函数与方程(2)

1、函数与方程教学目标 ：(1)使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系;(2)能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点 ：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点 ：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程 ： .复习引入初中二次函数的图象及有关的问题.讲授新课问题： 二次函数 y ax2 bx c（a0）与一元二次方程ax2 bx c 0（a0）之间有怎样的关系？我的思路：（ 1）当 b2 4ac 0 时，二次函数y ax2 bx c（ a 0）与 x 轴有两个交点（ x1 ，0）、（ x2， 0），（不妨设x1 x2）对应的一元二次方程ax2 bx c0（ a

2、 0）有两个不等实根 x1、 x2；（ 2）当 b2 4ac 0时，二次函数y ax2 bx c（ a 0）与 x 轴有且只有一个交点（ x0， 0），对应的一元二次方程ax2 bx c 0（ a 0）有两个相等实根 x0；bac时，二次函数yaxbx cax轴没有公共点，对（ 3）当 2 4 02 （ 0）与应的一元二次方程ax2 bx c 0（ a 0）没有实根例 1已知集合 |25 4 0与 |x22 2 0，aR，若 A BA x xxB xaxaA，求 a 的取值范围解析： 本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识 A 1， 4， AB A， BA若，即22 2

3、0 恒成立，则42 4（ 2） 0，Bx axaaaa 1 2；若，解法一：42 4（ 2） 0， 2 或 1Baaaa方程 x2 2ax a 20 的两根为 x1， 2 ± a2 a2 a则 Bx| aa2a2 x aa2a2 ，由题意知aa2a2 1aa2a24解之得 2 a18，综合可知 a187（1， 7解法二： f （x） x2 2ax a 2， 42 4（ a 2） 0a如图知f（ 1） 3 a0f（ 4） 7a 1801a4解之得 2 18，综上可知 a18a7（ 1，7例 2 已知x的不等式4xx2ax的解区间是（02a的值， ），求解析： 本题主要考查含参数无理不等

4、式的解法，运用逆向思维解决问题解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y14x x2和 y2ax 的图象如下图所示，欲使解区间恰为（0， 2），则直线 y ax 必过点（ 2， 2），则 a 1解法二： 0 2，当0时，则 4 2 22 xaxxax0 442 ， a 1x1 a2 ，则 1 a2当 a 0 时，原不等式的解为（ 0， 4），与题意不符， a 0 舍去综上知 a1例 3已知函数 f（x） x2 2bx 十 c（ c b1）， f（ 1） 0，且方程 f（ x） 1 0有实根，（ 1）证明： 3c 1 且 b 0；（ 2）若 m 是方程 f（ x） 10 的一个实根，判断f （

5、m 4）的正负，并说明理由解析：（1）由f（ 1） 0，则有b 1， c2又因为 c b 1，消去 b 解之得 3 c13 ；又方程f（ ） 1 0 有实根，即x2 2 10 有实根，xbxc故 42 4（ 1） 0，消去b解之得3或 1；bccc由可知，3 c 1 且 b 0（ 2） f（ x） x2 2bxc（ x c）（ x 1），f（ m） 1 0， c m 1，从而 c 4 m 4 3 c， f（ m 4）（ m 4 c）（m 4 1） 0，即 f（ m 4）的符号为正 .课后作业111关于 x 的不等式 ax2 bx 2 0 的解集是（， 2）（ 3，），求 ab 的值解析： 方程

6、axbx2、3 ，220的两根为 11 b 1 ， ，则 2a6a12 ab 241 b2a62方程 x2 2ax 4 0 的两根均大于1，求实数 a 的取值范围解析： 方法一：利用韦达定理，设方程x2 24 0 的两根为12axx、 x ，( x11)( x21)0，则 ( x11)( x21)0，解之得 2a52 0方法二：利用二次函数图象的特征，设fxxax 4，（ ）220，5则f (1)0，解之得 2 a2 a12 5b0 的解集为 | 3 2，求不等式 6 2 5 0的解集3已知不等式 axxxxx xa ，解析： 由题意，方程axx b0的两根为3、 2，由韦达定理得a12 5 ，b6则所求不等式为6x2 5x 1 0，解之得 x 1或 16x4关于 x 的不等式组x 2 x20，的整数解的集合为 2，求