电磁场期末复习-例题

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波a1半期复习半期复习1【例例】有一个平行板电容器，极板的面积为有一个平行板电容器，极板的面积为S，上下极板相距为，上下极板相距为d 且分别带电且分别带电q，极，极板之间的下半部份充满介电常数为板之间的下半部份充满介电常数为 的介质。如忽略边缘效应，求的介质。如忽略边缘效应，求E、D及极化电荷及极化电荷分布。分布。 【解解】电荷均匀分布在极板的内侧，分别为电荷均匀分布在极板的内侧，分别为Sq S上0n11SPePPqS下下1n2nDD由边界条件由边界条件12qDDSSq S 下SP上0n11SPePPqS 上上Sq-qd D20qES1qES0110101()PDEE

2、qS介质两个表面的极介质两个表面的极化电荷等量异号化电荷等量异号SP下电磁场与电磁波电磁场与电磁波a2半期复习半期复习2电磁场与电磁波电磁场与电磁波a3半期复习半期复习3电磁场与电磁波电磁场与电磁波a4半期复习半期复习4电磁场与电磁波电磁场与电磁波a5半期复习半期复习5 导体球壳，内径为导体球壳，内径为b b，外径为，外径为c c，球壳球心为半径为，球壳球心为半径为a a导体球，导体球带电量导体球，导体球带电量Q,Q,中间充满两种介质，介电系数分别为中间充满两种介质，介电系数分别为1 1和和2 2，介质分界面如图所示。，介质分界面如图所示。求：（求：（1 1）空间场分布）空间场分布E(r)E(

3、r)； （2 2）空间电位分布；）空间电位分布； （3 3）极化电荷分布；）极化电荷分布； （4 4）系统电场能量。）系统电场能量。解：由边界条件知，解：由边界条件知， 连续。连续。E（1 1）rara，该区域为导体空间，故，该区域为导体空间，故 ； 0E arb arb，由高斯定理有，由高斯定理有SD dSQ2122()rEQ例例 2122()rQEer1112122()rQDEer2222122()rQDEerQcba21电磁场与电磁波电磁场与电磁波a6半期复习半期复习6brcbrcrc，204rQEer （2 2）求电位分布。）求电位分布。rcrc，04rQE drr04Qcarbarb

4、，()brcE dr 01211()42 ()QQcrb ra,ra,01211()42 ()QQcab brcbra)(ha)。若将地面。若将地面视为理想导体，求此导线与地面之间每单位长度的电容。视为理想导体，求此导线与地面之间每单位长度的电容。hh解：设导线单位长度电荷为解：设导线单位长度电荷为 ,l l则像电荷为则像电荷为导线表面上的电位为导线表面上的电位为002lnlnln222llllhhhaha故导线与地面之间每电位长度的电容为故导线与地面之间每电位长度的电容为02ln 2lCh a电磁场与电磁波电磁场与电磁波a20例：非接地偏心球壳，外侧背景介质r=4，空腔内有点电荷q，距离空腔

5、中心O为d（1）：写出镜像电荷的大小和位置，并指出其有效区域（2）：任意点的电位（3）：点电荷q受到的电场力（1） ，距离O 为 有效区域为空腔内；bqqd 2bdd ，位于导体球中心O处，有效区域为导体球外 。 qq016qr0004416qbqqRdRa（2）球外 ra 空腔内：电磁场与电磁波电磁场与电磁波a21半期复习半期复习21电磁场与电磁波电磁场与电磁波a22半期复习半期复习22电磁场与电磁波电磁场与电磁波a23无源空间中（媒质参数为无源空间中（媒质参数为 009,0 ），已知均匀平面波的电场复数表示式为），已知均匀平面波的电场复数表示式为 25( )10()/jxyzE xeje

6、eV m （1）确定均匀平面波的传播方向和频率；）确定均匀平面波的传播方向和频率； （2）求出与）求出与 ( )E x相应的磁场表示式相应的磁场表示式 ( )H x （3）描述该均匀平面波的极化形式；）描述该均匀平面波的极化形式； （4）当该均匀平面波垂直入射到理想导体平面时，求该反射波的电场表示式，）当该均匀平面波垂直入射到理想导体平面时，求该反射波的电场表示式，并描述其极化特性并描述其极化特性 解：沿解：沿+x轴方向传播轴方向传播 相速相速 8803 1010/9rvvm s而相位常数而相位常数 25/krad m故故 8825 10/251022kvrad sfHz25252511( )

7、( )10()/101()()/404jxxxyzrjxjxyzyzH xeE xeeje ejee ejee eA m 0000409r （2） 例例 电磁场与电磁波电磁场与电磁波a24（3）沿）沿+x轴方向传播的轴方向传播的左旋左旋圆极化波圆极化波（4）反射系数）反射系数 1 故反射波电场为故反射波电场为 25( )10()jxryzE xeje e 可见，反射波是可见，反射波是-x轴方向传播的轴方向传播的右旋右旋圆极化波。圆极化波。（2）据）据 0EjH 得得 00025250250111( )( )()01 10(25) 10(25)25 101()()4xyzyzyzyzyjxjxy

8、zjxyzyzeeeEEH xE xeejjxyzjxxEEEe jejejejjxejeejee ej 25/jxA m注：第（注：第（2）问的另一种方法：）问的另一种方法：电磁场与电磁波电磁场与电磁波a25第六章 均匀平面波的反射与透射25电磁场与电磁波电磁场与电磁波a26第六章 均匀平面波的反射与透射26例电磁场与电磁波电磁场与电磁波a27例电磁场与电磁波电磁场与电磁波a2828电磁场与电磁波电磁场与电磁波a29第七章 导行电磁波29a30求无限长线电荷在真空中产生的电场。求无限长线电荷在真空中产生的电场。 E解：取如图所示高斯面。解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有0(

9、)SQE r dS0( ) (2)lrlE rrl e02lrEer分析：电场方向垂直圆柱面。分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。r例例典型例题典型例题a31 a解：解：1) 1) 取如图所示高斯面。取如图所示高斯面。在球外区域：在球外区域：r r a a0( )SQE r dS20( ) (4)rQE rre204rQEer分析：电场方向垂直于球面。分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。半径为半径为a a的球形带电体，电荷总量的球形带电体，电荷总量Q Q均匀分布在球体内。均匀分布在球体内。求求：（：（1 1） （2 2） （3

10、 3）( )E r( )E r( )E r在球内区域：在球内区域：r r a arr0( )SQE r dS32043( ) (4)rrE rre304rQrEea334QQVa例例a322 2）解为球坐标系下的表达形式。）解为球坐标系下的表达形式。2030()()4()()4rrQerarEQreraa22300()1()()4raQrrrarra300034EQa3 3）0301( )404QrEQraa33求半径为求半径为a a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度 xyzdrrRa(0,0, )Pz解：在面电荷上取一面元解：在面电荷上取

11、一面元 ，如，如图所示。图所示。ds04dqdR200ad 220()2szaz04sr dr dRE 220()2szezazz 例例a34半径为半径为a a的带电导体球，已知球体电位为的带电导体球，已知球体电位为U U，求空间电位分布及电场强度分布。求空间电位分布及电场强度分布。解法一：导体球是等势体。解法一：导体球是等势体。ra时：时：0UE 例例ra时：时：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr a35解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电

12、总量为设导体球带电总量为Q Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：强度为：204rQEer001()44aaQQUE drra04QaU2raUEer2rraUE drdrraUra36 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a a，外导体半径为外导体半径为b b。内外导体间内外导体间充满介电常数分别为充满介电常数分别为 和和 的两种理想介质，分界面半径为的两种理想介质，分界面半径为c c。已知外导体接地，内导体电压为已知外导体接地，内导体电压为U U。求求:(1):(1)导体间的导体间的 和和 分布；分布； (2) (2)同轴线单位长度的电容同轴

13、线单位长度的电容12ED abc12分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边知，在媒质两边 连续连续D解：设内导体单位长度带电量为解：设内导体单位长度带电量为l由高斯定律，可以求得两边媒质中，由高斯定律，可以求得两边媒质中，2lrDer1122/EDED例例 12cbacUE drE dr12lnln22llcbac12212lnlnlUcbac a371221(lnln)UDcbrac 221121()(lnln)()(lnln)UarccbracEUcrbcbraca38 球形电容器内导体半径为球形电容器内导体半径为a a，外球壳半径为外球

14、壳半径为b b。其间充其间充满介电常数为满介电常数为 和和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q q，外外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。12 a12b分析：电场平行于介质分界面，由边界条件分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边可知，介质两边 相等。相等。ESD dSq2122()rDDq2122()rEEq解：令电场强度为解：令电场强度为 ，由高斯定律，由高斯定律E2122 ()rqEer 1211( )()2 ()brqrE drrb 例例 a39 同轴线填充两种介质，结构如图所示。两同轴线填充两种介质，结

15、构如图所示。两种介质介电常数分别为种介质介电常数分别为 和和 ，导电率分别为，导电率分别为 和和 ，设同轴线内外导体电压为，设同轴线内外导体电压为U U。求：求：(1)(1)导体间的导体间的 ， ， ； (2)(2)分界面上自由电荷分布。分界面上自由电荷分布。1221EJ 2a2b2c11 22 a22 11 EJ解：这是一个恒定电场边值问题。解：这是一个恒定电场边值问题。设单位长度内从内导体流向外导体电流为设单位长度内从内导体流向外导体电流为I Il l，则：则：lrI lJeS()2lrIearcr由边界条件，边界两边电流连续。由边界条件，边界两边电流连续。例例 由导电媒质内电场本构关系，

16、可知媒质内电场为：由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：111()2lrIJEearbr222()2lrIJEebrcra4012bcabUE drE dr12(lnln )(lnln )22llIIbacb120212ln( / )ln( / )lUIb ac b 12021()ln( / )ln( / )UJarcb ac b r 201121()ln( / )ln( / )rUJEearbb ac b r102221()ln( / )ln( / )rUJEebrcb ac b r22()crE drbrc112()bcrbE drE drarba412 2）由边界条件：）由边界条件

17、： 在在 面上：面上：ra11SD n12021ln( / )ln( / )Ub ac b a 在在 面上：面上：rc21021ln( / )ln( / )Ub ac b c 32SrD e 在在 面上：面上：rb221()SrDDe2112021()ln( / )ln( / )Ub ac b b a42 平行双线，导线半径为平行双线，导线半径为a a，导线轴线距离为，导线轴线距离为D D 求：平行双线单位长度的电容。（求：平行双线单位长度的电容。（aD)aD) DxyPx解：设导线单位长度带电分别为解：设导线单位长度带电分别为 和和 ，则易于求得，在，则易于求得，在P P点处，点处，ll10

18、2lxEex20()2()lxEeDx12EEE011()2lxexDx导线间电位差为：导线间电位差为：D aaUE dx0lnlDaa0ln()lnCDaa例例 a43计算同轴线内外导体间单位长度电容。计算同轴线内外导体间单位长度电容。 解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和和 ，则内外导体间电场分布为：，则内外导体间电场分布为：ll102lrEer则内外导体间电位差为：则内外导体间电位差为：内外导体间单位长度的电容为：内外导体间单位长度的电容为：baUE dr0ln2lba02lnlnlCUba例例 a44由边界条件知在边界两边由边界条件知在边

19、界两边 连续。连续。E解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为SD dSQ110(2)rl ErlEQ110(2)lrEer 110ln(2)blabUE dra 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填充介质，导体间部分填充介质，介质介电常数为，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为，如图所示。已知内外导体间电压为U U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。例例 110(2)lnlnlUba (lnln )rUEeba rlbb01a4512221011122eVVWE dVE dV22101

20、22221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaaU lU lrdrrdrbarbar21101(2);2 (lnln )U lba 两种方法求电场能量：两种方法求电场能量：或应用导体系统能量求解公式或应用导体系统能量求解公式12eiiiWqU12ellWU110(2)lnlnlUba 21101(2)2 (lnln )Uba 21101(2) 2(lnln )elU lWba a46 已知同轴线内外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间填充介质，介质，导体间填充介质，介质介电常数为介电常数为 ，导电率为，导电率为 。已知内外导体间电压为。已知内外导体间电压

21、为U U。求：内外导体间的求：内外导体间的 1 1） ;2 2） ;3;3） ;4;4） ; 5; 5） ;6;6）0EJlCelWs分析：为恒定电场问题。分析：为恒定电场问题。 电荷均匀分布于导体表面，故可用高斯定电荷均匀分布于导体表面，故可用高斯定律求解。律求解。解法一：应用高斯定律求解。解法一：应用高斯定律求解。设内导体单位长度电量为设内导体单位长度电量为 则则SD dSQ2lrDer2lrEer例例 (lnln )2blaUE drba2(lnln )lUbalab a47 (lnln)rUEeba r(lnln )(lnln )brUbrE drba(lnln )rUJEeba r2

22、(lnln )llCUba212(lnln )ellUWUba1( )( )2eVWD rE r dVa48解法二：间接求解法解法二：间接求解法由于内外导体间不存在电荷分布，电位方程为由于内外导体间不存在电荷分布，电位方程为200r ar bU1()00r ar bddrr drdrUlnlnlnlnbrUba(lnln )rUEeba r (lnln )rUJEeba r2(lnln )QlCUba212(lnln )eU lWQUba2ln( / )SlUQD dSb a2(lnln )llCbaa49解法三：恒定电场方法求解解法三：恒定电场方法求解令由内导体流向外导体总电流强度为令由内导

23、体流向外导体总电流强度为I I，则，则2rIJerl2rJIEerl(lnln )2baIUE drbal 2(lnln )l UIba (lnln )rUJeba r(lnln )rJUEeba r2(lnln )QlCUba212(lnln )eU lWQUba2ln( / )SUlQD dSb aa50 导体球壳，内径为导体球壳，内径为b b，外径为，外径为c c，球壳球心为半径为，球壳球心为半径为a a导体球，导体球带电量导体球，导体球带电量Q,Q,中间充满两种介质，介电系数分别为中间充满两种介质，介电系数分别为1 1和和2 2，介质分界面如图所示。，介质分界面如图所示。求：（求：（1

24、 1）空间场分布）空间场分布E(r)E(r)； （2 2）空间电位分布；）空间电位分布； （3 3）极化电荷分布；）极化电荷分布； （4 4）系统电场能量。）系统电场能量。解：由边界条件知，解：由边界条件知， 连续。连续。E（1 1）rara，该区域为导体空间，故：，该区域为导体空间，故： =0=0； E arb arb，由高斯定理有，由高斯定理有SD dSQ2122()rEQ例例 2122()rQEer1112122()rQDEer2222122()rQDEerQcba21a51brcbrcrc，204rQEer （2 2）求电位分布。）求电位分布。rcrc，04rQE drr04Qcarb

25、arb，()brcE dr 01211()42 ()QQcrb ra,ra,01211()42 ()QQcab brcbrara时时2IHr 当当rara时时2221222IrIrHIrraa 例题例题 半径为半径为a a的无限长直导体内通有电流的无限长直导体内通有电流I I，计算空间磁场强度，计算空间磁场强度 分布分布Ha54 例题例题 内、外半径分别为内、外半径分别为a a、b b的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为 导体磁导率为导体磁导率为 。求。求空间各点的磁感应强度空间各点的磁感应强度

26、BJ xyz0J分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。解：根据安培环路定律解：根据安培环路定律 在在rara区域：区域：0CH dlI20Hr0H 在在arbarbrb区域：区域：2202()HrJba220()2JHbara55 所以，空间中的所以，空间中的 分布为：分布为：22022000()( )()()2()()2raJB rraearbrJraerbrBa56 例例 无限长线电流位于无限长线电流位于z z轴，介质分界面轴，介质分界面为平面，求空间的为平面，求空间的 分布和磁化电流分布。分布和磁化电流分布。B xz10I分析：电流呈

27、轴对称分布。可用安培环路定律分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿求解。磁场方向沿 方向。方向。e解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边，在分界面两边， 连续而连续而 不连续。不连续。HB由安培环路定律：由安培环路定律：CH dlI2HI2IHe01(0)2(0)2IezBHIez介质内磁化强度为：介质内磁化强度为：10100()()2rrIBMHHe?Ha57磁介质内（磁介质内（z 0z 0）的体）的体磁化电流密度为：磁化电流密度为：1010 ()1 ()( ) ( )mrrzJMHIe 磁介质表面磁介质表面（z = 0

28、z = 0）面）面磁化磁化电流为：电流为：11(1)2(1) 2rsmzrrIJMneeIe在磁介质内的总磁化电流为在磁介质内的总磁化电流为( (在在=0=0的轴上沿的轴上沿z z向流动向流动) )：1 (1)mmsmzsrIJdSJed dI 磁介质表面磁介质表面(z = 0)(z = 0)从从 =0=0处发出处发出沿径向流动的总沿径向流动的总磁化电流为：磁化电流为：n201 (1)smmlcsmrIJe dlJedI a58 例例 如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率已知铁心磁导率 ，磁环上绕有，磁环上绕有N N匝线圈，匝线圈，通有电流通有电流I

29、I。求求:(1):(1)磁环中的磁环中的 ， 和和 。 (2)(2)若在铁心上开一小切口，计算磁环中若在铁心上开一小切口，计算磁环中的的 ， 和和 。B0HBH NIbadh0r0rd解解：(1)(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合积由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得分回路，则可得CH dlI2HrNI2NIHer2NIBHerln2bSaNIhbB dSB hdra 02NIh dNISrl (2) (2)开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上面，由边界条件知在分界面上 连续，连续

30、， 不连续。不连续。BHa59 NIba0rt 由安培环路定律，在磁环内取闭合积由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得分回路，则可得CH dlI12(2)HrtH tNI0(2)/2(1)rNINIBeerttrt由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。0(2)BBrttNI02(1)rNIBert02(1)rBNIHert内002(1)rrNIBHert外02(1)rNIB Shdrt a60例例 求半径为求半径为a a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。 a0解：设导体内电流为解：设导体内电流为I I，则由安培环路定律，则由安培环路定律02()2IrBeraa则导体内单位长度磁能为则导体内单位长度磁能为22220240011224mVVIWB dVr dVa222024001224aIrrdra2016I0228mWLIa61V/