中考专题复习一次函数知识点总结

1、中考复习专题一次函数知识点总结一 变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量函数：被变量是自变量的函数函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量二 一次函数和正比例函数的概念1概念：若两个变量x， y 间的关系式可以表示成y=kx+b （ k， b 为常数， k 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数 .（ 1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定 .

2、（ 2）一次函数 y=kx+b（ k，b 为常数， k 0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数， b可为任意常数 .判断一个等式是否是一次函数先要化简（ 3）当 b=0， k 0 时， y= kx 仍是一次函数 .( 正比例函数 )（ 4）当 b=0， k=0 时，它不是一次函数 .2.函数的表示方法：）解析法，）列表法，）图象法列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值二）符

3、合题意三 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（ k，b 为常数， k 0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0， b），直线与x 轴的交点（-b， 0）. 画正比例函数y=kx的图象时，k只要描出点（ 0， 0），（ 1，k）即可 .四 一次函数性质1. 一次函数 y=kx+b

4、（ k， b 为常数， k 0）的性质（1） k 的正、负决定直线的倾斜方向； k0 时， y 的值随 x 值的增大而增大； kO时， y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k| 大小决定直线的倾斜程度，即|k| 越大，直线与|k| 越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3） b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；当 b 0 时，直线与y 轴交于正半轴上；当 b 0 时，直线与y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k， b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；kb经过的象限y=kx+bk 0b0一 , 二三x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，

5、Y 随 x 的变化图象Y 随 x 的增大而增大(b 0)y=kx+bk 0b0一三四Y 随 x 的增大而增大(b 0)y=kx+bk 0b0一二四Y 随 x 的增大而减小(b 0)y=kx+bk 0b0二三四Y 随 x 的增大而减小(b 0)（5）由于 |k| 决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x 1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的2. 正比例函数 y=kx （ k 0）的性质（ 1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k 0 时，图象经过第一、

6、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k 0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小y=kx(k>0)y=kx(k<0)点 P（ x0， y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（1）如果点 P（ x， y）在直线 y=kx+b 的图象上，那么x ,y0的值必满足解析式y=kx+b ；000（2）如果 x ，y是满足函数解析式的一对对应值，那么以x ， y为坐标的点P（ 1，2）必0000在函数的图象上例如：点 P（ 1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时， y=2，则点 P（ 1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P（ 2，1）不满足解析式 y=x+1

7、 ，因为当 x=2 时， y=3，所以点 P（ 2， 1）不在直线 y=x+l 的图象上确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （ k 0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k 的值（2）由于一次函数y=kx+b （ k 0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k， b 的方程，求得k， b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x， y 的值五 一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数（a0，a，b 为常数）中，函数的值等于

8、0 时自变量x 的值就是一元一次方程y=ax+bax+b=0（a0）的解，所对应的坐标（b ， 0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；?直线ay=ax+b 在 x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a0）的解；在轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a0）的解2.坐标轴的函数表达式函数关系式x=0 的图像是y 轴，反之， y 轴可以用函数关系式x=0 表示； ?函数关系式y=0 的图像是x 轴，反之， x 轴可以用函数关系式y=0 表示x3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个

9、一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值； 从形的角度考虑， 解方程组相当于确定两条直线的交点坐标， 所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（ 1）二元一次方程组yk1 xb1 有唯一的解直线 y=k 1x+b1 不平行于直线 y=k2x+b2yk2 xb212k k（ 2）二元一次方程组y k1x b1无解直线112212，yk2 xb2y=kx+b直线 y=k x+bk =k12bb（ 3）二元一次方程组yk1 xb1 有无数多个解直线 y=k1x+b1

10、与 y=k 2x+b2 重合yk2 xb2k1=k2， b1=b25. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数， 从而得到所求结果的方法， 叫做待定系数法 其中未知系数也叫待定系数 例如：函数 y=kx+b 中， k， b 就是待定系数用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（ 1）设函数表达式为 y=kx+b ；（ 2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（ 3）求出 k 与 b 的值；（ 4）将 k、 b 的之带入 y=kx+b ，得到函数表达式。例如：已知一次函数的图象经过点（2， 1）和（ -

11、1 ， -3 ）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为ykx+b （ k 0），由题意可知，1 2kb,k4 ,45解3此函数的关系式为y=3k b,5.xb333六 知识规律小结1常数 k， b 对直线 y=kx+b(k 0）位置的影响当 b 0 时，直线与y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b 0 时，直线与 y 轴的负半轴相交当 k， b 异号时，即 - b 0 时，直线与x 轴正半轴相交；k当 b=0 时，即 - b =0 时，直线经过原点；k当 k， b 同号时，即 - b 0 时，直线与x 轴负半轴相交k当 k O， b O时，图象经过第一、二、三象限；当

12、k 0， b=0 时，图象经过第一、三象限；当 b O， b O时，图象经过第一、三、四象限；当 k O， b 0 时，图象经过第一、二、四象限；当 k O， b=0 时，图象经过第二、四象限；当 k O， b O时，图象经过第二、三、四象限2直线 y=kx+b （ k 0）与直线y=kx(k 0) 的位置关系直线 y=kx+b(k 0) 平行于直线y=kx(k 0)当 b0 时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当 bO时，把直线y=kx 向下平移 |b| 个单位，可得直线y=kx+b 3 直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2 （k1 0 ，k2 0

13、）的位置关系 k1 k2y1 与 y2 相交；k1k2y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点（ 0， b1）或（ 0， b2）；b1b2k1k2 ,k1k2 ,y1 与 y2 平行；y1 与 y2 重合 .b1b2b1b22011 中考复习专题二次函数知识点总结二次函数知识点：1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b，c 可以为零 二次函数的定义域是全体实数2.二次函数yax2bxc 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2 a ，b

14、 ，c是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax2 的性质：oo结论： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随向上y 轴x 0 时， y 有最小值 0 x 的增大而减小；a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随向下y 轴x 0 时， y 有最大值 0 x 的增大而增大；2. yax2c 的性质：结论：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标a0向上0 ，ca0向下0 ，c总结：23.ya xh的

15、性质：结论：左加右减。总结：开口方a 的符号顶 坐标向a0向上h ，0a0向下h ，02对称轴y 轴y 轴对称轴X=hX=h性质x0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 性质x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 4.ya xhk 的性质：总

16、结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y随 x 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y随 x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 k 二次函数图象的平移1.平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2h ，k；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k处，具体平移方法如下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax 2+k向右 (h>

17、0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a(x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a(x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”三、二次函数2ax2bx c 的比较y a x h k 与 y请将 y2 x24x 5 利用配方的形式配成顶点式。请将

18、y ax 2bx c 配成y a x2k 。h总结：从解析式上看，ya x2k 与 yax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配h2b2b ，k4ac b2方可以得到前者，即ya xb4ac，其中 h2a4a2a4a四、二次函数 y ax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a(xh)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c 、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与x轴的交点x1， ， （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.0x

19、2 0画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .五、二次函数y ax2bx c 的性质1.当 a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb22a2a4 a当 xb 时， y 随 x 的增大而减小； 当 xb时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb2a2a2a时， y 有最小值 4ac b24a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb2当2a2a4 axb 时， y 随 x 的增大而增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y2a2a2a2有最大值4acb 4a六、二次函数解析式的表示方

20、法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式： ya( x2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；h)3.两根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写2时，抛物线的解析式才可以用交成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 4ac 0点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc 中，a 作为二次项系数，显然a0 当

21、 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下，当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称

22、轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结：3. 常数项 c 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的y 轴交点的纵坐标为正；y 轴交点的纵坐标为0 ；y 轴交点的纵坐标为负二次函数解析式的确定：根据已

23、知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称yax2bxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；yaxh2y a xh2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是

24、k ；2. 关于 y 轴对称yax2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；yaxh2ya xh2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是k ；3. 关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k 关于原点对称后，得到的解析式是k ；4. 关于顶点对称yax2bxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bx cb2；2aya xh2ya x2k k 关于顶点对称后，得到的解析式是h5. 关于点m，n 对称ya xh2ya xh22n kk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是2m根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2bxc 0 是二次函数 y ax2bxc 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0