概率论常用统计分布

1、下下回回停停第二节第二节 常用统计分布常用统计分布一、常见分布一、常见分布二、概率分布二、概率分布 的分位数的分位数一、常见分布一、常见分布 在实际中我们往往会遇到这样的问题在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有要求有本节介绍一些最常见的统计分布本节介绍一些最常见的统计分布. 例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号2XY 通常需要求出通常需要求出Y的概率分布的概率分布.关关随机变量的函数随机变量的函数的概率分布的概率分布.这个信号通过平方示波器，则这个信号通过平方示波器，则是一个随机变量是一个随机变量X ，若我们把，若我们把输出的信号为输出的信号为正态分

2、布是自然界中最常见的一类概率正态分布是自然界中最常见的一类概率)(21222ZYXmS 例如在统计物理中，若气体分子速度是随例如在统计物理中，若气体分子速度是随的分布规律的分布规律.),5 . 1 , 0(N),(ZYXV 各分量相互独立各分量相互独立，且均服且均服从从机向量机向量要求该分子运动动能要求该分子运动动能的概率分布问题的概率分布问题.是关于这些正态随机变量的平方以及平方和是关于这些正态随机变量的平方以及平方和高高，体重等都近似服从正态分布体重等都近似服从正态分布.常见的问题常见的问题分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身1. 2 分布分布要求要

3、求S的分布的分布,自然首先就要知道自然首先就要知道S中的随机变量中的随机变量222ZYX 的概率分布的概率分布. 对于这种在实际中经常碰到的随机变对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方量平方和和问题，我们自然希望能够对其加以总结，问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方卡方分布分布就是在类似的实际背景下提出的就是在类似的实际背景下提出的.中中右右端端包包含含独独立立指指222212nnXXX (1) 定义定义自由度：自由度：的的样样是是来来自自总总体体设设)1 , 0(,21NXXXn222212nnXXX 本本，则则称称统统计计量量服服从从.2分分布布的的自自由由度度为为 n.变量的个数变量

4、的个数定义定义5.6其它002212122xexnxpxnn)()( 证证21 1(1),2 2 因因为为分分布布即即为为分分布布),1, 0( NXi又又因因为为),1(22 iX由由定定义义21 1,1, 2, .2 2iXin即即定理定理5.42n 分分布布的的概概率率密密度度: :分布的概率分布分布的概率分布2)2(n,21相相互互独独立立因因为为nXXX,22221也也相相互互独独立立所所以以nXXX2211,.2 2nniinX 根根据据 分分布布的的可可加加性性知知性质性质1独独并且并且设设21222121,),(),(YYnYnY )(2分布的可加性分布的可加性 (此性质可以推

5、广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形)相互相互并且并且设设), 2, 1(),(2miYnYiii 分布的性质分布的性质2 (3).(,21221nnYY 则则立立).(,2121mmiinnnY 则则独独立立性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEnnnn 则则若若证证所所以以因因为为),1, 0( NXi, 1)()()(22 iiiXEXDXExexXExid21)(2442 )(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 2032d22xex d32220202322xexexxx 3 2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ), 2, 1(ni

6、niinXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niinXDD122)( niiXD12)(.2n )1)(2 iXE性质性质3有有则则对对任任意意设设,),(22xnn nniinXXXX, 6 . 521122其其中中由由假假设设和和定定义义 证证22()1,()2(1,2, )iiE XD Xin 2221lim.22txnnnPxedtn 且且独独立立同同分分布布因因而而独独立立且且每每个个,),1 , 0(22221niXXXNXdtexnnXPtxniin212221lim 由由中中心心极极限限定定理理得得n分分布布，也也即即当当分分布布的的极极限限分分布布是是正正态态即即

7、2 ).2 ,(),1 ,0(222nnNNnnnn 进进而而服服从从很很大大时时，2lim2xnnPnn 解解例例1相互独立，相互独立，且，且设设YXYNX,)2(),4 , 0(2 .42的概率分布的概率分布试求解试求解YX )1 , 0(2NX相互独立相互独立与与且且YX42).3(422YX 得得，由可加性得，由可加性得又因为又因为)1(422X相互独立，所以相互独立，所以且且因为因为YXNX,(0,4)的的一一组组为为来来自自正正态态总总体体设设)1 , 0(,621NXXX例例2使使得得求求样样本本21,CC2654322211)()(XXXXCXXCY ),4 , 0(6543N

8、XXXX 同同理理解解),2 , 0(21NXX )1 , 0(2211NXXY 则则)1 , 0(465432NXXXXY 则则.2分布分布服从服从 221)2(XX 所以所以26543)4(XXXX .,412121CC则则与与又又2211XXY 465432XXXXY 相互独立相互独立.2221YY )2(2 历史上，正态分布由于其广泛的应用背景历史上，正态分布由于其广泛的应用背景增大而接近正态分布增大而接近正态分布,样本均值的分布将随样本量样本均值的分布将随样本量识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认数据

9、分析工作，对数据误差有着大量感性的认的酿酒化学技师的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验他在酒厂从事试验在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻和良好的性质，曾一度被看作是和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布万能分布”，2. t 分布分布但是但是Cosset在实验中遇到的在实验中遇到的样本容量仅有样本容量仅有56样本曲线样本曲线Cosset正态曲线正态曲线个个，在其中他发现实际数据的分布情况与，在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布有着较大的差异正态分布有着较大的差异.Oxy 于于是是Cosset怀疑存在一个不属于正态的怀疑存在一个不属于

10、正态的其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，并在并在1908年以年以“Student”笔名发表了此项结果，笔名发表了此项结果，后人称此分布为后人称此分布为“t 分布分布”或或“学生氏学生氏”分布分布.YXnYNX,),(),1, 0(2且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏 (Student)分布分布.(1) 定义定义则称随机变量则称随机变量独立独立,nYXT/ ).(,ntTtn记记为为分分布布的的服服从从自自由由度度为为定义定义5.7.图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t显然图形是关于显然图形是关于 tntnnnthn,1221)

11、(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)()2(nt充充分分大大时时，其其图图形形当当n.0 对称对称 t类似于标准正态变量类似于标准正态变量.概率密度的图形概率密度的图形Oxy2 n9 n2 n n(3) T的数字特征的数字特征, 0)( TE,21)(lim22tneth 因为因为,)1 , 0(分分布布分分布布近近似似于于足足够够大大时时所所以以当当Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布与与但但对对于于较较小小的的Ntn).2(2)( nnnTD例例3 ./91291 iiiiYXT）（且都服从且都服从相互独立相互独立和和设总体设总体9 , 0,NYX的样本

12、，的样本，来自总体来自总体和和YXYYYXXX,921921求统计量求统计量T的分布，其中的分布，其中解解 )1 , 0( NX从抽样分布知从抽样分布知，故故而而)1 , 0(3/),9 , 0(NYNYii. 9 , 2 , 1),1()3(22 iYi 从而从而由可加性知由可加性知)9()3(2912 iiY)9(991912912tYXYXiiii 于是由于是由t 的定义有的定义有即即).9(91291tYXTiiii 分布分布F3.(1) 定义定义相相互互独独立立，且且设设YXnYnX,),(, )(2212 则则称称随随机机变变量量21/nYnXF 分分布布，记记为为的的服服从从自自

13、由由度度为为Fnn),(21).,(21nnFF定义定义5.8分布的概率密度为分布的概率密度为),()2(21nnF 其其它它, 00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnypnnnn分布有以下性质分布有以下性质F)3().,(1),(1221nnFFnnFF则则若若1),2(,2)(222 nnnFE2)有有对对任任意意时时则则当当设设xnnnFF,4),(221 3)这说明这说明F分布极限分布也是正态分布分布极限分布也是正态分布.)4(,)4()2()2(2)(222212122 nnnnnnnFDdtexFDFEFPtxn22121)()(lim 例例4).

14、, 1(, 8 . 522nFnYXT 有有由由定定义义有有由定义由定义因为因为7 . 5),(ntT)., 1(),(2nFTntT试试证证已已知知证证,),(),1 , 0(2独独立立且且其其中中YXnYNX ,),1(222独独立立与与且且从从而而YXX nYXT 例例5所所以以因因为为, ),(mnFX.,),4)(,(11 DXEXnmnFX试求试求设设),(1nmFX 解解 由由F分布的性质知分布的性质知,21 nnEX所以得所以得 .)4()2()422(221 nnmnmnDX二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数使使若若存存在在, x xXP(01),X 对对于于总总体体

15、和和给给定定的的1. 定义定义2. 常用分布的上侧分位数记号常用分布的上侧分位数记号 分布分布 N(0,1) t(n)F(n1,n2) 记号记号)(2n u)(2n )(nt ),(21nnF .分位数分位数的分布的上侧的分布的上侧为为则称则称 Xx定义定义5.93. 查表法查表法(1) 若若X的分布密度关于的分布密度关于y轴对称，则轴对称，则 xx 1 1 xyO x x特例：特例： uuN 1)1 , 0()1：)()(:)()21ntntnt ：正态分布的上侧分位数正态分布的上侧分位数 u)1 )(uuXP 11xeuXPuxd2122 1)(即u.2,的的值值可可查查得得由由附附表表给

16、给定定 u则其上侧则其上侧服从标准正态分布服从标准正态分布设设),1 , 0(NX满满足足分分位位数数 u 105.0u025.0u根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 uu ,645. 1 ,96. 1 1)(u0.950.975)05. 0( )025. 0( uOxy)(xy u 1 1称称满满足足条条件件对对于于给给定定的的, 10, 可以通过查表求可以通过查表求由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,45 untn 时时当当2)( )ttn 分分布布的的上上分分位位： )(d)()(nttthnttP .)()(分分位位点点分分布布的的上上为为的的点

17、点 ntnt.分位点的值分位点的值得上得上 1)(ntOxy)(xhy )10(05. 0t,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 (2) X的分布密度无对称性的情形的分布密度无对称性的情形:)()12n 称称满满足足对对于于给给定定的的正正数数, 10, )(222d)()(nyypnP .)()(22分分布布的的上上侧侧分分位位数数为为的的点点nn )(2nOxy)(xpy 460时，可查表时，可查表当当 n)8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 (表表4只详列到只详列到 n=60 为止为止).,535.17 ,247. 3 .382.34 .

18、2)(,2 unnnn 充分大时充分大时当当例如：例如：05. 0205. 01202120)120(u . 5 .145 费歇资料费歇资料费歇费歇(R.A.Fisher)公式：公式：.2)(602 unnnn 时，时，当当.分分位位点点是是标标准准正正态态分分布布的的上上其其中中 u64. 1240120 )12, 9(105. 0F ：),()221nnF 等等，对对于于1 . 0,05. 0,025. 0,01. 0 此外，还可利用关系此外，还可利用关系.),(1),(12211nnFnnF .1 FF 求求得得由由)9 , 21(59 . 0F如如：8 . 21 .357. 0 )30

19、,14(05. 0F.31. 2 )8 , 7(025. 0F,90. 4 . 85可可直直接接查查表表.),(1),(12211nnFnnF 证证),(1 211nnFFP 所所以以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因因为为,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因为因为,),(1 12 nnFFP所所以以, ),(),(11221-1nnFnnF 比比较较后后得得.),(1),(12211nnFnnF 即即内容小结内容小结1.三大抽样分布三大抽样分布:分布分布分布分布分布分布 , , 2Ft 的

20、定义的定义,性质性质.2.概率分布的分位数概念概率分布的分位数概念. xXP的的样样本本，为为来来自自于于正正态态总总体体设设),(),(21 NXXn._)(122 niiX 则则解解, 1),1 , 0(niNXi .且它们独立且它们独立).()(2122nXnii 则则)(2n 例例1-1备用题备用题例例1-2）的样本，）的样本，（来自正态分布来自正态分布设设221, 0, NXXXn.12的分布函数的分布函数试求试求 niiXY解解所以所以Y的分布函数为的分布函数为)()()(2 yTPyYPyF .22分布函数分布函数的的表自由度为表自由度为其中其中 nn分分布布性性质质知知则则由由

21、令令22, YT 2nT . 0),(22 yyn 相应的由公式法可得，密度函数为相应的由公式法可得，密度函数为21222211( )()2( /2)ynyp yen 21221,0.2( /2)ynnyeyn . )()()(),(11 yfyfpYxfYxpX函函数数为为密密度度的的且且单单调调连连续续，则则密度变换密度变换公式公式例例2-12,SX)1(/)()()()1 , 0()()1 , 0()(2122 ntSXDnXCNXnBNXAnii 态态变变量量的的线线性性为为样样本本均均值值，由由独独立立正正因因X个样本个样本，分别为样本均值与方差，则分别为样本均值与方差，则解解)1,

22、 0(nNX所所以以), 0(nNXn相相应应的的设总体为标准正态分布，从中抽取设总体为标准正态分布，从中抽取n组组合合仍仍为为正正态态随随机机变变量量由由卡卡方方分分布布的的定定义义有有因因为为),1 ,0( NXi)(212nXnii )1()1 ,0(22 nnSNXn 且且因因为为的的独独立立性性有有与与所所以以，由由2nSXn)1()1/(12 ntnnSXnSXn综上可得综上可得,正确答案为正确答案为C.,),(),(222相相互互独独立立且且设设YXnYNX 例例3-1nYXT 试试求求解解)1 , 0(),(2NXNX ,),(222独独立立与与则则独独立立且且又又 YXYXn

23、Y ).(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT 由定义由定义5.7,.的概率分布的概率分布例例3-2 服服从从设设是是样样本本均均值值和和方方差差，又又和和的的样样本本，12 nnXSX),(221 NXXXn是是来来自自正正态态分分布布，设设111 nnSXXTnn相相互互独独立立，试试求求分分布布，且且与与nXXN,),(12 的概率分布的概率分布.)1,0(21 nnNXXn 因因为为解解）（所以所以1 , 0121NnnXXn 相互独立相互独立与与且且2211 nnnSnnXX )1(222 nnSn 又又)1(1112221 nnSnnnnSXXnnn 故故. )1( nt例例3-

24、3YXTYNX 令令设设),4(),1 , 0(2 _, DTET则则.2124441)2(410221 TDDTTEET所所以以因因为为, )4(4/2tYXT 解解02/1例例3-4分别来自正态总分别来自正态总和和设设nmYYXX,11且相互独立，试求且相互独立，试求和和体体),(),(2221 NN为实数为实数 ,2)()(22212122nmnmnSmSYXT 的概率分布的概率分布.解解服服从从正正态态分分布布且且独独立立，由由于于YX ,),(),(2221nNYmNX 所所以以), 0(), 0(2221nNYmNX 因因此此)( , 0()()(22221 nmNYX ) 1 ,

25、 0()()(/12122NYXnmU 0)()()(21 YXEYXE又因为又因为)()()(21 YXDYXD故故222)( nm )2(2222122 nmnSmSV ),1(2212 mmS 我我们们有有且它们相互独立且它们相互独立, ,再利用伽玛分布的可加性知再利用伽玛分布的可加性知由卡方分布的定义知由卡方分布的定义知)1(2222 nnS ).2(2 nmtnmVU从而从而, 由由t分布的定义有分布的定义有nmnmnSmSYXT2221212)()(22 例例3-5TNYX量量且相互独立，试求统计且相互独立，试求统计设设)1 , 0(,.YXT 的分布函数，其中的分布函数，其中独立，独立，且与且与因为因为XNY)1 , 0(解解独独立立与与），且且（所所以以2221YXY 故由故由t 的定义有的