大学物理下课件——量子原理3

1、 下一次课交作业下一次课交作业No.8No.8 半期考试未通过的同学在本周内交半期考试未通过的同学在本周内交订正后的考卷。订正后的考卷。 我们曾经寻找过坚实的基础，但一无所获。我们洞察得越深，就发现宇宙越是动荡不息；所有的事物都在奔腾跳跃，跳着狂野的舞蹈。 玻恩玻恩科学家用气泡室图像科学家用气泡室图像来解析中微子反应来解析中微子反应?同学们好同学们好上节：上节：波函数，薛定谔方程波函数，薛定谔方程量子力学用量子力学用波函数波函数描述微观粒子的运动状态，描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程波函数所遵从的方程薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的是量子力学的基本方程。基本方程。波函数和薛定谔方程是

2、量子力学的基本假设之一。波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设之一。1) 1) 物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位） 传播的过程，传播的过程，2) 2) ，本本身身，而而是是有有意意义义的的不不是是2|:| ),(|2tr概率密度，描述粒子在空间的统计分布概率密度，描述粒子在空间的统计分布:概率幅概率幅.描描述述同同一一概概率率波波和和c3)3) 波函数遵从归一化条件和标准条件波函数遵从归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为1 11d|2 VV归一化条件：归一化条件：.是是单单值值、有有限限、连连续续的的标准条件

3、：标准条件：2*2| )(|)()()()(| ),(|xxxexextxtEitEi tEiextx )(),( 4)4)定态问题的薛定谔方程定态问题的薛定谔方程( (振幅方程）振幅方程）本课程只要求定态问题，其薛定谔方程本课程只要求定态问题，其薛定谔方程( (振幅方程）振幅方程）三维：三维：0)(2dd222 UEmx0)(222 UEm一维：一维：求解问题的思路：求解问题的思路：2. 2. 用分离变量法求解用分离变量法求解3. 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数用归一化条件和标准条件确定积分常数4. 4. 讨论解的物理意义，讨论解的物理意义，即求即求| | |2 2，得出粒子在空间

4、的概率分布。得出粒子在空间的概率分布。1. 1. 写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程的形式代入方程17.4 17.4 薛定谔方程应用举例薛定谔方程应用举例 ( (一维问题一维问题) )一、一、 一维无限深势阱一维无限深势阱模型的建立：模型的建立：是微观粒子被局限于某区域中，并在该是微观粒子被局限于某区域中，并在该区域内可以自由运动的问题区域内可以自由运动的问题的简化模型。的简化模型。简简化化U例如：例如： 金属中自由电子金属中自由电子受规则排列的晶格点阵作用受规则排列的晶格点阵作用相互碰撞相互碰撞 ( (简化：交换动量简化：交换动量) )只考虑边界上突然升高的势只考

5、虑边界上突然升高的势能墙的阻碍能墙的阻碍 势阱势阱认为金属中自由电子不能逸出表面认为金属中自由电子不能逸出表面无限深势阱无限深势阱oaoaU可解释金属导热、导电、顺磁性可解释金属导热、导电、顺磁性.例如：例如： 两栅极间的电子两栅极间的电子G C 电子在两栅极间可自由运动电子在两栅极间可自由运动0 GGUU CGGCUUCGGCUU 使电子返回栅极间区域使电子返回栅极间区域电子只能在两栅极间自由运动电子只能在两栅极间自由运动求解问题的步骤：求解问题的步骤：U(x) =0 (0 x a) axx , 0势函数势函数代入一维定态薛定谔方程的一般形式代入一维定态薛定谔方程的一般形式0)(2dd222

6、 UEmx1. 1. 写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态的形式，代入一维定态薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。o oa U设粒子在一维无限深势阱运动设粒子在一维无限深势阱运动x得本问题中的薛定谔方程得本问题中的薛定谔方程: : 0 x a02dd222 Emx0 （粒子不能逸出势阱）（粒子不能逸出势阱）axx ,0 02dd222 Emxoa Ux2. 2. 求解波函数求解波函数kxBkxAxcossin)( 通解通解: : axmEx 002dd222 令令222mEk 得得0dd222 kx由由积分

7、常数积分常数00 ）（由由 得得 B = 0kxAxsin)( 0)( a 由由得得0sin kaAank )3 , 2 , 1( n3. 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数用归一化条件和标准条件确定积分常数kxBkxAxcossin)( 通解通解: :思考：思考：n为什么不取零和负数？为什么不取零和负数？由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：0)()0( a oa UxEtieaxnatx sin2),()3 , 2 , 1( n注意：注意： 解为驻波形式解为驻波形式由归一化条件由归一化条件1d|2 x1dsind202* xa

8、xnAxa 于是：于是：axnax sin2)( ,.)3 , 2 , 1( naA2 xanAx sin)( ,.)3 , 2 , 1( n4.4.讨论讨论解的物理意义解的物理意义无限深势阱中粒子的能量量子化无限深势阱中粒子的能量量子化式中式中22212maE 12EnE只能取一系列分离值只能取一系列分离值222mEk ank 由由得能量本征值得能量本征值,.)3 , 2 , 1( n1222222222EnmanmkE Eoan = 1n = 2n = 3n = 4x1 1）无限深势阱中粒子能量的本征值）无限深势阱中粒子能量的本征值“任何一种新理论，不论它的特性或细任何一种新理论，不论它的

9、特性或细节如何，当把它应用于普遍性较小的节如何，当把它应用于普遍性较小的理论所适用的情况时，这种新理论必理论所适用的情况时，这种新理论必定可化为与它相对应的已牢固确定的定可化为与它相对应的已牢固确定的经典理论经典理论”，是否满足对应原理？是否满足对应原理？,1即即零零点点能能最最小小能能量量 E与不确定关系相洽与不确定关系相洽粒子不可能静止不动，粒子不可能静止不动，Eoan = 1n = 2n = 3n = 4x由由,.)3 ,2 , 1( n1222222222EnmanmkE 022 Ema回到经典情况，能量连续。回到经典情况，能量连续。请举实例！请举实例！Eoan = 1n = 2n =

10、 3n = 4 En Eax 2221212manEEEnn 两相邻能级的能量差：两相邻能级的能量差：实例实例原子中的电子原子中的电子比较比较教室中的人教室中的人kg)(m)m(a J222maE 501031101 . 9 1310 1110 -7010能量能量连续连续能量不能量不连续连续2） 粒子在势阱中的概率分布粒子在势阱中的概率分布经典：经典： 势阱中势阱中U = 0，粒子匀速直线运动粒子匀速直线运动粒子在势阱内各处出现的概率相等粒子在势阱内各处出现的概率相等量子：量子：振幅函数振幅函数axnax sin2)( 波函数波函数Etieaxnatx sin2),(概率密度概率密度axnax

11、tx 222sin2|)(|),(| ,.)3 , 2 , 1( n波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子出现的概率不相同子出现的概率不相同Etieaxnatx sin2),(axnaxtx 222sin2| )(| ),(| oan = 1n = 2n = 3n = 4oan = 1n = 2n = 3n = 4x1E124EE 139EE 1416 EE tx, 2x x,.3 , 2 , 1,2 nnan 粒子不能逸出势阱粒子不能逸出势阱，两端为波节，两端为波节，0|2 归一化条件，曲线下面积相等归一化条件，曲线下面积相等阱内各位置粒子

12、出现概率不同，阱内各位置粒子出现概率不同，2| 峰值处较大峰值处较大能级越高，驻波波长越短，峰值数增多能级越高，驻波波长越短，峰值数增多经典经典相同，量子相同，量子 2| oan = 1n = 2n = 3n = 4oan = 1n = 2n = 3n = 4x1E124 EE 139 EE 1416 EE tx, 2x x问题讨论问题讨论一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子物质波波长是否一致？物质波波长是否一致？oan = 1n = 2n = 3n = 4oan = 1n = 2n = 3n = 4x1E124 EE 139 EE 1416 E

13、E tx, 2x x,.3 , 2 , 1,2 nnan 驻波波长：驻波波长：由由,.)3 , 2 , 1( n1222222222EnmanmkE Eoan = 1n = 2n = 3n = 4xanhanmEpmpE2222 ,.)3 , 2 , 1(2 nnaph 二者是一致的。二者是一致的。练习练习： 粒子在宽度为粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于的一维无限深势阱中运动，处于n=1状态，状态，。区区间间发发现现该该粒粒子子的的概概率率求求在在40a解：解：)d(sin2240axaxaaa 2401008. 9)2sin412(2 aaxax xpad|402 xaxaadsi

14、n2240 axa 22sin2| oan = 1 2x xa/4练习练习：设粒子沿设粒子沿 x 方向运动，其波函数为方向运动，其波函数为 ixAx 1 1.将此波函数归一化；将此波函数归一化；2.求出粒子按坐标的概率分布函数；求出粒子按坐标的概率分布函数；3.在何处找到粒子的概率最大？在何处找到粒子的概率最大？解：解：1. 1. 由归一化条件由归一化条件1arctgd1d122222 AxAxxAxixA得：得： 1 A ixx 11 2. 2. 概率密度为：概率密度为： 2221111xixx 3. 3. 令：令： 0dd2 xx 得：得：0 x即在即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。

15、处粒子的概率密度最大。 二二. 势垒势垒 隧道效应隧道效应势函数势函数： )(xU0 x a0Uax 0代入代入0)(2dd222 UEmx得得02dd222 mEx( x a)0(ax 0)(2dd0222 UEmx模型：模型：金属表面的势能墙不是金属表面的势能墙不是 无限高，而是有限值无限高，而是有限值oaU0 xU通解通解)0(11111 xeBeAxikxik )0(22222axeBeAxikxik )(11333axeBeAxikxik 令令2212mEk )(20222UEmk 0dd2122 kx0dd2222 kx( x a)0(ax Etie 乘乘第一项：第一项： 向向x方

16、向传播的波方向传播的波例例)(11tExkieA 第二项：第二项： 向向-x方向传播的波方向传播的波 例例)(11tExkieB )cos(:11)(11xktEAeAtExki 取取实实部部同理，第二项同理，第二项 ： 向向-x方向传播的波方向传播的波)(11tExkieB 欧拉公式：欧拉公式： sincosiei 第一项：第一项：)(11tExkieA Etie 乘乘)0(11111 xeBeAxikxik 向向x方向传播的波方向传播的波类类比比：与与)(cosuxtA 由波函数的由波函数的标准条件得标准条件得)(dd)(dd)()()0(dd)0(dd)0()0(32322121axax

17、aaxx 可解得可解得2132,BBAA令令 11 A（以入射波强度为标准）（以入射波强度为标准）03 B由由 ax 处无反射波：处无反射波：oaU0 xU通解通解xikxikeBeA11111 xikxikeBeA22222 xikxikeBeA11333 oaU0 x入射波入射波+ +反射波反射波透射波透射波U越过势垒，只透越过势垒，只透射，不反射射，不反射不能越过势垒，不能越过势垒，只反射，不透射只反射，不透射)0(1 B既透射，也反射既透射，也反射既透射，也反射既透射，也反射)0(3 A0UE 0UE 经典经典量子量子隧道效应：隧道效应： 总能量总能量E小于势垒高度小于势垒高度U0的粒

18、子也的粒子也有可能贯穿势垒，到达另侧有可能贯穿势垒，到达另侧贯穿系数：贯穿系数：)(22201230|EUmaxaxeT TUa0oaU0 x入射波入射波+反射波反射波透射波透射波U应用举例应用举例E1. 1. 解释放射性解释放射性衰变衰变垒垒。粒粒子子和和子子核核间间的的库库仑仑势势粒粒子子穿穿过过衰衰变变：粒粒子子结结合合成成小小单单位位两两个个质质子子和和两两个个中中子子的的结结合合能能比比较较大大，核核内内 .He4He4解释放射性解释放射性衰变衰变微观世界的微观世界的“劳山道士劳山道士”应用举例应用举例2.2.解释黑洞的解释黑洞的“霍金蒸发霍金蒸发”也可以用也可以用“真空极化真空极化

19、”来解释来解释黑洞不是绝对黑的，黑洞不是绝对黑的，其内部的物质可以其内部的物质可以通过量子力学隧道通过量子力学隧道效应逸出。效应逸出。19591959年：年： 费曼演讲费曼演讲 在底部还有很大的空间在底部还有很大的空间 从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？3. 3. 扫描隧穿显微镜（扫描隧穿显微镜（STM)STM) ( (获获19861986年诺贝尔物理奖）年诺贝尔物理奖）扫描隧穿显微镜（扫描隧穿显微镜（STM)STM)让我们能够实现这个奇迹。让我们能够实现这个奇迹。录象（录象（VCD）：扫描探针显微镜）：扫描探针显微镜思考题思考题：1991年，年，IBM公司的公司的.Crpmmie等人用扫描隧穿显微镜等人用扫描隧穿显微镜（STM）的针尖