概率论与数理统计第四章课件

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1. 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 kkkkkkkkk 1k 1k 11. : r.v.X: P Xxp , k1, 2, x p, x p,E(X), E(X)x p . 定定义义设设离离散散型型的的分分布布律律为为若若级级数数绝绝对对收收敛敛 则则称称级级数数的的和和为为随随机机变变量量的的数数学学期期望望 记记作作即即-2. : r.v.Xf(x),xf(x)dx , xf(x)dxr.v.X, E(X). E(X)xf(x)dx., . 定定义义 设设连连续续型型的的概概率率密密度度为为若若积积分分绝绝对对收收敛敛 则则称称积积

2、分分的的值值为为的的数数学学期期望望 记记为为即即数数学学期期望望简简称称期期望望 又又称称为为均均值值解解: 计算计算X1的均值的均值, 由定义有由定义有 E(X1)例例1. 甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶, 所得分数分别记为所得分数分别记为X1, X2, 它们的分布律分别为它们的分布律分别为:X1 0 1 2 X2 0 1 2pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1试评定他们的成绩好坏试评定他们的成绩好坏.=0 0+1 0.2+2 0.8=1.8E(X2)=0 0.6+1 0.3+2 0.1=0.5显然显然,乙的成绩比甲的差乙的成绩比甲的差.kx2. 2, X (k1,

3、2 ), :1e,x0, f(x) 0, 0, x0,2, N. 例例有有 个个相相互互独独立立工工作作的的电电子子装装置置 它它们们的的寿寿命命服服从从同同一一指指数数分分布布 其其概概率率密密度度为为若若将将这这 个个电电子子装装置置串串联联工工作作组组成成整整机机求求整整机机寿寿命命 的的数数学学期期望望解解: Xk(k=1,2)的分布函数为的分布函数为:x1e,x0, F(x) 0, x0, 12Nmin(X,Y)Nmin(X ,X ) 由由前前面面介介绍绍的的的的分分布布函函数数可可知知的的分分布布函函数数为为2xmin0N:E(N)2xxf(x)dxedx.2 于于是是 的的数数学

4、学期期望望为为2xmin2e,x0,Nf(x) 0, x0, 因因而而 的的概概率率密密度度为为 2x2min1e,x0,F(x)11F(x) 0, x0, 例例3，例，例4，例，例5423 例例某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器的的销销售售采采用用先先使使用用后后付付款款的的方方式式。记记使使用用寿寿命命为为X X（以以年年计计），规规定定：X X1 1，一一台台付付款款1 15 50 00 0元元；1 1 X X，一一台台付付款款2 20 00 00 0元元；2 2 3 3，一一台台付付款款3 30 00 00 0元元；x10X,1ex0f(x)100 x0Y 设设寿寿命命 服服从从

5、指指数数分分布布 概概率率密密度度为为试试求求该该商商店店一一台台收收费费 的的数数学学期期望望。3. 随机变量函数的数学期望公式随机变量函数的数学期望公式: kkkkk 1kkk 1: Yr.v.X, Yg(X) (g)(i) Xr.v., pP Xx,k1,2, , g(x )p, E(Y)E g(X)g(x )p . 定定理理设设是是的的函函数数是是连连续续函函数数是是离离散散型型它它的的分分布布律律为为若若绝绝对对收收敛敛 则则 -(ii) Xr.v., f(x), g(x)f(x)dx , E(Y)E g(X)g(x)f(x)dx. 是是连连续续型型它它的的概概率率密密度度为为若若绝

6、绝对对收收敛敛 则则说明说明: 1. 在已知在已知Y是是X的连续函数前提下的连续函数前提下,当我们求当我们求E(Y)时不必知道时不必知道Y的分布的分布, 只需知道只需知道X的分布就可的分布就可以了以了.Zg(X,Y)(g)r.v.X,Y,r.v.(X,Y)f(x,y),r.v.Z 如如是是连连续续函函数数 是是的的函函数数 若若二二维维的的概概率率密密度度为为则则的的期期望望为为 E(Z)E g(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdy, (4.1)() 假假设设积积分分绝绝对对收收敛敛 ijijijijj 1 i 1(X,Y)r.v.P Xx ,Yyp , i,j1,2,3,E(Z)E g(

7、X,Y)g(x ,y )p , (4.2) () 又又若若为为离离散散型型其其分分布布律律为为则则有有假假设设级级数数绝绝对对收收敛敛2. 上述定理可以推广到多维上述定理可以推广到多维r.v.函数函数.1x32 . (X,Y)3 ,yx.x12x y f(x,y) 0, ,1: E(Y),E() XY 例例 设设随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为其其它它试试求求321x-x32x y1: (4.1)E(Y)yf(x,y)dxdy 3 dxydy.4 解解 由由式式可可得得1xy-1E()f(x,y)dxdyY X 321xx31xy2x y13 dxdy.5 10 xQmYn(xY)Yx

8、QQ(x,Y)mxYx 例例设设生生产产 件件，获获利利，Y0 xy /y /110 xE(Q)Qf (y)dymyn(xy) edymx edy x/(mn)(mn) enx dnE(Q)0,xln()dxmn 得得4.均值的性质均值的性质:(1) E(c)=c; (c为常数为常数)说明说明:i. 性质性质(3)和和(4)可以推广到有限个可以推广到有限个r.v.(X1, X2, , Xn)的情况的情况.(2) E(cX)=cE(X);( c为常数为常数)(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4) 设设X,Y相互独立相互独立, 则则E(XY)=E(X)E(Y);(5) |E(XY)|2E

9、(X2)E(Y2).(柯西柯西-许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)ii. 对于对于“和和”,不要求不要求X1,X2,Xn相互独立相互独立; 对对于于“积积”要求要求X1,X2,Xn相互独立相互独立.例例. 二项分布的均值的计算二项分布的均值的计算:设设Xb(n,p),引入引入r.v.Xi(i=1, 2, , n), 它们是相互独它们是相互独立的且都服从立的且都服从0-1分布分布: PXi=1=p, PXi=0=q, X表表示示n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生的次数发生的次数,Xi表示第表示第i次试次试验的结果验的结果:Xi=1表示表示A发生发生, Xi=0表示表示A不发生不发生, 所以所以

10、说明说明: 将将X分解成数个分解成数个r.v.之和之和,然后利用然后利用r.v.和的数和的数学期望等于学期望等于r.v.的数学期望之和来求解的数学期望之和来求解. 这个方法这个方法具有一定的普遍意义具有一定的普遍意义.nii 1 E(X)E(X )np. n ni ii=1i=1X=XX=X故故 2. 2. 方差方差 方差描述了方差描述了r.v.对其数学期望的离散对其数学期望的离散程度程度, 在概率论和数理统计中十分重要在概率论和数理统计中十分重要. 22Xr.v., E X-E(X) , X, D(X) , D(X)E X-E(X).D(X)X. 设设 为为若若存存在在则则称称它它为为 的的

11、方方差差 记记作作即即称称为为 的的均均方方差差或或标标准准差差一、一、定义定义若若X为离散型为离散型r.v.其分布律为其分布律为 PX=xk=pk, k=1,2, 则则 2kkkD(X)xE(X)p , 2-2222Xr.v.,f(x), D(X)x-E(X) f(x)dx. D(X)E(X )- E(X)E(X )-E (X). 若若 为为连连续续型型其其密密度度函函数数为为则则例例1. 设随机变量设随机变量X具有具有(0-1)分布分布, 其分布律其分布律 为为 PX=0=1-p, PX=1=p, 求求: D(X).解解: E(X) =0(1-p)+1p=p,E(X2) =02(1-p)+

12、12p=p, 故故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).2. r.v.X1x , -1x0, f(x)1-x, 0 x1, : D(X). 0, . 例例设设具具有有概概率率密密度度求求其其它它01-10E(X) x(1x)dx x(1x)dx0, 解解：01222-101E(X ) x (1x)dx x (1x) , dx6 221D(X)E(X )-E X).( 6 二、二、方差的性质及切比雪夫不等式方差的性质及切比雪夫不等式：1. 性质性质:10 设设C是常数是常数, 则则D(C)=0;20 设设X是是r.v., C是常数是常数, 则有则有 D(CX)=C2D(X

13、);30 设设X, Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, 则有则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y);40 D(X)=0的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数C, 即即 PX=C=1. 222r.v.XE(X), D(X), 0, PX- , Chebys hev . 设设具具有有数数学学期期望望方方差差则则对对不不等等式式成成立立这这一一不不等等式式称称为为不不等等式式2. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式: 几种重要几种重要r.v.的数学期望及方差的数学期望及方差 1. 一些常用的离散型一些常用的离散型r.v.的均值及方差的均值及方差:10 0-1分布分布: (参

14、见例参见例1).0kn-k2 : Xb(n, p), n PXk p q, k0, 1., nk 二二项项分分布布设设i1,iAX0iA 第第 次次试试验验中中 发发生生设设， 第第 次次试试验验中中 不不发发生生E(X)npD(X)npq. 故故niiiiXX ,E(X )p,D(X )p(1p) 则则0 3 : XP( ), 泊泊松松分分布布 设设即即k-PXke , k0, 1, 2, 0.k! kk-1-k 0k 1E(X)keek!(k1)! 解解：k-k0 e ee.k ! kk22-k 0k 0E(X )ke (k-11)ek!(k1)! k-22k-2k 2k 1ee,(k2)

15、!(k1)! 22D(X)E(X )-E(X) . 2. 一些常用的连续型一些常用的连续型r.v.的均值及方差的均值及方差: 01 : r.v. Xa, b , 1, axb, X: f(x) b -a 0 , . 均均匀匀分分布布 设设服服从从区区间间上上的的均均匀匀分分布布 即即的的密密度度函函数数为为其其它它b-a1abE(X)xf(x)dx xdx,b -a2 解解：33b222-a1baE(X ) x f(x)dx xdx b-a3(ba) 222(b-a)D(X)E(X )- E(X.) 1210- x1 2 : r.v.X, e,x0, : f(x) 0, x0. 指指数数分分布

16、布 设设服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布 则则其其密密度度函函数数为为1x1-0E(X)xf(x)dx xedx 解解：1txttt0 t e dttee,0 令令11txx2222t2100E(X ) xedx te dt2, 222D(X)E(X )- E(X) . 023 : XN( ,), 正正态态分分布布设设则则22(x)-21x:E(X)x edx (t)2 解解令令2t-21( t) edt2 22tt-2211t edt edt 22 (,0, 1 , E(X). 上上式式中中第第一一项项被被积积函函数数为为奇奇函函数数 因因而而积积分分为为而而第第二二项项为为后后一

17、一部部分分为为22(x)-221xD(X)(x- )edx (t)2 令令2t-2221tedt 2 . : 正正态态分分布布按按定定义义计计算算比比按按方方差差公公式式计计算算更更为为方方便便一一些些 下下面面我我们们直直接接按按定定义义计计算算方方差差222t2-2tt2-222-t d( e)2-t e |edt2 222r.v.XE(X), D(X), 0, PX- , Chebys hev . 设设具具有有数数学学期期望望方方差差则则对对不不等等式式成成立立这这一一不不等等式式称称为为不不等等式式切比雪夫不等式切比雪夫不等式:3. 3. 协方差和相关系数协方差和相关系数 () :一一

18、 定定义义XYXY (X, Y)r.v. , EX-E(X)Y-E(Y), XY, Cov(X, Y), Cov(X, Y)EX-E(X)Y-E(Y). Cov(X, Y)D(X)0, D(Y)0, D(X) D(Y)XY. 设设为为二二维维若若存存在在则则把把它它称称作作 和和 的的协协方方差差 记记作作或或即即又又若若则则称称为为 和和 的的相相关关系系数数(i) XY是一个无量纲的量是一个无量纲的量.(ii) Cov(X,X)=D(X).(iii) 对于任意两个对于任意两个r.v.X和和Y, 有有 D(X Y)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).(iv) Cov(X, Y)=E(X

19、Y)-E(X)E(Y).(二二) 协方差的性质协方差的性质:10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);20 Cov(a1X, a2Y)=a1a2Cov(X,Y), 其中其中a1, a2, 是常数是常数;30 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);40 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);50 若若X, Y相互独立相互独立, 则则Cov(X, Y)=0.从定义看从定义看, 相关系数相关系数 XY与协方差只差一个常数倍与协方差只差一个常数倍, XY是标准化了的协方差是标准化了的协方差, 关于相关系数有下面定理关于相关系数有下面定理. () :三三 定定理理

20、定理说明了相关系数定理说明了相关系数 XY刻划了刻划了X, Y之间的之间的线性相关关系线性相关关系, 当当 XY=0时时, 我们称我们称X,Y不相不相关关. (这里是指它们之间没有线性相关关系这里是指它们之间没有线性相关关系.) XY0XY0XY XY, : 1 1; 2 1X Y1, P YabX1, a, b, b0. 设设是是随随机机变变量量和和的的相相关关系系数数 则则有有和和以以概概率率 线线性性相相关关 即即其其中中为为常常数数 且且() :四四 不不相相关关与与相相互互独独立立的的关关系系 a. X, Y, X, Y; b. ;若若相相互互独独立立 则则不不相相关关上上面面的的逆

21、逆命命题题一一般般不不真真22XY, r.v.(X , Y )1, xy1, f(x,y). 0, ,C ov(X , Y )0, f(x,y)f(x)f(y). 反反 例例二二 维维的的 密密 度度 函函 数数 是是其其 它它其其但但 c. (X, Y ), 当当服服从从二二维维正正态态分分布布时时 逆逆命命题题亦亦成成立立例例1.设设(X, Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求X和和Y的相关系数的相关系数.22122212(x)(y)22XY12: (X,Y)11f (x)e f (y)e,-x,y,22 解解 前前面面在在第第三三章章的的例例子子中中已已经经知知道道的的边边缘缘概概

22、率率密密度度为为 22121212-E(X),E(Y), D(X), D(Y).Cov(X,Y)(x-)(y-)f(x,y)dxdy 故故知知而而22ut22221212-21122111(1tuu e)dudt2y-xx1 t , u 1- 其其中中故故2222ut21222ut21222Cov(X,Y)(u edu)(edt)21- (uedu)(tedt)2 1212XY 22 .2 . 由第三章我们曾证明过的一个命题由第三章我们曾证明过的一个命题,设设(X, Y)服从二维正态分布服从二维正态分布, 则则X, Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 =0. 知知X与与Y不相关与不相关

23、与X和和Y相互独立是等价的相互独立是等价的.4. 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一. 定义定义: 设设X和和Y是随机变量是随机变量, E(X),E(Y)为一阶原点矩为一阶原点矩, D(X),D(Y)为二阶中心矩为二阶中心矩, XY为二阶混合中心矩为二阶混合中心矩.(1) 若若E(Xk), k=1, 2, 存在存在, 则称它为则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.(2) 若若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在存在,则称它为则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.(3) 若若EXkYl, k, l=1, 2, 存在存在, 则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶阶混合矩混合矩.(4) 若若EX-E(X)k

24、Y-E(Y)l, k, l=1, 2,存在存在, 则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩. :二二 定定义义12nijij11121n21222nn1n2nn12nn(X , X , , X ) Cov(X ,X ), i,j1,2,n, , C n(X , X , , X ). 设设 维维随随机机变变量量的的二二 阶阶 中中心心矩矩及及二二阶阶混混合合中中心心矩矩都都存存在在 则则称称矩矩阵阵为为 维维随随机机变变量量的的协协方方差差阵阵三三. 协方差阵的性质协方差阵的性质:10 C是对称的是对称的; (由协方差的性质由协方差的性质Cov(X,Y) =Cov(Y,X),

25、ij= ji可得可得) 20 ii=D(Xi), i=1, 2, 3, , n.30 ij2 ii jj, i,j=1, 2, , n.(由许瓦尔不等由许瓦尔不等 式可得式可得)40 C是非负定的是非负定的, 即对任意的即对任意的n维向量维向量 a=(a1, a2, , an)T, 都有都有aTCa0.|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)四四. n维正态变量维正态变量: T11111121n2221222nnnn1n2nn1-(X) C(X212nn1221. : nr.v.(X1, X2, Xn), xx X , , C ,xn, Cn, 1 f(x , x

26、 , , x ) e2C 设设有有 维维记记其其中中 为为 维维常常向向量量是是 维维对对称称正正定定定定义义矩矩阵阵 称称以以)12nr.v.n, (X , X , Xn)N( , C). 为为密密度度函函数数的的 维维为为 维维正正态态变变量量 记记作作2. 性质性质:10 n维维r.v. (X1, X2, , Xn)服从服从n维正态分布的的充要维正态分布的的充要条件是条件是X1, X2, , Xn的任一线性组合的任一线性组合 l1X1+l2X2+ +ln Xn服从一维正态分布服从一维正态分布.20若若(X1, X2, , Xn)服从服从n维正态分布维正态分布, 设设Y1,Y2, , Yn

27、是是Xj(j=1, 2, , n)的线性函数的线性函数, 则则(Y1, Y2, Yn)也服从多维正态分布也服从多维正态分布.30 若若(X1, X2, , Xn)服从服从n维正态分布维正态分布, 则则“X1, X2, , Xn”相互独立与相互独立与“X1, X2, , Xn”两两两两 不相关是等价的不相关是等价的.第四章第四章 习题课习题课一一. 主要内容主要内容:1. 随机变量随机变量 的数学期望；的数学期望；2. 方差方差;3. 协方差协方差;4. 相关系数相关系数.二二. 练习练习:1. 一台设备由三大部件构成一台设备由三大部件构成, 在设备运转中各部件需要调整在设备运转中各部件需要调整

28、的概率分别为的概率分别为0.1, 0.2和和0.3,假设各部件的状态相互独立假设各部件的状态相互独立, 以以X表示同时需要调整的部件数表示同时需要调整的部件数, 试求试求X的数学期望和方差的数学期望和方差.2X2.X U(0,1),(1)Ye;(2)Cov(X,Y). 设设求求的的概概率率密密度度求求3.(4.10)r.v.(X,Y)1,| y | x,0 x1,f(x,y):E(X),E(Y),Cov(X,Y).0, 作作业业设设概概率率密密度度求求其其它它12341232344.,X,Y,: XY. 设设相相互互独独立立同同分分布布 且且方方差差有有限限令令试试求求与与 的的相相关关系系数

29、数:X:解解法法一一 先先求求出出 的的分分布布律律iAi,i1,2,3. 设设 “表表示示第第 个个部部件件需需要要调调整整”123123PX0PA A A P(A )P(A )P(A )0.504则则231312123PX1PA A A PA A A PA A A 0.398 321121323PX2PA A A PA A A PA A A 0.092 123PX3PA A A 0.006 222E(X)00.50410.39820.09230.0060.6E(X )0.820,D XE(X )E(X)0.46. 则则i1,i,:Xi1,2,3,0,i, 第第 个个部部件件需需要要调调整整

30、解解法法二二 设设第第 个个部部件件不不需需要要调调整整123123XXXX ,X ,X ,X, 且且相相互互独独立立123E(X)E(X )E(X )E(X )0.10.20.30.6, 123D(X)D(X )D(X )D(X )0.10.90.20.80.30.70.46123P(A )P(A )P(A )p, 若若则则X b(3,p),E(X)3p,D(X)3p(1p).2X2.X U(0,1),(1)Ye;(2)Cov(X,Y). 设设求求的的概概率率密密度度求求2xX1,0 x1,1:(1)f (x),ye,xlny.20, 解解其其它它2YXX1,1ye ,11112yf (y)

31、f (lny)(lny)f (lny)2222y0,. 其其它它1(2)E(X),2 12X2x201E(Y)E(e)e dx(e1)2 12X2x201E(XY)E(Xe)xe dx(e1),4 22Cov(X,Y)E(XY)E(X) E(Y)111 (e1)(e1).442则则1x0 x2E(X)xf(x,y)dxdyxdxdy,3 解解1x0 xE(Y)yf(x,y)dxdydxydy0, 1x0 xE(XY)xyf(x,y)dxdyxdxydy0. Cov(X,Y)E(XY)E(X) E(Y)0.3.r.v.(X,Y)1,| y | x,0 x1,f(x,y):E(X),E(Y),Co

32、v(X,Y).0, 设设概概率率密密度度求求其其它它xXxdy2x0 x1f (x)0 其其它它102E(X)x 2xdx,3 1y1Yydx1y,0y1,f (y)dx1y, 1y0,0,. 其其它它100111E(Y)y(1y)dyy(1y)dy0.66 也可以先求也可以先求X，Y的边缘密度，再求数学期望。的边缘密度，再求数学期望。2ii:E(),D(),i1,2,3,4. 解解 令令12341232344.,X, Y,:XY. 设设相相 互互 独独 立立 同同 分分 布布 且且 方方 差差 有有 限限令令试试 求求与与的的 相相 关关 系系 数数E(X)3 ,E(Y)3 , 则则22D(

33、X)3,D(Y)3, 123234E(XY)E()() 2222272()92. 2Cov(X,Y)E(XY)E(X) E(Y)2. 2XY22Cov(X,Y)22.3D(X)D(Y)33 1232341213332Cov(,)Cov(,)Cov(,)Cov(,)2 2ijij222iE()E()ijE()E()ij 22(x)21:E| X| x|edx2 解解22xttt22012| t |edt2tedt.22 令令22:(1)X N(0,1),E| X|.(2)XYN0XY),E| XY |2 E|2222 2 2注注若若则则与与 相相互互独独立立，都都服服从从 （ ，）分分布布，则则

34、X-YN(0,2X-YN(0,225.X N( ,),E | X| . 设设求求6.(1)XYD(XY)D(X)D(Y)XY()(A),(B),(C)(D) :(C)设设随随机机变变量量 和和 的的方方差差存存在在且且不不为为零零，则则是是 和和不不相相关关的的充充分分条条件件 但但不不是是必必要要条条件件独独立立的的充充分分条条件件 但但不不是是必必要要条条件件不不相相关关的的充充分分必必要要条条件件独独立立的的充充分分必必要要条条件件答答(2)XY,E(XY)E(X) E(Y),()(A)D(XY)D(X) D(Y)(B)XY(C)D(XY)D(X)D(Y)(D)XYE(XY)E(X) E(Y),XY,Cov(X,Y)0,(C)D(XY)D(X)D(Y). 对对于于任任意意两两个个随随机机变变量量 和和若若则则有有和和 独独立立和和 不不独独立立解解由由和和 不不一一定定独独立立但但有有则则成成立立3nXY1D2（ ）将将一一枚枚硬硬币币重重复复抛抛 次次，以以和和分分别别表表示示正正面面向向上上和和反反面面向向上上的的次次数数，则则X X和和Y Y的的相相关关系系数数为为：（A A）-