平面结构体系的几何组成分析

1、第十二章 平面结构体系的几何组成分析学习目标：1了解刚片、自由度、约束、多余约束、静定结构等几个概念；2了解几个常见约束；3掌握几何不变体系的组成规则；4 会进行简单的几何组成分析。第一节 几何组成分析的目的在实际工程结构中，杆件结构是由若干杆件互相连接所组成的体系，并与地基连接成 一整体，用来承受荷载的作用。当体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的变形，而能 保持其几何形状和位置不变的， 则称为 几何不变体系 。几何不变体系的例子， 如图 12-1(a) 所示。另有一类体系，尽管只受到很小的荷载 F 的作用，也会引起很大的形状或位置的 改变。其原因不是由于材料本身的弹性变形，而是由于体系内部

2、的组成不健全或支承的布 置不合理， 这类体系称为 几何可变体系 , 几何可变体系的例子， 如图 12-1(b) 所示。 显然， 几何可变体系是不能用来作为结构的， 因为在建筑工程结构中，要求在任何种类的荷载作 用下，结构必须能保持自己的形状和位置。上述体系的区别是由于它们的几何组成不同。 分析体系的几何组成， 以确定它们属于 哪一类体系，称为体系的几何组成分析。在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几 何组成，以确定体系的几何不变性。几何组成分析的目的是：(1) 判别给定体系是否是几何不变体系，从而确定它能否作为结构使用；(2) 研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出安全合理的结构；(3)

3、 正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础第二节平面体系的自由度一、几个重要的概念(一)刚片在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为 几何形状不变者，则均可把它看作为刚片。例如：一根梁、一根杆或体系中已经肯定为几 何不变的某个部分均可视为刚片。图所示的体系中，用虚线画出的 1、2、3、4、5各个部分，都可分别看作为刚片图 12-2(二)自由度体系的自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或者体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，通常记作s。一个点在平面内自由运动时，它的位置用坐标x，y完全可以确定，则平面内一点的自由度等于2,如图12

4、-3(a)所示。一个刚片在平面内自由运动时，它的位置用其上任一点A的坐标x，y和过A点的任一直线AB的倾角完全可以确定，贝个平面刚片的自由度等于3,如图12-3(b)所示。图 12-3对刚片加人约束装置，它的自由度将会减少。例如，用一根链杆将刚片与基础相联（图12-4（a），则刚片将不能沿链杆方向移动，因而减少了一个自由度。如果在刚片与基础之 间再加一根链杆（图12-4（b），则刚片又减少了一个自由度。用一个光滑铰链把两个刚片I和U在A点联结起来（图12-4（c），那么，对刚片I而言，其位置可由A点的坐标x, y和AB线的倾角来确定。因此，它仍有 3个自由度。当 刚片I的位置被确定后，因为刚片

5、U与刚片I在A点以铰联结，所以刚片U只能绕A点作相对转动。也就是说，刚片U只保留了独立的相对转角笃。因此，由刚片I、U所组成的体系在平面内的自由度为4。而两个独立的刚片在平面内的自由度总数应为2X 3=6。因此，用一个圆柱铰将两个刚片联结起来后，就使自由度的总数减少了两个。这种联结两个 刚片的铰称为单铰(a)(b)阳 12-4（三）约束体系有自由度，如果给体系加入限制运动的装置，使其自由度减少，把减少体系自由度的装置称为约束，能减少S个自由度的装置称为有S个约束。约束可分为外部约束和内部约束两种，外部约束是指体系与基础之间的约束，也就是支座；而内部约束则是指体系内部各杆之间或结点之间的约束，如

6、铰结点、刚结点和链杆等。一个平面体系，通常都是由若干个刚片加人某些约束所组成的。如果在组成体系的各 刚片之间恰当地加人足够的约束，就能使刚片与刚片之间不可能发生相对运动，从而使该 体系成为几何不变体系。(四)必要约束、多余约束根据对自由度的影响体系中的约束可分为两类：若在一个体系上增加一个约束，体系自由度实际无变化，则所增加的这一约束称为多余约束。若在一个体系上减少一个约束，体系自由度将增加，则所减少的这一约束称为必要约束。例如平面上一个动点，有两个自由度，用两根不共线的链杆将其与地基相连，组成一 个几何不变体系，此时若减少一个约束，体系变为几何可变，说明这两根链杆是必要约束； 若再增加一根链

7、杆，体系仍为几何不变，则将所增加的这一链杆称为多余约束。在有多余约束的体系中，哪些约束是多余约束并不唯一，例如在图12-5(a)所示体系中，若将A处竖向链杆与B链杆看成必要的，则 C链杆是多余的(如图12-5(b)所示)；若 将B、C链杆看作是必要的，则 A支座竖向链杆就是多余的(如图12-5(b)所示)。若一个几何不变体系中无多余约束，则称其为无多余约束几何不变体系，反之称为有 多余约束几何不变体系。2匚21图吃-5(五)静定结构与超静定结构可以从几何组成的角度，根据几何不变体系是否具有多余约束来确定结构是静定还是 超静定的。若几何组成为几何不变体系，但有多余约束，称这样的结构为超静定结构(

8、如图12-5(a) 所示)。静定结构是无多余约束的几何不变体系(如图12-5(b)、(c)所示)。二、几种常见的约束(一)几种常见的约束1、单铰、复铰仅连接两个刚片(或杆件)的铰称为单铰，如图12-6(a)所示。若图中的单铰A不存在， 两个杆件有6个自由度；加铰后，确定体系的位置需 4个坐标：xA、yA、,、-，即有 4个自由度。这个单铰能减少两个自由度，因此一个单铰相当于两个约束。同时连接两个以上刚片的铰称为 复铰(图12-6(b)。一个连接n个刚片的复铰，可减 少2(n-1)个自由度，其作用相当于(n-1)个单铰2、单链杆、复链杆用于将两个刚片(或杆件)连接在一起的两端铰结的杆件称为单链杆

9、(链杆)。图12-7(a)中杆12即为单链杆。它只能减少一个自由度，故链杆相当于一个约束。同时连接两个以上刚片链杆称为复链杆(图12-7(b)。一个连接N个杆件的复链杆，可以减少(2N-3)个自由度，相当于(2N-3)个单链杆。3、单刚结点、复刚结点仅连接两杆(或刚片)的刚结点，图12-8(a)所示的B处即为单刚结点。它能减少三个 自由度，所以单刚结点相当于三个约束。同时连接两个以上刚片刚结点称为复刚结点(图12-8(b)。一个连接N个刚片的复刚结点，可以减少3(N-1)个自由度，相当于(N-1)个单刚结点。图 12-8(二)体系的计算自由度一个体系的计算自由度为组成体系各刚片自由度数之和减去

10、体系的总约束数目。用W表示。如果用m表示刚片数，g表示单刚结点数，h表示单铰数，b表示体系内部单链杆数，r表示支座链杆数，则体系计算自由度的基础计算公式为：W=3< m-3X g-2 x h-b-r式(12-1)在计算过程中如遇复铰、复链杆、复刚结点时，应转化为相应的单铰、单链杆、单刚 结点数目。当体系完全由铰结链杆组成时，体系称为铰结体系。此时可以结点为研究对象，用j表示铰结点数(不区分是单铰还是复铰)，b、r符号表示意义同前，则体系的计算自由度 公式可表示为：W=2 j-b-r式(12-2)体系内各个刚片相互之间的运动自由度，称为体系的内部可变度；而整个体系对于外部某参考坐标系的运动

11、自由度，则称为体系的外部自由度。因为在平面体系中，不与基础 相联系(r=0)的每个刚片系，具有3个外部自由度。所以，任一平面刚片系的内部可变度V等于体系的自由度数 W减去3，即V=W-3或V=3m-3g-2h-3例12-1试计算图12-9(a)所示体系的计算自由度。(a)(b)图 12-9解法一：把体系内部看成是由 2个刚片FABCD、FEDB和3个单铰F、B、D所组 成，此时有：m=2 g=0， h=3，b=0，r=3，应用式(12-1)计算：W=3< m-3X g-2 X h-b-r=3 X 2-2 X 3-3=-3解法二：把体系内部看成是由 7个刚片AB、BC、CD、DE、EF、F

12、A、EB，3个 单铰F、B、D，3个单刚结点A、B、C和1个复刚结点E (相当于2个单刚结点)所组 成，此时有：m=7, g=5， h=3，b=0，r=3，应用式(12-1)计算：W=3< m-3X g-2 X h-b-r=3 X 7-3 X 5 -2 X 3-3=-3应用此方法解本题时须注意：此时结点B为混合结点，对于此类结点，计算单刚结点数时，可把铰接杆当作不存在；而在计算铰结点数时，则把刚接各杆看作一个刚片。解法三：把体系中的复刚结点 E转换成复铰结点 E ,此时原体系变成图12-9(b)所示 体系，经过此变化新体系比原体系的约束数目减少了2个(或计算自由度的数目增加了 2个)，新

13、体系可以看成完全由铰结链杆所组成，即由3个单链杆DE、FE、BE, 1个复链杆FABCD，4个铰结点组成，此时有，j=4，b=6，r=3。应用式(12-2)计算新体系的计算自由度：W =2X j-b-r=2 X 4-6-3=-1贝原体系的自由度为：W= W -2=-3应用此方法解本题时须注意：在应用式(12-2)式进行计算时一定要注意式中的j代表铰结点的数目，不必区分是单刚结点还是复刚结点。例12-2试计算图12-10所示体系的计算自由度。图 12-10在该体系中，如何划分刚片似有难处。较简单的做法就是：把各个结点之间所有的直 杆或曲杆都分别看作刚片，这样，M=Q结点G、H和E都是混合结点，此

14、类结点的处理方法和上题相同，故g=6、h=4。三个固定支座各相当于3根支杆约束、r=9。所以，应用式(12-1)计算可得W=X m-3X g-2 X h-b-r=3 X 9-3 X 6 -2 X 4-9=-8表明此体系具有8个多余约束。二、瞬变体系（一）何为瞬变体系在本章第一节中我们已经了解了几何可变体系的定义，实际上几何可变体系又可细分为常变体系和瞬变体系。如图12-11所示，刚片I用三根平行等长的链杆与U（基础）相连，显然这个体系是几何可变。当刚片I有微小的水平位移后，三支杆仍然平行，故位移可继续发生。像这样可 以发生大位移的几何可变体系，则称为常变体系。图12-12（a）所示两刚片用三根

15、连杆相连的体系，三杆延长线交于0点，当两刚片绕0点作微小转动后，三杆延长线不再交于0点，此时位移已经不能继续发生，体系已经成为作瞬变几何不变的，像这种，体系原为几何不变，产生微小移动后变为几何不变的体系称 体系。图12-12（b）、（c）所示体系也是瞬变体系，请读者自行分析。从瞬变体系的定乂可看出，瞬变体系在产生微小移动后，即成为几何不变体系。那么瞬变体系是否可作为结构呢？我们通过一简单问题来加以讨论。图2.15所示为一瞬变体系，设在外力F的作用下，C点向下发生一微小位移而到 C，点的位置，取图所不的脱离体由平衡条件可得Z工Fx = 0,- M cos:N2 cos Fy =0，- F N1s

16、in N2sin =0解方程后，得Ni 讥二 NN- F2sin®因为:为无穷小量，所以N _lim0 2sin由此可见，杆件 AC和BC内产生无限大的内力，从而导致体系的破坏, 因此，瞬变体系是不能作为结构。(a)问n 12-13(二) 实铰、虚铰、瞬铰连接两刚片的两链杆直接相交所形成的铰称为实铰，如图12-14(a)所示0点为实铰。若连接两刚片的两链杆并未相交， 但两杆延长线交于 0点，称0交点为两链杆的 虚铰, 如图12-14(b)所示。两刚片只能绕0点作相对转动，0点也称为刚片I和刚片U的相对转 动瞬心，这个瞬心的位置随两刚片的微小转动而改变，也称这个铰为瞬铰。图12-14(

17、c)、(d)为虚铰其他两种形式。虚铰的作用与实铰的作用完全相同。ft QF hn 12-14(三) 无穷远处的瞬铰如果用两根平行的链杆把刚片I与U相连接(图12-14(d)，则两根链杆的交点在无穷远处。因此，两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用。由于瞬 铰在无穷远处，因此绕瞬绞的微小转动就退化为平动，即沿两根链杆的正交方向产生平动。在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于点和线的下列四点结论：(1) 每个方向有一个点(即该方向各平行线的交点)。(2) 不同方向有不同的点。(3) 各点都在同一直线上，此直线称为线。(4) 各有限点都不在线上。关于上述四

18、点结论的合理性，可结合几何构造分析的实例加以检验。第三节几何不变体系的组成规则一、三刚片规则三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，组成的体系内部几何不变且无多余约 束，如图12-15(a)。此三角形的三边长度已定，由几何学可知，所组成的此三角形是唯 一的，三刚片的相对位置也就固定了。也就是说，三刚片之间无相对运动。因此，这样组 成的体系是几何不变的。注意，这里所说的不在同一直线上的三个铰可以是实铰，也可以是二根链杆组成的虚铰(图 12-15(b)、(c)。若三个铰共线但不重合，为瞬变体系(图12-12(c)二、两刚片规则两刚片用既不平行也不全交于一点的三根链杆相连，组成的体系内部几何不变且无

19、多余约束，如图12-16(a)、(b)。本规则也可改述为：两个刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆相连，组成的体系内部几何不变且无多余约束，如图12-16(a)、(b)、(c) o若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系。图12-17所示体系即为瞬变体系B图 12-1了三、二元体规则所谓二元体是指 由两根不在同一直线上的链杆铰接产生一个新结点的装置。平面内新增加一个点就会产生两个自由度，而新增加的两根链杆不共线，又限制了点的运动，故体系自由度无变化。若原体系几何不变(或可变)，则新增加一个二元体后，新体系仍为几何不变(或可变);同样，在一个已知体系上拿掉二元体，也不会影响原体系的几何不变性或几何

20、可变性。因此可将二元体规则叙述如下： 在一个体系上依次增加或减少二元体，原体系的几何可变性保持不变。第四节几何组成分析举例一、能直接观察出的几何不变部分例12-3试分析图12-19所示体系的几何组成。图12-19所示的体系中，将 AB、CD、EF三根链杆视为三个刚片，此三个刚片用虚铰。1、O2、O3两两相连，且三个虚铰不在同一直线上，根据规则一此体系为几何不变的，且无多余约束。图 i2-ig例12-4试分析图12-20所示体系的几何组成在图12-20所示的体系中，由于折杆AC和BD本身是几何不变的，故A和C及B和D 之间的距离也不能改变，它们对于刚片CDE和基础所起的作用，实际上与图中虚线所示

21、的两根链杆相当。此外，支杆 E也可看作为链杆。基础本身是几何不变的整体，故可看作 为一个刚片。所以说，刚片 CDE与基础刚片之间，有不交于一点的三根链杆相连，符合 组成规则二，故体系不变，且无多余约束。/ / 图吃-30二、先拆除不影响几何不变性的部分再进行几何组成分析例12-5试分析图12-21(a)所示体系的几何组成。当体系(暂时视为刚片)与基础是按两刚片原则联结时，可先撤去支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成性质。将图12-21(a)所示体系去掉支座链杆，只分析体系内部的几何可变性。若折杆只用两个铰与其他物体相连，可以将折杆看成是连接两个铰的直杆(图12-21(b)所示)。去掉图(b)

22、两侧的二元体。剩下部分为两个刚片用两个铰连接，图12-21(c)所示，很明显是有一个多余约束的几何不变体系。故整个体系也是有一个多余约束的几何不变体系。-J°U-A.rtrt1(b)图 12-21(C)例12-6试分析图12-22(a)所示体系的几何组成。将图12-22 (a)所示体系去掉支座链杆，只分析体系内部的几何可变性(图12-22(b)所示)。在剩下体系中，从外向内依次去掉二元体，最后得图12-22 (c)图所示的体系，很明显，该体系是具有一个自由度的几何可变体系，故原体系是具有一个自由度的几何可 变体系。图 12-22三、利用等效代换措施进行几何组成分析例12-7分析图12

23、-23(a)所示体系的几何组成。将链杆BF视为第一个刚片，将三角形 CDE视为第二个刚片，大地和 A支座处的两链 杆(可看成在基础上增加一个二元体，故为一个整体)视为第三个刚片。从约束的等价性可知，链杆AF、AE与图12-23 (b)图所示的两支座链杆 1、2对位移的约束等价。接下来 我们能在图12-23 (b)图所示体系中找到三个虚铰，刚片I、U的虚铰在D点处；刚片U、川的虚铰在CD的延长线上；刚片I、川的虚铰在平行于CD方向上的无穷远处。由此我们可认为此三虚铰共线，体系瞬变。例12-8分析图12-24(a)所示体系的几何组成。图12-24(a)所示体系内部杆件较多，考虑先将左边的三角形和地基组成一个大刚片，将杆GB视为第二个刚片，将杆 DC视为第三个刚片，变化后体系如图12-24(b)所示。此时杆件1、2、3可以看成与地基相连的链杆，如图12-24(c)所示，这时可很容易地用三刚片规则分析(三个铰的位置为。1、02、03)，结论为无多余约束的几何不变体系。图 12-24例12-9分析图12-25(a)所示体系的几何组成。图12-25(a)所示体系中间的斜 T字形折杆本身是一个无多余约束的几何不变体系, 且用三铰与其他物体相连。这时，可用另外一个本身也是一个无多余约束，且在同样的位 置以同样的约束形式与其他物体相连的刚片来代替，而不影响体系的几