预测2015年重庆市人口总数问题

1、数学模型课程作业摘要摘要针对题目所提要求，我借助Matlab建立了三种重庆市人口预测模型，分别为多项式模型、Malthus模型和Logistic模型，在对所建模型进行了检验和比较后，用所建的人口模型对2015年重庆市的人口数量进行预测。由于所需做的预测仅为短期预测，在建模过程中，我没有考虑出生率、死亡率、性别比例、国家政策等因素的影响，仅按人口统计量进行建模，所得模型简单易用，且在短期内预测效果较好。在建模过程中，我查阅了许多资料，虽然并未能完全吸收，但还是有很多收获。我选取了一些让我收获较大的资料放在扩展阅读中与大家分享。在建模过程中，我遇到了很多困难，经过了很多艰难的摸索后得出了文中的成果

2、，在此，我也希望记录下自己在摸索过程中的心得体会，算是记录自己的学习历程，也算是为以后留下一些资料。关键词：重庆市、人口模型、多项式模型、Malthus模型、Logistic模型、Matlab建模1数学模型课程作业模型建立目录摘要1一、问题的重述1二、模型假设1三、问题分析与模型建立11、数据分析12、模型建立11）多项式拟合22）Malthus模型53）Logistic模型5四、模型的检验与比较71、拟合程度的评估72、各模型对重庆市人口数据拟合的结果83、模型的比较及优缺点分析8五、扩展阅读10六、心得体会12七、参考文献13附表14附录15I一、问题的重述现需要解决的问题如下：1.主要根

3、据19902011年的人口统计数据，对重庆市人口增长的短期趋势作出预测。2.比较所建模型，找出各模型的优点和不足。二、模型假设1.在未来20年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。2.重庆市人口迁入与迁出量相等。3.在未来20年内，我国计划生育政策稳定。4.假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。三、问题分析与模型建立1、数据分析图 1 重庆市人口统计数据连线图首先根据重庆市1999-2011年的人口数据，在平面上绘出其分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2015年的重庆市人口。利用MATLAB软件作出重庆

4、市人口统计数据的连线图如图1。2、模型建立由图1可以看出，重庆市的人口变化规律接近于一次函数关系，这种增长型式曲线较直，比较有特色，所以，在此，除了用常见的Malthus模型和logistic模型做拟合，我决定大胆的尝试一下多项式拟合。171）多项式拟合（1）模型的建立对于已知数据点，如果选用拟合基函数为幂函数类，则拟合函数为一个m次多项式函数。根据最小二乘法拟合思想，问题归结为求m+1元函数的最小值问题，同样的，利用多元可微函数求得极值的必要条件得到方程组此时，矩阵G为一范德蒙矩阵，解此方程可以求的多项式系数（2）用Matlab进行拟合（源程序见附录，下同）一次函数,式中x为年份，y1为人口

5、数图 2 用一次函数对重庆市的人口数进行拟合注：图中蓝线为实际人口连线，红线为拟合函数。（下同）二次函数,式中x为年份，y1为人口数图 3用二次函数对重庆市的人口数进行拟合三次函数图 4 用三次函数对重庆市的人口数进行拟合,式中x为年份，y1为人口数四次函数,式中x为年份，y1为人口数图 5 用四次函数对重庆市的人口数进行拟合2）Malthus模型（1）模型的建立假设重庆市的人口满足函数关系y=f(t), f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数的最小值点。其中yi是ti时刻重庆市的人口数。（2）用Matlab进行拟合,式中t为年份，y1为人口数图 6 Ma

6、lthus人口模型拟合3）Logistic模型（1）模型的建立上述模型可以在短时间内较好地拟合实际人口数量，但也存在问题。即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。这是因为自然资源环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数xm，假设人口的静增长率为，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t®¥时，静增长率趋于零。按照这个假设，

7、得到 (1)这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出的Logistic模型。人口的变化规律为： (2)初始参数估计： (3)其中(t1,N1)、(t2,N2)、(t3,N3)分别表示实测数据序列的始点、中点、终点（2）用Matlab进行拟合，式中t为年份，y1为人口数图 7 Logistic人口模型拟合根据式(3)，得到L的初始值为4733，此处取5000进行拟合四、模型的检验与比较1、拟合程度的评估假设我们要把函数与数集进行拟合，残差平方的总和计算公式是：现在用表示数集的平均值。数集与平均值偏差的平方和计算公式是：那么r平方值就是：如果，那么函数将与数据完美拟合，因此越接近1拟合就

8、越好。2、各模型对重庆市人口数据拟合的结果年实际人口/万计算人口（一次函数）计算人口（二次函数）计算人口（三次函数）计算人口（四次函数）计算人口（Malthus）计算人口（Logistic）19902920.902907.22928.82917.52916.92910.62905.219912938.992926.02941.42936.62936.62928.42924.719922950.782944.82954.72954.72955.02946.32944.019932964.922963.72968.62972.02972.42964.22963.419942985.592982.5

9、2983.12988.62989.02982.32982.619953001.773001.32998.23004.83005.13000.53001.819963002.773020.23014.03020.63020.43018.83021.019973042.923039.03030.33036.33036.23037.23040.119983059.693057.83047.33052.03051.83055.73059.119993072.343076.63064.93067.93067.63074.43078.020003091.093095.53083.13084.13083.8

10、3093.13096.920013097.913114.33101.93100.93100.63112.03115.720023113.833133.13121.43118.43118.13131.03134.420033130.103151.93141.43136.83136.63150.13153.120043144.233170.83162.13156.23156.23169.33171.720053169.163189.63183.43176.83176.93188.63190.220063198.873208.43205.33198.83199.13208.13208.6200732

11、35.323227.23227.93222.33222.83227.63226.920083257.053246.13251.03247.63248.03247.33245.220093275.613264.93274.83274.83275.13267.13263.320103303.453283.73299.13304.03303.93287.13281.420113329.813302.53324.13335.43334.83307.13299.420123343.44(新查出)3321.43349.73369.23367.63327.33317.320133340.23376.0340

12、5.03402.73347.63335.120143359.03402.83444.83439.93368.03352.820153377.83430.33486.83479.43388.53370.4拟合程度评估（r2）0.98670.99520.99730.99740.98960.98453、模型的比较及优缺点分析优点：从各年份人口实际数量和模型模拟所得数据做对比，以及结合拟合程度评估，我们可以看出6个模型与实际人口数的拟合程度都比较高，用于做预测所得的数据都较有可信度与合理性。由拟合程度评估可得，四次函数拟合的拟合程度最高，达0.9974，但与最近几年的实际人口数相比都有一些偏高。Mal

13、thus模型作为常用的短期人口预测模型，在本次的数据拟合中也取得了较好的效果。Logistic模型主要用在环境因素影响较大的研究过程中，在这次的预测中，由于所用数据不多，预测的时间也不长，并没有表现出明显的优势，甚至从拟合程度评估来看，还略逊与其余5个模型，但也在预测中有着不错的表现。缺点：未考虑出生率和死亡率对人口的影响，影响预测的准确度。未考虑性别比例、年龄分布、城镇居民及农村居民分布及个人受教育程度等因素的影响影响预测的准确度。原始数据量不大而且较为密集，对预测未来人口数量造成了一定影响。数学模型课程作业扩展阅读五、扩展阅读在查阅资料的过程中，我对人口模型的中长期预测也产生了兴趣，但是由

14、于个人知识水平、时间及精力的限制，只对那些复杂的模型做了一些初步的了解，并没有能够加以运用，在此，我还是想把我了解到的一些皮毛知识记录下来。1、下图从一篇名为人口预测模型（经典）的word文档中截取，在该文档中，作者在对中国的人口做预测时考虑了一下几种模型。出 生 率年龄结构按影响增长因素建立模型型男女比例Leslie人口模型死 亡 率中国人口预测模型按人口统计量建立模型一次线型回归逻 辑 斯 蒂灰 色 预 测熵权法组合模型中短期长 期BP神经网络模型2、可以看出，在中短期人口模型中，我们可以主要按人口统计量建立模型，这样也能得到不错的预测结果。一次线性回归模型和Logistic模型在此不再赘

15、述。通过查阅资料，我对灰色预测模型及熵权法组合模型的理解如下：灰色预测模型：灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算累减生成得到还原模型，再由还原模型作为预测模型。灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，对于人口模型这种不确定因素相当多的方法是非常适用的。熵权法组合模型：熵权法是一种决定指标的方法，综合指标取决于单个指标数的确定，一般情况下的权重是根据经验来确定的，但是这种确定权重的方法缺少科学根据，也不能保证确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息，且权重的确立因

16、人而异，所以其应用受到了限制。而熵权法则是按照信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；如果指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高，这就能够避免这些问题，使权重的确立具有科学的根据，具有说服力。由于影响人口增长的因素很多，且各因素影响程度不同，使用熵权法组合模型能充分利用到各因素的统计数据，使预测结果更可靠。3、Leslie人口模型：Leslie人口模型是按年龄分组的种群增长模型，而种群是直接通过雌性个体的繁殖而增长的，故在Leslie人口模型中用雌性个体的数量变化为研究对象，再由一定的性别比例得到种群总体数

17、量。4、基于BP神经网络的时间序列预测模型：此模型只需以历史数据作为输入，通过抑制与激活神经结点，自动决定影响性能的参数及影响程度，自动形成模型，无需进行模型假设，再加上神经网络对复杂的非线性系统具有曲线拟核能力，预测能力强，所以是合适的对比检验模型。计算实例表明,人口预测的神经网络模型具有客观性、精度高、易操作的特点。六、心得体会1、在建立模型的过程中，我一开始遇到了很多困难，当初想象得很美好，觉得这是个短期的预测，应该比较好做。但是在查过资料之后发现，人口模型有相当多的类型，而且其中不乏由于我的数学功底不够，看着就头疼的模型。除此之外，比数学功底更让我感到苦恼的是我的Matlab功底，需要

18、用到Matlab的时候简直就是在拿本入门书不停的自学。2、在查找资料时，阅读了2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的优秀论文，看到参赛的同学在选取模型时都考虑了各种因素的影响，思维非常全面，但随之而来的就是他们所用的模型，对使用者的数学要求以及对使用软件的要求都比较高，在阅读过程中我常常感觉看得十分吃力，这充分的体现除了我们能力上的巨大差距。让人不免感到十分挫败，同时也更加有了奋斗的动力。3、在建立Logistic模型的过程中，最开始我只用了2000-2011年的数据，应该是由于数据量过少且过于密集，在估算环境最大容纳量xm的过程中出现了一个很奇怪的数据，xm小于重庆市的现有人数当时这一现

19、象让我感到十分困扰。我试着代这个估算出的xm进去拟合，得到的曲线简直是惨不忍睹为了看看xm对拟合的影响程度究竟有多大，我改大xm的值重新进行拟合，发现可以得到拟合度极高的曲线。于是我决定增大原始数据量再进行一次拟合，在增加了10组数据后，得到了一条明显好得多的拟合曲线。这让我充分的体会到了原始数据量对模型建立的巨大影响。4、在完成本次建模的过程中，我学会了Matlab的一些基本用法，也体会到了Matlab在计算及图形处理上的强大能力。而且相比起C语言，Matlab自带的函数及其丰富的工具箱为我们的计算及作图带来了极大的便利。这让我深刻的感受到，在如今的生活环境中，计算机软件给我们的生活带来的便

20、利，也让我明白了，在学习过程中，除了自己的专业课，多学习一些其他科目的知识，善于利用现有的工具辅助自己，会极大的提高自己的效率。数学模型课程作业参考文献七、参考文献1 姜启源 数学模型M 北京：高等教育出版社 20052 未知作者 重庆统计信息网 重庆统计年鉴 3 2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛 中国人口增长预测（多篇）4 殷祚云 Logistic曲线拟合方法研究J 数理统计与管理 20025 骆小琴 重庆市人口预测与控制D 20086 张洪阳 重庆市人口普查数据分析与模型诊断D 20037 David McMahon Matlab揭秘M 郑碧波译数学模型课程作业附表附表数学模型课程作

21、业附录附录1.重庆市人口统计数据连线图的源程序：x=1990:1:2011;y=2920.9 2938.99 2950.78 2964.92 2985.59 3001.77 3022.77 3042.92 3059.69 3072.34 3091.09 3097.91 3113.83 3130.10 3144.23 3169.16 3198.87 3235.32 3257.05 3275.61 3303.45 3329.81 ;plot(x, y), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;hold on, plot(x

22、, y,'*'), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;2.多项式拟合的源程序：一次函数：x=1990:1:2011;y=2920.9 2938.99 2950.78 2964.92 2985.59 3001.77 3022.77 3042.92 3059.69 3072.34 3091.09 3097.91 3113.83 3130.10 3144.23 3169.16 3198.87 3235.32 3257.05 3275.61 3303.45 3329.81 ;p=polyfit(x,y,1)

23、;a=p(1)b=p(2)y1=a*x+b;x=1990:1:2011;plot(x, y1), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;hold on, plot(x, y1,'r-o'), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;A=sum(y1-y).2)MEAN= mean(y1)S=sum(y-MEAN).2)r2=1-A/S二次函数：x=1990:1:2011;y=2920.9 2938.99 2950.78 2964.

24、92 2985.59 3001.77 3022.77 3042.92 3059.69 3072.34 3091.09 3097.91 3113.83 3130.10 3144.23 3169.16 3198.87 3235.32 3257.05 3275.61 3303.45 3329.81 ;p=polyfit(x,y,2);a=p(1)b=p(2)c=p(3)y1=a*x.2+b*x+c;x=1990:1:2011;plot(x, y1), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;hold on, plot(x, y

25、1,'r-o'), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;A=sum(y1-y).2)MEAN= mean(y1)S=sum(y-MEAN).2)r2=1-A/S三次函数：x=1990:1:2011;y=2920.9 2938.99 2950.78 2964.92 2985.59 3001.77 3022.77 3042.92 3059.69 3072.34 3091.09 3097.91 3113.83 3130.10 3144.23 3169.16 3198.87 3235.32 3257.05 3

26、275.61 3303.45 3329.81 ;p=polyfit(x,y,3);a=p(1)b=p(2)c=p(3)d=p(4)y1=a*x.3+b*x.2+c*x+d;x=1985:1:2011;plot(x, y1), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;hold on, plot(x, y1,'r-o'), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;A=sum(y1-y).2)MEAN= mean(y1)S=sum(y-M

27、EAN).2)r2=1-A/S四次函数x=1990:1:2011;y=2920.9 2938.99 2950.78 2964.92 2985.59 3001.77 3022.77 3042.92 3059.69 3072.34 3091.09 3097.91 3113.83 3130.10 3144.23 3169.16 3198.87 3235.32 3257.05 3275.61 3303.45 3329.81 ;p=polyfit(x,y,4);a=p(1)b=p(2)c=p(3)d=p(4)e=p(5)y1=a*x.4+b*x.3+c*x.2+d*x+e;x=1990:1:2011;p

28、lot(x, y1), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;hold on, plot(x, y1,'r-o'), xlabel('时间/年'), ylabel('人口数/万人'),grid on;A=sum(y1-y).2)MEAN= mean(y1)S=sum(y-MEAN).2)r2=1-A/S3. Malthus模型的源程序M文件：function f=Malthus(x,xdata)f=exp(x(1)+x(2)*xdata);主程序：xdata=1990:1:2011;ydata=2920.9 2938.99 2950.78 2964.92 2985.59 3001.77 3022.77 3042.92 3059.69 3072.34 3091.09 3097.91 3113.83 3130.10 3144.23 3169.16 3198.87 3235.32 3257.05 3275.61 3303.45 3329.81 ;x0=0,