【新课标】高考数学二轮专题强化复习2函数与导数

1、20XX年高考数学二轮精品复习资料专题二函数与导数（教师版）【考纲解读 】1. 了解构成函数的要素， 会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念； 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数， 并能简单应用 .2. 理解函数的单调性及几何意义; 学会运用函数图象研究函数的性质, 感受应用函数的单调性解决问题的优越性, 提高观察、分析、推理、创新的能力.3. 了解函数奇偶性的含义 ; 会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用 .4. 掌握一次函数的图象和性质 ; 掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内

2、在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.5. 了解指数函数模型的实际背景 ; 理解有理指数幂的含义 , 了解实数指数幂的意义 , 掌握幂的运算 ; 理解指数函数的概念、单调性， 掌握指数函数图象通过的特殊点; 知道指数函数是一类重要的函数模型.6. 理解对数的概念及其运算性质 , 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 , 了解对数在简化运算中的作用 ; 理解对数函数的概念、 单调性， 掌握指数函数图象通过的特殊点 ; 知道指数函数是一类重要的函数模型; 了解指数函数yax ( a0 且 a1) 与对数函数log( 0且互为反函数 .ya x aa1)x2 , y x3 , y117

3、.了解幂函数的概念; 结合函数 y x, y, yx 2的图象 ,了解它们x的变化情况 .8. 掌握解函数图象的两种基本方法 : 描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质 .9. 结合二次函数的图象 , 了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10. 了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11. 了解导数概念的实际背景 ; 理解导数的

4、几何意义 ; 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 , 求简单函数的导数 .12. 了解函数单调性与导数的关系; 能利用导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间( 多项式函数一般不超过三次); 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件, 会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次) ，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次) ；会用导数解决某些实际问题.【考点预测 】1. 对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查，渗透面广 . 特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.3. 由指数函数、对

5、数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.4. 函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有机结合体现了高考命题的趋势 .5. 函数的奇偶性、 周期性是高考考查的内容之一 , 其考查形式比较单一 , 但出题形式比较灵活 , 它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其含义并能准确进行知识的应用 .6. 应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点; 利用导数研究函数的单调性、极值、最值

6、、图象仍将是高考的主题; 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点 ; 将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题 .【要点梳理 】1. 求定义域、值域的方法有: 配方法、不等式法、换元法、分离常数法等; 求函数解析式的方法有 : 定义法、换元法、待定系数法、方程组法等；解决实际应用题的一般步骤是：分析实际问题，找出自变量，写出解析式，确定定义域，计算.2. 几种常见函数的数学模型 : 平均增长率问题 ; 储蓄中的得利问题 ; 通过观察与实验建立的函数关系 ; 根据几何与物理概念建立的函数关系.3. 指数与对数函数模型是函数应用的基本模型, 经常与导

7、数在一起进行考查, 应引起我们的高度重视 .4. 二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式是中学数学的重要内容，应熟练掌握 . 函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点，应认真研究、熟练掌握.5. 理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值，常与导数结合在一起考查，是高考的常考点.6. 对于幂指对函数的性质 , 只需立足课本 , 抓好基础，掌握其单调性、奇偶性，通过图象进行判断和应用, 常与导数结合在一起考查.7. 导数的概念及运算是导数的基本内容 , 每年必考 , 一般不单独考查，它主要结合导数的应用进行考查 .8. 导数的几何意义

8、是高考考查的重点内容之一, 经常与解析几何结合在一起考查.9. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一 .10. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 :(1) 确定函数定义域 ;(2) 求导数 ;(3) 令导数大于 0, 解得增区间 , 令导数小于 0, 解得减区间 .11. 求可导函数极值的一般步骤和方法:(1) 求导数 ;(2) 判断函数单调性；（ 3）确定极值点；（ 4）求出极值 .12. 求可导函数最值的一般步骤和方法 :(1) 求函数极值 ;(2) 计算区间端点函数值 ;(3) 比较极值与端点函数值 , 最大者为最大值 , 最小者为最小值

9、 .【 考点在线 】考点一函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例 1已知函数（ A ） x | x【答案】 Cf (x)1的定义域为 M ，g(x)= ln(1x) 的定义域为 N，则 MN=（）1 x1（ B） x | x 1（C） x | 1 x1（D）【解析】 要使原函数有意义 ,只须log 1 (2x1)即 0 2x1 1,解得x,故选0,2A.考点二函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解

10、奇偶性、 单调性和周期性的定义，掌握判定方法， 正确认识单调函数与奇偶函数的图象 .例 2 (20XX 年高考全国新课标卷理科2) 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,) 上的增函数的是（）A y x3B y x 1Cyx2 1D y 2 x【答案】 B【解析】 由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D, 故选 B；【名师点睛】 此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数yx 和yx 都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在(0,) 的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.【备考提示】 ：熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.练习 2: (20XX 年高考江苏卷

11、 2) 函数 f ( x) log 5 (2x1) 的单调增区间是 _【答案】 ( 1, )20,所以定义域为 ( 1,【解析】 本题考察函数性质，属容易题. 因为 2x 1) , 由复合函2数的单调性知 : 函数 f ( x)log 5 ( 2x1)1) .的单调增区间是 (,2例 3 ( 高考山东卷文科 12) 已知定义在R 上的奇函数f ( x) 满足 f ( x 4)f (x) , 且在区间 0, 2 上是增函数 , 则 ()A. f (25)f (11)f (80)B.f (80)f (11)f ( 25)C. f (11)f (80)f (25)D.f (25)f (80)f (1

12、1)【答案】 D【解析】 因为 f ( x8)f (x4) f (x )f (x ), 所以 8是该函数的周期; 又因为f ( x4)f (x)f (x) ,所以 x2 是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数, 定义域为 R, 所以 f (0)0 , 且函数的图象关于x2对称,因为函数f (x) 在区间 0, 2 上是增函数 , 所以在 0, 2上的函数值非负 , 故 f (1) 0, 所以 f (25)f (25)f (1)0 ,f (80)f (0) 0, f (11)f (3)0, 所以 f (25)f (80)f (11) , 故选 D .【名师点睛】 本小题考查函数的奇偶性、单调性、

13、 周期性，利用函数性质比较函数值的大小.【备考提示】： 函数的奇偶性、单调性、周期性，是高考的重点和热点, 年年必考 ,必须熟练掌握 .练习 3: （ 20XX 年高考全国卷文科10) 设 f ( x) 是周期为2的奇函数，当0 x 1 时，f ( x) = 2x(1 x) ，则 f (5) =()2A.- 1B.1C.1D.12442【答案】 A【解析】 先利用周期性，再利用奇偶性得：f (5)f (1)f ( 1 )1 .2222考点三函数的图象函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握

14、绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例 4 (20XX 年高考山东卷理科9 文科 10) 函数yx2sin x 的图象大致是 ( )2【解析】因为 y' 12cos x , 所以令 y'12cos x 0 , 得 cos x1, 此时原函数是增函数; 令 y' 121242cos x0 , 得 cos x, 此时原函数是减函数, 结合余弦函数图象， 可得选 C24正确 .【名师点睛】 本题考查函数的图象， 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力 .【备考提示】 ：

15、函数的图象 , 高考年年必考 , 熟练其图象的解决办法 ( 特值排除法、 函数性质判断法等 ) 是答好这类问题的关键 .练习 4: （ 20XX年高考山东卷文科11）函数 y2xx2 的图像大致是 ()【解析】因为当 x=2 或 4 时， 2x - x2 =0，所以排除 B 、C；当 x=-2时， 2x - x2 =14<0 ，故4排除 D ，所以选 A.考点四导数的概念、运算及几何意义了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 .例 5（ 20XX 年高考山东卷文科4) 曲线 y x2 11在点 P(1 ， 12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（

16、）(A)-9(B)-3(C)9(D)15【答案】 C【解析】 因为 y'3x2 , 切点为 P（ 1， 12），所以切线的斜率为3, 故切线方程为3x-y+9=0,令 x=0, 得 y=9, 故选 C.【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义.【备考提示】 ：导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考 ,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.练习 5: （ 20XX年高考江西卷文科4) 曲线 yex 在点 A （ 0,1）处的切线斜率为（）1A.1B.2C. eD.e【答案】 A【解析】 y'ex , x 0, e01.考点五导数的应用中学阶段所涉及的初等

17、函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明， 讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法. 复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数的解析式 ; 2.求函数的值域 ; 3. 解决单调性问题 ; 4. 求函数的极值（最值）;5. 构造函数证明不等式 .例 6 设函数 f ( x) 2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值（）求 a、b 的值；（）若对于任意的x0，3 ，都有 f (x)c2成立，求 c

18、 的取值范围【解析】（） f(x)6x26ax3b ，因为函数 f ( x) 在x1 及 x2 取得极值，则有f (1)0 ， f (2) 0 66a3b0，即2412a3b0解得 a3 ， b 4（）由（）可知，f ( x) 2x39x212x8c ，f (x)6x2 18x126( x1)(x 2) 当 x(0，1) 时， f( x)0 ；当 x(1，2) 时， f( x)0 ；当 x(2，3) 时， f(x)0 所以，当 x 1 时，f ( x) 取得极大值 f (1)58c ，又 f (0)8c ， f (3) 9 8c 则当 x0，3 时， f ( x) 的最大值为f (3)98c

19、因为对于任意的x0，3 ，有 f ( x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1 或 c9 ，因此 c 的取值范围为 (， 1)(9，) 【名师点睛】 利用 函数 f (x)32在 x1 及 x2 时取得极值构造方程组求a、b2x3ax 3bx 8c的值【备考提示】 ：导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考 ,必须熟练掌握 .练习 6:设函数 f(x)=ax (a+1)ln( x+1) ，其中 a-1，求 f(x)的单调区间 .【解析】 由已知得函数f (x) 的定义域为 (1,) ，且 f '(x)ax1 (a 1),x1（1）当1a 0 时， f ' (x)

20、0, 函数 f ( x) 在 (1,) 上单调递减，（2）当 a0 时，由 f ' ( x)0,解得 x1 .af ' ( x) 、 f (x ) 随 x的变化情况如下表x( 1,1)1(1, )aaaf ' ( x)0+f ( x)极小值从上表可知当 x(1, 1 ) 时， f ' (x)0, 函数 f (x) 在 (1,1) 上单调递减 .aa当 x(1,) 时， f ' (x)0, 函数 f (x) 在 (1,) 上单调递增 .aa综上所述：当 1 a 0 时，函数 f (x) 在 (1,) 上单调递减 .当 a0 时，函数 f ( x) 在 (

21、1, 1) 上单调递减，函数f ( x) 在 (1 ,) 上单调递增 .aa考点六函数的应用建立函数模型，利用数学知识解决实际问题.例 7.(20XX 年高考山东卷文科21)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80 立方米，且 l 2r . 假设该容器的建3造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3) .设该容器的建造费用为y 千元 .（）写出y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r.【解析】（ I ）设容

22、器的容积为V ，由题意知 Vr 2l4r 3 ,又 V80,33V4r 3804420故l3(r )r 23r 23 r3r 2由于 l2r因此 0r2.所以建造费用 y2rl34 r 2 c 2 r4 (202r )34r 2c,3r因此 y4(c 2) r 2160,0r2.r1608(c2)20（ II ）由（ I ）得 y '8(c2) r( r 3c),0 r 2.r 2r 22由于 c3,所以 c20,当 320时320r, r.c20c2令3 20m,则 m0c2所以 y '8(c 2)(rm)(r 2rmm2 ).r 29（1）当 0m 2即 c时，2当r=m时

23、,y'=0;当r (0,m) 时,y'<0;当r (m,2) 时,y'>0.所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。（ 2）当 m2 即 3 c9时，2当 r (0,2)时, y ' 0, 函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当 3 c9r 2;时，建造费用最小时2当 c9r320时，建造费用最小时c.22【名师点睛】本题以立体几何为背景, 考查函数的实际应用, 题目新颖 , 考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力.【备考提示】 ：近几年的高考 ,函数与导数的综合应用

24、一直是解答题中的较难题,导数在实际问题中的优化问题是导数的重点内容,注重基础知识的落实是根本 .练习 7:(20XX 年高考江苏卷 17) 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起， 使得 ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设xAE=FB= cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（ cm2 ）最大，试问 x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（ cm3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面

25、边长的比值 .【解析】（ 1）由题意知 , 包装盒的底面边长为2x, 高为2(30x) , 所以包装盒侧面积为S= 4 2x2(30x) = 8x(30x) 8 ( x30x)28225 , 当且仅当x30x , 即2x 15 时 , 等号成立 , 所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm2 ）最大， x 应 15cm.（2）包装盒容积 V=2x22(30x) = 22x360 2x2, (0x30)所以V'6 2x21 20x2=6 2x( x20),令 V '0 得0x 20;令 V '0 得20x30 ,所以当 x20 时 , 包装盒容积V 取得最大值 , 此时的底面

26、边长为20 2cm , 高为 10 2cm ,包装盒的高与底面边长的比值为1 .2考点七（理科）定积分例 8. (20XX年高考全国新课标卷理科9) 由曲线 yx ，直线 y x2及 y 轴所围成的图形的面积为 ()（A） 10（B） 4（C） 16（D）633【答案】 C【解析】因为yx的 解 为x4y，所以两图像交点为 (4,2)，于是面积yx 224xdx42341x2416S(x2)dxx 2(2x)0030203故选 C【名师点睛】 本题考查定积分的概念、 几何意义、 运算及解决问题的能力。 求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。【备考提示】： 定积分在高考中一般

27、以选择或填空题的形式考查一个题,难度不大 , 所以在复习中注重基础知识的落实是解答好本类题目的关键.练习 8: (20XX 年高考湖南卷理科6) 由直线 x, x, y 0 与曲线 ycos x 所围成的33封闭图形的面积为 ( )A.13D.3B. 1C.22【答案】 D【解析】由定积分的几何意义和微积分基本定理可知32sin x333 。故选 D.S= 2 0 cos xdx2(0)02【易错专区 】问题 1：函数零点概念例 1. 函数 f ( x)x27x12 的零点为.解析 : 令 f ( x)x27x12 =0, 解得 : x 2或 x 5, 所以该函数的零点为 2【名师点睛】 ：函

28、数 yf ( x) 的零点就是方程f ( x)0 的实数根 , 是一个实数 , 而不是点 .【备考提示】： 准确理解概念是解答好本题的关键.问题 2：零点定理例 2. 已知 mx2x10 有且只有一根在区间（0,1 ）内，求 m 的取值范围【解析】：设 f ( x)mx2x1 ，（ 1）当 m 0 时方程的根为 1，不满足条件 .（2）当 m 0 mx2x10有且只有一根在区间（0,1 ）内又 f (0)10有两种可能情形f (1)0 得 m 2 或者 f(1) 0且 0<1<1得 m 不存在2m综上所得， m 2【名师点睛】 ：对于一般 f ( x) ，若 f (a) f (b)

29、0 ，那么，函数 yf ( x) 在区间（ a,b ）上至少有一个零点，但不一定唯一. 对于二次函数f ( x) ，若 f (a) f(b)0 则在区间（ a,b ）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立. 但方程 f (x) 0在区间（ a,b ）上有且只有一根时，不仅是 f (a) f (b)0 ，也有可能f ( a)f (b) 0 . 如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况 .由图可知f (x) 0在区间（ a,b ）上有且只有一根，但是f (a)f (b)0【考题回放 】1. （ 20XX 年高考海南卷文科10) 在下列区间中 , 函数 f ( x)ex4x 3 的零点所在的

30、区间为()A. (1 ,0)B.(0, 1)C.(1,1)D.(1,3)444224【答案】 C, f ( 1)11【解析】 因为 f (0)2 0e4 2 0, f ( 1 ) e210,所以选 C.422.(20XX年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在y lg x图像上， a则下列点也在此图像上的,是()（A ）（， b） (B) (10a,1 b)(C) (,b+1)(D)(a 2,2b)aa【答案】 D【解析 】由题意 blg a ，blg alg a，即a2 , 2b也在函数 ylg x 图像上 .3.(20XX 年高考安徽卷文科10) 函数 f ( x) axn(x)在区间 0,1

31、上的图像如图所示，则 n 的值可能是（A ）1(B) 2(C) 3(D)4【答案】 A【解析】 代入验证，当 n1 时f ( x)ax(x)a(xxx) ，则f (x)a(xx) ，由 f (x)a( xx)可知， x11 , x2 1，结合图像可3知函数应在0, 1递增，在1 ,1递 减 ， 即 在 x1取得最大值，由333f ( )a()，知 a 存在 .故选 A.，x0,4. （ 20XX 年高考福建卷文科8) 已知函数 f （x） =2xx 1, x。若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的0值等于A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】 A【 解 析 】 由 题 意 知 f(

32、1)2,因 为 f (a)f ( 1 ), 0所 以 f (a )20. 当 a0时, f (a) 2a ,2 a2 0 无解 ;当 a0 时 , f (a) a1,所以 a 12 0 ,解得 a3 .5. （ 20XX年高考海南卷文科12) 已知函数 yf ( x) 的周期为 2, 当 x1,1时 f (x)x2 ,那么函数 yf ( x) 的图象与函数 y|lg x | 的图象的交点共有 ( )A.10 个B.9个C.8个D.1个【答案】 A【解析】 画出图象 , 不难得出选项A正确.6. (20XX年高考天津卷文科5) 已知 alog 23.6, blog 4 3.2, clog4 3.

33、6, 则 ()A. a b c B.a c bC.b a cD.c a b【答案】 B【解析】 因为 a1, b, c 都小于 1 且大于 0, 故排除 C,D; 又因为 b, c 都是以 4 为底的对数 , 真数大 , 函数值也大 , 所以 bc , 故选 B.7.（ 20XX 年高考四川卷文科4) 函数 y(1)x1的图像关于直线y=x 对称的图像大致是2()x1x解析：由1， 得，故函数的反函数为y1xl o gyy112122ylog 1x 1 ，其对应的函数图象为A.28（ 20XX 年高考湖南卷文科7) 曲线 ysin x1在点M(,0) 处的切线的斜率为sin xcos x24（

34、）A 11C2D22B 222答案 :B解析： y'cos x(sin xcos x)sin x(cos xsin x)1，所以(sin xcos x)2(sin xcos x)2y'|11224x(sincos)449（20XX 年高考湖南卷文科x1, g ( x )2x 4x 若3, 有8) 已 知 函 数 f ( x) ef ( a)g ( b) ,()则 b 的取值范围为A 22,22B (22,22) C 1,3D (1,3)答案： B解析：由题可知f ( x)x11， g(x) x24x 3(x 2)21 1，若有ef (a)g(b), 则 g(b)( 1,1 ，即b24b31 ，解得 22b22 。1【解析】 yx3过 (1,1)和 (8, 2) ，由过 (8, 2) 可知在直线 yx 下方，故选 B11.（ 20XX年高考辽宁卷文科6) 若函数f ( x)x(2 x 1)(x a)(A) 1 (B)2 (C)3(D) 1为奇函数 , 则 a=()234