指沿L方向，若方向，若I与大姆指方向一致则与大姆指方向一致则I取正，反之取正，反之取负。取负。d .LBl0d.LIBl0.Bj安培环路定理的证明安培环路定理的证明证明证明 因为产生磁场的稳恒电流可等效为一些稳恒因为产生磁场的稳恒电流可等效为一些稳恒的闭合线电流的叠加，所以只要证明其中任一的闭合线电流的叠加，所以只要证明其中任一闭合闭合线电流线电流I满足满足 则按照叠加原理，安培环路定理成立。则按照叠加原理，安培环路定理成立。先证明先证明I不穿过不穿过L的情形，再证明的情形，再证明I正向、反向穿过正向、反向穿过L的的情形。情形。

6、000,(d,(.(LILIILIILBl不不穿穿过过 ）正正向向穿穿过过 ）反反向向穿穿过过 ）1) 闭合线电流闭合线电流 I 不穿过闭合回路不穿过闭合回路L 闭合线电流闭合线电流I与图示的元电流组与图示的元电流组等效等效：各元电流的相：各元电流的相邻部分相消邻部分相消B闭合线电流闭合线电流=B元电流元电流。 元电流元电流I (磁偶极子磁偶极子) 在远处的磁场在远处的磁场与与电偶极子电场的电偶极子电场的函数形式相同函数形式相同 (见例见例5.2)。 类比静电场环路定理类比静电场环路定理 对元电流对元电流I有有 全体元电流全体元电流I的磁场环量为零，的磁场环量为零， 闭合线电流闭合线电流I的磁

7、场环量为零，的磁场环量为零， 得证。得证。d0,LEld0.LBl2) I正向穿过正向穿过L 另作任一另作任一让让I正向穿过正向穿过的的回路回路L，在，在L与与L上切开一小口，形成新回路，方上切开一小口，形成新回路，方向向ABLCDLA。其中。其中DLA与与(a)中中L同同向，向，BLC与与(a)中中L反向。向。 由由1)的结论知的结论知d()d0.DLABCDBAABL CDLL CABl+Blddd,d ,d ,dABCLD ADLL CLB BlBlBlBlBBlldd0,dd .LLLLBlBlBlBl即即 由由L的的任意性任意性，可令其为半径，可令其为半径r0 (电流电流I的曲率半的

8、曲率半径径) 的圆，圆心在电流的圆，圆心在电流I回路上，圆面回路上，圆面 I。则。则L上的上的场近似为一无穷长直电流场近似为一无穷长直电流I的场，由例的场，由例5.1可知可知3) 反向情形与正向情形类似，不必多话。反向情形与正向情形类似，不必多话。0000d22LIrIrBl4. 安培环路定理应用举例安培环路定理应用举例 (对称性好对称性好)例例5.5 一无限长直圆柱导线，截面半径为一无限长直圆柱导线，截面半径为R，电流，电流I沿沿截面均匀分布，求导线内、外的磁场分布。截面均匀分布，求导线内、外的磁场分布。解解 根据电流分布的轴对称性，根据电流分布的轴对称性，B沿图示环向，大小沿图示环向，大小

9、只与离轴线的距离有关。设圆回路只与离轴线的距离有关。设圆回路L的半径为的半径为r，则由安培环路定理得，则由安培环路定理得其中其中I为为穿过圆回路穿过圆回路L的电流。易证的电流。易证0d2,LrBIBl22200/,/(2),/(2).rRIIr RBIrRrRIIBIr时时，时时，例例5.6 设一无限长螺丝管单位长度上的匝数为设一无限长螺丝管单位长度上的匝数为n，电，电流强度为流强度为I，求管内、外的磁场。，求管内、外的磁场。解解由电流分布的轴对称性可判断管内由电流分布的轴对称性可判断管内B只有只有轴向分轴向分量量，大小只与，大小只与场点场点离轴线的距离离轴线的距离r有关。有关。取矩形回路取矩

10、形回路ABCDA和和ABCDA，AB位位于管轴上，于管轴上，CD和和CD分别位于管内、分别位于管内、外外 (图图a)。由例。由例5.3，轴线上，轴线上B0nI。对回路对回路ABCDA应用安培环路定理得应用安培环路定理得Bi(r)0nI。无限长螺线管内部无限长螺线管内部轴向磁场均匀。轴向磁场均匀。0( )0,inIABArBB对回路对回路ABCDA应用安培环路定理得应用安培环路定理得即即无限长螺线管外部无限长螺线管外部轴向磁场处处为零轴向磁场处处为零。另一方面，螺线管另一方面，螺线管存在一自右向左的等效轴向电流存在一自右向左的等效轴向电流I (图图b)，可视作，可视作沿螺线管表面均匀分布沿螺线管

11、表面均匀分布，由它产生的磁，由它产生的磁感应强度沿环向。感应强度沿环向。选择选择同螺线管共轴的圆回路并应用同螺线管共轴的圆回路并应用安培环路定理，可得安培环路定理，可得管内管内Bi0，管外管外Be0I/2r。结论：无限长螺线管结论：无限长螺线管 内部内部磁场均匀分布，与轴线平行；磁场均匀分布，与轴线平行； 外部外部磁场与无穷长直线电流磁场相同。磁场与无穷长直线电流磁场相同。 0/0/( ),( )0,eeABABnIBrnIBABr 例例5.7 电流均匀分布在一无穷大平面导体薄板上，面电流均匀分布在一无穷大平面导体薄板上，面电流密度为电流密度为i，求空间磁场分布。，求空间磁场分布。解解 设导体

12、板位于设导体板位于y-z平面，电流沿平面，电流沿z方向。由对称性，方向。由对称性，B只有只有y分量，大小只与分量，大小只与x有关，且有关，且B(x)B(x).考虑考虑x轴上一点轴上一点P，以，以O为中心，在为中心，在x-y平面过点平面过点P作矩形回路作矩形回路ABCDA，应用安培环路定理可得应用安培环路定理可得 B(x)=0i/2。无穷大平面电流两侧为无穷大平面电流两侧为等大反向的均匀磁场等大反向的均匀磁场。有限大小面电流：只要有限大小面电流：只要x带电粒子带电粒子回旋半径回旋半径，粒子，粒子的运动就可的运动就可近似为近似为绕磁感应线的绕磁感应线的螺旋运动螺旋运动。但磁场。但磁场沿磁场线的非均

13、匀性将破坏沿磁场线的非均匀性将破坏v/和和v的守恒。的守恒。 新守恒量：带电粒子绕磁场的快速旋转形成新守恒量：带电粒子绕磁场的快速旋转形成圆电流圆电流环环，相应的磁矩称粒子的，相应的磁矩称粒子的回旋磁矩回旋磁矩。 证明证明：以：以轴对称缓变轴对称缓变非均匀磁场为例非均匀磁场为例 取小圆柱形高斯面，由取小圆柱形高斯面，由高斯定理高斯定理,.zrB zB rv zvBv22(0,)(0, )0,rzzBr zBzzBzr 0(0,)(0, )lim.22zzzrzBzzBzBrrBzz 2/d.d22zzrvBmvBrmqv BqvtzBz Br导致导致z方向有方向有洛仑兹力洛仑兹力，运动方程运动

14、方程可见，粒子受到由强场处指向弱场处的可见，粒子受到由强场处指向弱场处的磁压力。磁压力。将上式两边同乘以将上式两边同乘以v/ ，又，又带电粒子作圆运动的带电粒子作圆运动的磁矩磁矩的大小为的大小为 =qB/m R=v/mvrqBdddd,ddddBB zBvtztz22(d1d.d22#)dmvBmvtBt 221/,22qI SRmvB 由上式代入由上式代入(#)式可得式可得 比较比较 另一方面，由于另一方面，由于 守恒守恒， 有有 可证，对任意可证，对任意随时间空间缓变随时间空间缓变磁场，运动带电粒磁场，运动带电粒子的磁矩守恒。子的磁矩守恒。d0,.dt守守恒恒2d 1d(),d2dBmvt

15、t 222vvv22d1d1ddd,d2d2dddBmvmvBBttttt 2. 应用举例应用举例1) 速度选择速度选择 一束带电粒子射入相互垂直的均匀电场和均匀磁一束带电粒子射入相互垂直的均匀电场和均匀磁场。能从小孔穿出的粒子必沿场。能从小孔穿出的粒子必沿虚线虚线运动，要求电力与运动，要求电力与磁力平衡，磁力平衡，qE=qvB，v=E/B。该装置只允许该装置只允许特定特定速率速率的粒子穿过，无关粒子电荷、质量。的粒子穿过，无关粒子电荷、质量。2) 质谱仪质谱仪 质谱仪是通过测量质谱仪是通过测量带电带电离子离子的质量或电荷与质的质量或电荷与质量的比值量的比值 (荷质比荷质比) 来对来对样品成分

16、进行分析。样品成分进行分析。 基本原理基本原理：离子束通过：离子束通过速度选择器速度选择器，选出特定，选出特定v的的离子，进入均匀磁场中作圆运动，离子，进入均匀磁场中作圆运动，回旋半径回旋半径R可由可由感光胶片来测得。感光胶片来测得。B, v, R已知，由已知，由q/mv/(RB)可得可得粒子的粒子的荷质比荷质比。 应用应用：质谱仪可利用来：质谱仪可利用来分离同位素分离同位素，分析含量。，分析含量。3) 磁聚焦磁聚焦 若无磁场，离子束中各离子近似直线运动若无磁场，离子束中各离子近似直线运动发散发散。 外加均匀磁场，离子束作螺旋线运动，若离子束初外加均匀磁场，离子束作螺旋线运动，若离子束初始张角较小，始张角较小，v/ 常量，离子回旋频率与回旋速度常量，离子回旋频率与回旋速度v无关，经一个周期沿磁场方向聚一次，