第三章电网络(张谦)

1、由若干独立电压源和独立电流源激励的线性时不变网络，设由若干独立电压源和独立电流源激励的线性时不变网络，设网络中各电容电压、电感电流原始值为零。网络中各电容电压、电感电流原始值为零。 )()()(1sssnnnIYU网络节点方程的解为网络节点方程的解为展开写为以下形式展开写为以下形式 )()()()( )()(2121222121211121sIsIsIsUsUsUnNnnNNNNNNN为节点导纳矩阵的行列式，为节点导纳矩阵的行列式，), 2 , 1;, 2 , 1(NkNjjk为节点导纳矩阵的余因子（即代数余子式）。为节点导纳矩阵的余因子（即代数余子式）。 1212( )( )( )( )kk

2、NkknnnNUsIsIsIs节点节点k的节点电压为的节点电压为 任一节点电压象函数可表示为激励电流、电压象函任一节点电压象函数可表示为激励电流、电压象函数的线性组合。数的线性组合。 1122( )( )( )( )( )( )( )jjjjqqR sHs E sHs EsHs Es 线性时不变网络中任意零状态响应的象函数可以表示线性时不变网络中任意零状态响应的象函数可以表示为各激励象函数的线性组合。用数学表达式描述为：为各激励象函数的线性组合。用数学表达式描述为： 网络函数及其应用网络函数及其应用一、网络函数的定义和分类一、网络函数的定义和分类 网络零状态响应的象函数网络零状态响应的象函数

3、R(s) 与激励对象函与激励对象函数数 E(s) 之比，用之比，用 H(s) 表示，叫表示，叫网络函数网络函数.)()()(sEsRsH US(s)I1(s)NU1(s)IS(s)N输入导纳输入导纳)()()(S1sUsIsH 输入阻抗输入阻抗)()()(S1sIsUsH 策动点策动点函数函数网络函数的网络函数的: :转移电压比转移电压比)()()(S2sUsUsH 转移电流比转移电流比)()()(S2sIsIsH US(s)NU2(s)IS(s)NI2(s)()()(S2sUsIsH 转移阻抗转移阻抗)()()(S2sIsUsH IS(s)NU2(s)转移导纳转移导纳US(s)NI2(s)一

4、、网络函数的定义和分类一、网络函数的定义和分类激励激励响应响应激励与响应的位置关系激励与响应的位置关系网络函数类型网络函数类型电流源电流源电压电压激励与响应在同一端口激励与响应在同一端口策动点阻抗（函数）策动点阻抗（函数）电压源电压源电流电流激励与响应在同一端口激励与响应在同一端口策动点导纳（函数）策动点导纳（函数）电流源电流源电压电压激励与响应不在同一端口激励与响应不在同一端口转移阻抗（函数）转移阻抗（函数）电压源电压源电压电压激励与响应不在同一端口激励与响应不在同一端口转移电压比（函数）转移电压比（函数）电流源电流源电流电流激励与响应不在同一端口激励与响应不在同一端口转移电流比（函数）转移

5、电流比（函数）电压源电压源电流电流激励与响应不在同一端口激励与响应不在同一端口转移导纳（函数）转移导纳（函数）驱动点函数实质上是描述单口网络外部特性的量，而转移函数驱动点函数实质上是描述单口网络外部特性的量，而转移函数则是描述双口网络传输特性的量。则是描述双口网络传输特性的量。一、网络函数的定义和分类一、网络函数的定义和分类 图为低通滤波器电路。若激励是图为低通滤波器电路。若激励是 e(t)，响，响应是应是i1(t)、 u2(t)，试求网络函数。，试求网络函数。例例解：解：运算电路图如图所示。运算电路图如图所示。整理后得：整理后得：)()(1)(2121222RRLCRRsLCRsCsRsH

6、122111)( sCRsCRsLRsY)()()(1sEsIsH )()()(2sEsUsH )()(2121222RRLCRRsLCRsR 又又sCRsCRsLRsCRsCR111122122 二、网络函数的极点和零点二、网络函数的极点和零点01110111asasasabsbsbsbsDsNsHnnnnmmmm)()()()()()()(nnmmpspspsazszszsb2121nkkmiipszsKsH11)()()(nkkmiipszsKsH11)()()(式中，式中，Kbm/an，称为比例因子。，称为比例因子。 z1、z2、zm为网络函数的零点；为网络函数的零点； p1、p2、p

7、n为网络函数的极点。为网络函数的极点。 给出全部极点、零点及比例因子，就可以完全地确定一个给出全部极点、零点及比例因子，就可以完全地确定一个网络函数。网络函数。 零点和极点都是复常数，均可在复频率平面（零点和极点都是复常数，均可在复频率平面（s平面）上用对平面）上用对应的点表示。一般以小叉（应的点表示。一般以小叉（）标注极点，小圈（）标注极点，小圈（o）标注零点。）标注零点。 网络函数的极点、零点在复平面上的分布图简称极零图网络函数的极点、零点在复平面上的分布图简称极零图 。 二、网络函数的极点和零点二、网络函数的极点和零点三、零、极点的分布与三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系

8、网络的暂态特性、稳态特性的关系网络函数等于冲激响应的象函数；网络函数等于冲激响应的象函数；冲激响应等于网络函数的原函数。冲激响应等于网络函数的原函数。 )()()()()()(thtthsEsRsHzs 1.1.暂态特性暂态特性kpskksHpsA)()(nktkpknkkkteApsAsHth1111 )()()(其中其中1.1.暂态特性暂态特性kpskksHpsA)()(可见，网络函数的可见，网络函数的极点极点决定了时域冲激响应的决定了时域冲激响应的变化规律变化规律。极点位于负实轴上，极点位于负实轴上，冲激响应为衰减的指数函数，电路能冲激响应为衰减的指数函数，电路能达到稳态；达到稳态；极点

9、位于虚轴上，极点位于虚轴上，则电路出现等幅震荡，电路不稳定。则电路出现等幅震荡，电路不稳定。极点位于左半平面，极点位于左半平面，电路是稳定的。电路是稳定的。nktkpknkkkteApsAsHth1111 )()()(三、零、极点的分布与三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系网络的暂态特性、稳态特性的关系 j0th(t)s=0s =1 00th(t)s =2 00th(t)0th(t)s = j 3 s = -j 3 4s = 4+ j4s = 4 - j4j4-j40th(t)s =5+ j5s =5+ j55j5-j50th(t)1.1.暂态特性暂态特性kpskksHpsA)(

10、)(可见，网络函数的全部零点、可见，网络函数的全部零点、极点以及比例因子极点以及比例因子k共同共同决定决定冲激响应每项的系数冲激响应每项的系数Ak。总之，极点决定冲激响应的波形，而冲激响应的幅度大小总之，极点决定冲激响应的波形，而冲激响应的幅度大小则由极、零点共同决定，则由极、零点共同决定，即网络函数的极点和零点决定了即网络函数的极点和零点决定了网络的自然暂态特性。网络的自然暂态特性。)()()()(nkkkmkkkspspspzpzpzpk2121三、零、极点的分布与三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系网络的暂态特性、稳态特性的关系 令网络函数令网络函数H(s)中的中的s=j，

11、可得频域网络函数可得频域网络函数H(j)，它，它代表在角频率为代表在角频率为的正弦电源激励下，某一正弦稳态响应相的正弦电源激励下，某一正弦稳态响应相量与正弦激励相量之比。将量与正弦激励相量之比。将H(j)写为复数的指数型，即写为复数的指数型，即)()()( jejHjH 幅频特性和相频特性统称为频率响应，它表征网络的稳态响应特性。因此，网络函数H(s)决定了网络的稳态响应特性。 2.2.稳态特性稳态特性三、零、极点的分布与三、零、极点的分布与网络的暂态特性、稳态特性的关系网络的暂态特性、稳态特性的关系1.将网络函数分子、分母写为因式分解形式 nkkmiipszsKsH11)()()(绘出其极零

12、图 nkkmiipjzjKjH11)()()( 3.对应于上式分子、分母的每一因式，在极零图上绘出相应的零点向量和极点向量。于是可将上式改写为 nkjkmijkiedelKjH111)( 四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数 的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系网络函数的幅频特性和相频特性可根据其极零图直接求得。由网络函数的极零图求频率响应的一般步骤为： 2.令式中的s=j，得4.由此得到用极点向量、零点向量的长度和辐角来表示网络函数的幅频和相频特性的表达式 nkkmiidlKjH11)( nkkmii11)( 5.令由0向增加，根据以上两式便可确定网络函数的幅频特性和

13、相频特性。四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数 的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系nkkjkmiijedelKjH111)(四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数 的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数 的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数 的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数 的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系四、网络的频率响应与网络函数四、网络的频率响应与网络函数

14、的零、极点之间的关系的零、极点之间的关系3-2 多端口网络的网络函数多端口网络的网络函数由线性时不变元件构成的多端口由线性时不变元件构成的多端口网络网络N，其中，其中不含独立源不含独立源，且所，且所有动态元件的有动态元件的原始状态为零。原始状态为零。 Tmtututut)()()()(21u端口电压向量端口电压向量 端口电流向量端口电流向量 Tmtititit)()()()(21i端口电压向量和端口电流向量之间的约束关系有两种表达形式。端口电压向量和端口电流向量之间的约束关系有两种表达形式。 一种表达形式为一种表达形式为 )()()()()()()()()()()()()(2121222211

15、121121sIsIsIszszszszszzszszzsUsUsUmmmmmmmm( )( ) ( )ocU sZs I s 外其它端口电流为零外其它端口电流为零除除)()()()(sIkjjkksIsUsz 矩阵矩阵Zoc(s)各元为多端口网络各端口（除激励端口外）开路条各元为多端口网络各端口（除激励端口外）开路条件下的阻抗参数。件下的阻抗参数。主对角线元为策动点阻抗；非主对角线元为主对角线元为策动点阻抗；非主对角线元为转移阻抗。转移阻抗。故称故称Zoc(s)为为开路阻抗矩阵开路阻抗矩阵。3-2 多端口网络的网络函数多端口网络的网络函数另一种表达形式为另一种表达形式为 )()()()()(

16、)()()()()()()()( )()(2121222211121121sUsUsUsysysysysysysysysysIsIsImmmmmmmm( )( ) ( )scI sYs U s 外外其其它它端端口口电电压压为为零零除除)()()()(SUkjjkksUsIsy 矩阵矩阵Ysc(s)各元为多端口网络各端口（除激励端口外）短路条各元为多端口网络各端口（除激励端口外）短路条件下的导纳参数。件下的导纳参数。主对角线元为策动点导纳；非主对角线元主对角线元为策动点导纳；非主对角线元为转移导纳。为转移导纳。故称故称Ysc(s)为为短路导纳矩阵短路导纳矩阵。3-2 多端口网络的网络函数多端口网

17、络的网络函数Tmtetetet)()( )()(21e输入变量向量为输入变量向量为 输出变量向量为输出变量向量为 Tntrtrtrt)()( )()(21r输入变量与输出变量间的约束关系方程为输入变量与输出变量间的约束关系方程为)()()(sssEHR)()()()()()()()()()(212222111211shshshshshshshshshsnmnnmmH转移函数矩阵转移函数矩阵零外其它端口输入变量为除)()()()(sEkjjkksEsRsh它可以是转移阻它可以是转移阻抗、转移导纳、抗、转移导纳、转移电压比或转转移电压比或转移电流比。移电流比。3-2 多端口网络的网络函数多端口网络

18、的网络函数 网络网络N由线性时不变元件由线性时不变元件构成的连通网络，其中不含独构成的连通网络，其中不含独立源，且所有动态元件的原始立源，且所有动态元件的原始状态为零。状态为零。并且电位参考点在并且电位参考点在网络网络N之外的某一任意点处。之外的某一任意点处。 )()()()()()()()()()()()()()()(2121222211121121sUsUsUsysysysysysysysysysIsIsInnnnnnnn不定导纳矩阵不定导纳矩阵111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nninnnnysysysysysysY sysysys (

19、)( ) ( )iI sY s U s ( )( )( )( )kjjkkUsIsysUs 除除外外其其它它端端电电压压为为零零定义：定义：性质性质1、不定导纳矩阵每行诸元之和为零，每列诸元之和也为零、不定导纳矩阵每行诸元之和为零，每列诸元之和也为零零和特性零和特性。 根据基尔霍夫电流定律，多端网络各端电流满足以下方程根据基尔霍夫电流定律，多端网络各端电流满足以下方程 njjsI10)( njnjnjnjnjjsUysUsysUsy11221110)()()()()(对对n个端子轮流指定某一端电压不为零而其余各端电压均为零，个端子轮流指定某一端电压不为零而其余各端电压均为零，例如，令例如，令U

20、k(s)0，则，则), 2 , 1( 0)()(1nksUsyknjjk 性质：性质：), 2 , 1( 0)(1nksynjjk 因为因为Uk(s)0，故必有，故必有 表明不定导纳矩阵表明不定导纳矩阵任一列诸元之和为零任一列诸元之和为零。另选一电位参考点后，网络方程变为另选一电位参考点后，网络方程变为0( )( )( )( )iI sY s U sUs 式中式中000000( )( )( )( ) ,( )TUsUsUsUsUs为为n维电压向量，其中各元均相同，表示参考点的改变使各端维电压向量，其中各元均相同，表示参考点的改变使各端电压都增加一个相同的电压电压都增加一个相同的电压U0(s)。

21、 0( )( )iY s Us0 0101 2( )( ) (, , )njkkysUsjn 性质性质1 1：零和特性零和特性 nkjknjsy1), 2 , 1( 0)(由于由于U0(s)0，故有，故有此式表明，不定导纳矩阵此式表明，不定导纳矩阵任一行诸元之和为零。任一行诸元之和为零。iYdY不定导纳矩阵不定导纳矩阵 定导纳矩阵定导纳矩阵 划去1 行1 列添加1 行1 列性质性质1 1：零和特性零和特性iY等余因式导纳矩阵等余因式导纳矩阵 det0iY 11220jjjjjkjkjmjmyyyy221110()()()jjjjkjkjjmjmjYYY10mjkky12 jjjkjm同理可得同

22、理可得性质性质2：等余因子：等余因子120( )mjjkkyys 不定导纳矩阵所有的一阶代数余子式均相等不定导纳矩阵所有的一阶代数余子式均相等_等余因子矩阵等余因子矩阵 由于不定导纳矩阵是奇异的，则由于不定导纳矩阵是奇异的，则3-3-2 3-3-2 原始不定导纳矩阵的直接形成原始不定导纳矩阵的直接形成 设网络设网络N的每一节点均为可及节点，并连接有一引出端。这样的每一节点均为可及节点，并连接有一引出端。这样的多端网络的不定导纳矩阵称为网络的多端网络的不定导纳矩阵称为网络N的的原始不定导纳矩阵原始不定导纳矩阵。 （1）二端导纳元件）二端导纳元件 ( )( )( )( )aabIsy s UsUs

23、 ( )( )( )( )babIsy sUsUs 二端元件二端元件对不定导纳矩阵的对不定导纳矩阵的a、b行及行及a、b列元有以下贡列元有以下贡献献 ( )( )( )( )abay sy sby sy s Yi(s)行对应电流，列对应电压行对应电流，列对应电压 (2)电压控电流源（电压控电流源（VCCS） ( )( )( )cmabIsgUsUs ( )( )( )dmabIsgUsUs 电压控电流源电压控电流源对不定导纳矩阵的对不定导纳矩阵的c、d行及行及a、b列元贡献如下列元贡献如下000000000000 mmmmabcdabggcggd （3）回转器）回转器 ( )( )( )acd

24、Isg UsUs ( )( )( )bcdIsgUsUs ( )( )( )cabIsgUsUs ( )( )( )dabIsg UsUs 0000000 0abcdaggbggcggdgg 回转器回转器对不定导纳矩阵的对不定导纳矩阵的a、b、c、d行及行及a、b、c、d列的贡献列的贡献 acdcabIgUIgU （4）耦合电感元件）耦合电感元件 12( )( )( )( )abacdcUsIsL sMsMsL sUsIs 221121( )( )( )( )()aabccdIsUsLMMLIsUss L LM 二端口耦合电感元件二端口耦合电感元件对不定导纳矩阵的对不定导纳矩阵的a、b、c、d

25、行及行及a、b、c、d列的贡献列的贡献 222221112111( )( )( )( )( )( )()( )( )aabbccddIsUsLLMMIsUsLLMMUsMMLLIss L LMUsMMLLIs （5）理想变压器）理想变压器0( )( )( )( )aabcdIsys UsnUs 0( )( )( )( )cabcdIsnys UsnUs 含理想变压器的二端口网络含理想变压器的二端口网络对不定导纳矩阵的对不定导纳矩阵的a、b、c、d行及行及a、b、c、d列元有如下贡献列元有如下贡献 00000000220000220000 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )(

26、 )( )( )( )( )( )( )abcdysysnysnysaysysnysnysbnysnysn ysn yscnysnysn ysn ysd 对于给定的一个具有对于给定的一个具有nt个节点的线性多端网络，个节点的线性多端网络，用观察法写出其原始不定导纳矩阵的规则如下用观察法写出其原始不定导纳矩阵的规则如下 （1 1）写出所有的）写出所有的二端二端导抗元件对原始不定导纳矩阵的贡献部导抗元件对原始不定导纳矩阵的贡献部分，并将位于该矩阵同一元处的各参数相加。分，并将位于该矩阵同一元处的各参数相加。 仅由所有二端导抗元件而构成的子网络的原始不定导纳仅由所有二端导抗元件而构成的子网络的原始不

27、定导纳矩阵参数为矩阵参数为 ( )i iys 与端点与端点i相联接的二端元件的导纳相联接的二端元件的导纳 ), 2 , 1(tni ()( )i jijys 联接于节点联接于节点i、j间的二端元件的导纳间的二端元件的导纳 (i=1,2,nt，j=1,2,nt)（2 2）写出各类）写出各类二端口二端口元件对原始不定导纳矩阵的贡献。元件对原始不定导纳矩阵的贡献。 （3 3）将由以上步骤所得到的各类元件对原始不定导纳矩阵的贡）将由以上步骤所得到的各类元件对原始不定导纳矩阵的贡献相加，即得原始不定导纳矩阵。献相加，即得原始不定导纳矩阵。 k多端网络任二端点多端网络任二端点k 和和j并起来接于外部并起来

28、接于外部 并端后端点数减少并端后端点数减少 端口变量的改变端口变量的改变jkkUUU kjkIII kIjIkI11111111iYkjmkkkkjkmjjkjjjmmmkmmyyyyyyyyyyyyyyyiY的改变 3-3-3 Yi(s)随端部处理的变换随端部处理的变换 （1）端子压缩（合并）端子压缩（合并） 减少一个变量、一个方程减少一个变量、一个方程例：端子例：端子1和和2压缩连接在一起压缩连接在一起 1i N i1 1 2 3 i2 n 1u 1 211iii 211uuu 1、2列元素相加列元素相加1、2行元素相加行元素相加111221221323123132333123( )( )

29、( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnninnnnnysysysysysysysysysysysysY sysysysys （1）端子压缩（合并）端子压缩（合并） N ij=0 i1 2 3 i2 n 1u （2）端子消除）端子消除 （收缩）（收缩）将多端网络的某些端子与外电路断开，使之成为网络的内部节将多端网络的某些端子与外电路断开，使之成为网络的内部节点，称为端子消除。点，称为端子消除。 这些端子的电流为零；这些端子的电流为零；这些端子的电压不再出现在方程中；这些端子的电压不再出现在方程中； 将原多端网络的全部端子按将原多端网络的全部

30、端子按保留端保留端和和消除端消除端分类。对应于保留端的端电流、端电压向量用分类。对应于保留端的端电流、端电压向量用Ia(s)、Ua(s)表示，对应于消除端的端电流、端电表示，对应于消除端的端电流、端电压向量用压向量用Ib(s)、Ub(s)表示表示 用不定导纳矩阵表示的多端网络方程可写为以下形式用不定导纳矩阵表示的多端网络方程可写为以下形式 )()()()()()()()(22211211ssssssssbabaUUYYYYII0UYUYI)()()()()(2221sssssbab)()()()(21122ssssabUYYU111122221( )( )( )( )( )( )aaIsYsY

31、s Ys Ys Us ( )( )iaY s Us （2）端子消除）端子消除 （收缩）（收缩）)(Y si 如果仅消除编号为如果仅消除编号为k的一个端子，新的不定导纳矩阵产生的规则的一个端子，新的不定导纳矩阵产生的规则是，删去原不定导纳矩阵的第是，删去原不定导纳矩阵的第k行和第行和第k列，且其余任一元列，且其余任一元yij(s)变为变为 ( )( )( )( )( )ikkjijijkkys ysysysys （2）端子消除）端子消除 （收缩）（收缩）（3）多端网络相并联）多端网络相并联 由两个多端网络相由两个多端网络相并联并联而成的多端网络的不定导纳矩阵而成的多端网络的不定导纳矩阵, ,等于

32、等于原来两个多端网络的不定导纳矩阵原来两个多端网络的不定导纳矩阵之和之和。 两个端点两个端点不等不等的多端网络相并联的多端网络相并联 iiAiBYYY（4）端子接地）端子接地 令端点令端点n为电位参考点为电位参考点 un=0 删去其第删去其第n行、第行、第n列的列的(n1)阶矩阶矩阵，称为原阵，称为原n端网络以端子端网络以端子n为接为接地端时的地端时的“定导纳矩阵定导纳矩阵” 。(n1)端口网络的端口网络的短路导纳矩阵短路导纳矩阵Ysc(s)例：求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。例：求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。G1=1SG2=2SC3=3FC4=4FC5=5F可分别写出两个网络的不定

33、导纳矩阵可分别写出两个网络的不定导纳矩阵G1=1SG2=2SC3=3FC4=4FC5=5F20000050500000505issYss ssssssssi3300333210224401414Y1 ssssssssi3300333210224401414Y1 ssssi5050000050500000Y2124141049225123330538iiisssssYYYsssss 例：求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。例：求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。41401492520583123331112i2122ssYYsssYYYsssss于是于是 sssssssss96364232133

34、1321331321YYY2112212消去节点，将上式中消去节点，将上式中3行与行与4 行交换、行交换、3列与列与4列交换得列交换得例：求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。例：求图示二端口网络的短路导纳参数矩阵。消去节点后，新的不定导纳矩阵为消去节点后，新的不定导纳矩阵为111122221241401231492524633058369123414333333246492533333336958333333()()()()iYYY Y Ysssssssssssssssssssssssssssssssss 节点节点4 4接地，消去最后一行和一列就得到原网络的短路接地，消去最后一行和一列就得到原

35、网络的短路导纳矩阵。导纳矩阵。设设VCVS的控制支路和受控支路分别的控制支路和受控支路分别连接于一个连接于一个n端网络的端网络的a、b端间和端间和c、d端间：端间：)(badcuuAuu 不考虑不考虑VCVS接入时网络的接入时网络的IAM方程为方程为111111111111( )( )( )( )( )( )abcdniaaaabacadanabbabbbcbdbnbccacbcccdcncddadbdcdddndnnanbncndnnnyyyyyyU syyyyyyUsyyyyyyUsyyyyyyUsyyyyyyUsyyyyyyUs 1( )( )( )( )( )( )abcdnI sIs

36、IsIsIsIs 应用应用 用不定导纳矩阵分析含运算放大器的用不定导纳矩阵分析含运算放大器的有源网络有源网络 附加以约束条件附加以约束条件 )()()()(sUsAUsAUsUdbac )()()()()()()()(111111111111sIsIsIsIsUsUsUsUyAyyAyyyyAyyAyyyyAyyAyyyyAyyAyyynbanbannncnbncnanbnbcbbbcbabanacabacaaancbca由于运放接入，网络由于运放接入，网络N的端子的端子d已接地，故上式左端的已接地，故上式左端的(n2)阶矩阶矩阵已成为定导纳矩阵。阵已成为定导纳矩阵。 根据端部未受约束时多端网

37、络的根据端部未受约束时多端网络的IAM写出运放接入写出运放接入后网络的后网络的DAM的规则是：的规则是： （1）开环增益）开环增益A乘以乘以c列（列（c为运放输出端）加至为运放输出端）加至a列列(a为运放为运放同相输入端同相输入端)；(-A)乘以乘以c列加至列加至b列（列（b为运放反相输入端）。为运放反相输入端）。 （2）删去原）删去原c列和列和c行。行。（3）删去原）删去原d列和列和d行（行（d为运放接地端）。为运放接地端）。bauuu 02 . IC不独立了，划去不独立了，划去c行行1. b列加到列加到a列上，划去列上，划去b列列.a b c d (n2)阶矩阵定导纳矩阵。阶矩阵定导纳矩阵

38、。n c d N 1 2 a b 3 . d点接地，划去点接地，划去d行、行、 d列列用不定导纳矩阵分析含理想运放的网络用不定导纳矩阵分析含理想运放的网络 ( )( )( )nnYs UsI s 00)()()()(121222121211121sIsUsUsUNNNNNNN1+NU1(s)I1(s)1线性无源网线性无源网络原始状态络原始状态为零为零)()(1111sIsU1111)()()(sIsUsZin求求Z的问题变为了求的问题变为了求的问题的问题网络函数的拓扑公式网络函数的拓扑公式_直接根据网直接根据网络的图和各支路元件参数写出网络络的图和各支路元件参数写出网络函数函数 定理定理3-1

39、 比内比内柯西（柯西（Binet Cauchy）定理）定理 设设C和和D分别为分别为p q和和q p矩阵，且矩阵，且pq，则以上二矩阵相乘，则以上二矩阵相乘所得矩阵的行列式所得矩阵的行列式detjjjCDC D 式中式中Cj和和Dj分别为矩阵分别为矩阵C和矩阵和矩阵D的第的第j大子式大子式2312 1021 3 111, CD 3232321 101 10, detCDCD 11223312231123210213021 111311154251232det()()jjjCDC DC DC DC D 定理定理3-2 一个节点数为（一个节点数为（N+1）的连通图）的连通图G，其关联矩，其关联矩阵

40、为阵为A。矩阵。矩阵A的的的的N阶子矩阵为非奇异的必要和充分阶子矩阵为非奇异的必要和充分条件是：此子矩阵的列所对应支路为图条件是：此子矩阵的列所对应支路为图G的一个树的树的一个树的树支。且其行列式等于支。且其行列式等于1或或-1。有多少种树，就有多少个不为零的大子式有多少种树，就有多少个不为零的大子式1. A的大子式各列对应一个树的全部树支的大子式各列对应一个树的全部树支2.A的树的数为的树的数为TAAdet节点导纳行列式节点导纳行列式的拓扑公式的拓扑公式 det()TTbbAY AAYA 全全部部大大子子式式矩矩阵阵与与对对应应大大子子式式之之积积121 tlnnbAAAA AA AA 12

41、000000()( )( )( )( )ttbl b nysysY sys 无源网络无源网络112211() bttntnnlbl b nAYAYA YA YAYA Y 矩阵结构与矩阵结构与A完全相同，只是系数不同完全相同，只是系数不同节点导纳行列式节点导纳行列式的拓扑公式的拓扑公式 ()TbAYA矩矩阵阵与与对对应应大大子子式式之之积积为为该该大大子子式式对对应应树树支支导导纳纳之之积积det( )TbAY AT y 全全部部树树 全全部部树树树树导导纳纳积积求求Z的问题变为了求的问题变为了求的问题的问题求求的问题变为了求树的问题的问题变为了求树的问题det()TTbbAY AAYA 全全部

42、部大大子子式式矩矩阵阵与与对对应应大大子子式式之之积积树的个数树的个数穷举法穷举法 1 4 3 2 5 6 124，125，126，134，135，136，145，156，234，235，236，245，246，346，356，456， 1 4 2 1 2 6 1 2 5 节点导纳行列式节点导纳行列式的拓扑公式的拓扑公式 1111( )( )( )inU sZsI s 从节点导纳矩阵中划去第从节点导纳矩阵中划去第1行行1列元，余下的元素列元，余下的元素构成的行列式称为元素构成的行列式称为元素Y11的余子式。的余子式。 节点导纳矩阵的对称代数余子式节点导纳矩阵的对称代数余子式jj的拓扑公式的拓扑公式111111detTbA Y A1111()() () ()nbb nnn 从节点导纳矩阵中划去第从节点导纳矩阵中划去第1行行1列元，列元，等效等效1节点接地节点接地由由1节点接地时网络的树节点接地时网络的树,即得即得11 由由2-树的定义可以得出树的定义可以得出2-树的下列性质：树的下列性质： （1）2-树包括图树包括图G的全部节点。的全部节点