晶体中电子的输运性质分享资料

1、第六章第六章 晶体中电子的输运性质晶体中电子的输运性质v晶体中电子的速度、加速度和有效质量晶体中电子的速度、加速度和有效质量v导体、半导体和绝缘体导体、半导体和绝缘体v德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应v玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程v驰豫时间的统计理论驰豫时间的统计理论v纯金属的电导率和热导率纯金属的电导率和热导率v电子与晶格相互作用电子与晶格相互作用v金属的电阻率金属的电阻率第一节第一节 晶体中电子的速度、晶体中电子的速度、加速度和有效质量加速度和有效质量本节主要内容：本节主要内容：6.1.1 6.1.1 波包和电子速度波包和电子速度6.1.2 6.1.2 电子的加速度和有效质量电子的加

2、速度和有效质量6.1.3 6.1.3 晶体中电子在恒定电场中的运动晶体中电子在恒定电场中的运动6.1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量6.1.1 波包和电子速度 该粒子该粒子( (例如电子例如电子) )空间分布在空间分布在 附近的附近的 范围内，动量范围内，动量取值为取值为 附近附近 范围内；范围内； 满足测不准关系。把满足测不准关系。把波包中心波包中心 称为该粒子的位置，称为该粒子的位置， 称为该粒子的动量。称为该粒子的动量。0rr 0kk kr 与与0r0k1.波包：0k 晶体电子在波矢晶体电子在波矢 状态的平均运动速度，相当于以状态的平均运动速度，相当于以 为中心为中心的波包移动的速度

3、。的波包移动的速度。0k自由电子波包：德布罗意波组成。自由电子波包：德布罗意波组成。晶体周期性势场中的电子波包：布洛赫波组成。晶体周期性势场中的电子波包：布洛赫波组成。 由于波包包含不同能量本征态，必须考虑时间因子，把布由于波包包含不同能量本征态，必须考虑时间因子，把布洛赫波写成：洛赫波写成：)(e)(e)()()(rururktkErkiktrkik 波包函数写成波包函数写成 d )()(220 t ,rt ,rk式中已将式中已将 的变化范围限制在的变化范围限制在22 zyx ，a2 由于由于 是小量，是小量，)()(00rurukk2.电子速度 d )(),(220 t ,rtrk将将 在

4、在 处展开处展开)(kE0k0)()()(00kkEkEkE 22de)e()(0000 t)E(rit)k(Erkikkkrut ,r)(e)(e)()(rururkt)k(Erkiktrkik 32)2sin(2)2sin(2)2sin()e(000 wwvvuurut)k(Erkik其中其中,)(0tkExukx ,)(0tkEyvky tkEzwkz0)( 3)(2)2sin(2)2sin(2)2sin()e()(000 wwvvuurut ,rtkErkik 相应的几率分布为：相应的几率分布为：62222222sin22sin22sin)(),(0 wwvvuurutrk 由此可知，

5、波包中心在由此可知，波包中心在 u= =v= =w=0 =0 处，处，tErkk0)(1 由由u，v，w满足的关系式可看出，波包中心的位置是：满足的关系式可看出，波包中心的位置是：波包中心移动的速度为波包中心移动的速度为0)(1)(0kkEkv )()(kEkE )()(kvkv )(1kEvkk 6.1.2 电子的加速度和有效质量 如果有外力如果有外力 作用在电子上，显然在作用在电子上，显然在d dt时间内，外力对电时间内，外力对电子将作功，其值为：子将作功，其值为： FtvFkd 1.加速度根据功能原理得：根据功能原理得：tvFEkd tvFEkkkdd 0dd kv)Ftk(Fkt )(

6、dd 电子的准电子的准( (赝赝) )动量。动量。k)(1kEvkk 由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。 Ettvak dd1dd tkEkkdd12 tkEkkdd1 FEakk 21电子加速度公式用矩阵表示为电子加速度公式用矩阵表示为 zyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEaaa222222222222212.电子有效质量m1Fma1 上式与上式与 形式类似，只是现在一个二阶张量代替了形式类似，只是现在一个二阶张量代替了 ，称其为，称其为倒有效质量张量倒有效质量张量。 kkEm 2211

7、倒有效质量张量的分量为：倒有效质量张量的分量为： 选选kx, ,ky, ,kz轴沿张量主轴方向，则有：轴沿张量主轴方向，则有： , 0, 02kkE 这时倒有效质量张量是对角化的。这时倒有效质量张量是对角化的。 22222220000001zyxkEkEkE kkEm 2211下面以一维情况为例对电子有效质量进行简单的讨论。下面以一维情况为例对电子有效质量进行简单的讨论。 kkEm 2211(1)(1)有效质量反比于能谱曲线的曲率，有效质量反比于能谱曲线的曲率， dd22大大，有有效效质质量量小小；kEEk有效质有效质量小量小有效质有效质量大量大 (2) (2)有效质量是有效质量是k的函数，的

8、函数，在能带底附近总是取正值；在在能带底附近总是取正值；在能带顶附近总是取负值能带顶附近总是取负值。 例例1 1：以体心立方晶格：以体心立方晶格，紧束缚近似下的紧束缚近似下的s能带为例，讨论能带为例，讨论有效质量的特点。有效质量的特点。小小，有有效效质质量量大大22ddkE。2cos2cos2cos8)(zyxsatssakakakJCEkE 2cos2sin2sin2222zyxxyyxakakakJakkEkkE 2cos2cos2cos22222222zyxzyxakakakJakEkEkE 2sin2sin2cos2222zyxyzzyakakakJakkEkkE 2sin2cos2s

9、in2222zyxxzzxakakakJakkEkkE 解：由紧束缚近似可得体心立方解：由紧束缚近似可得体心立方s能带的能量表达式：能带的能量表达式：2cos2cos2sin4zyxxakakakJakE 在能带底部，在能带底部，kx= =ky= =kz=0=0处，处， ，002kkE0222 Jammmzzyyxx在能带顶部，在能带顶部，); 20, (0, ; ,0)2(0, ,0,0)2(aaa ；0222 Jammmmzzyyxx而在而在 处，处， ) (aaak ， zzyyxxmmm,都变成都变成 晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？ 甚至还

10、会变成甚至还会变成无穷大呢？无穷大呢？晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用。晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用。)(1lFFma 但是但是 的具体表达式是难以得知的，要使上式中不出现的具体表达式是难以得知的，要使上式中不出现lFlF又要保持式子恒等，上式只好写成又要保持式子恒等，上式只好写成Fma 1lF设电子与晶格之间的作用力为设电子与晶格之间的作用力为 ，则牛顿定律简单记为，则牛顿定律简单记为也就是说电子的有效质量也就是说电子的有效质量m* *本身已概括了晶格的作用。本身已概括了晶格的作用。mtFmtFmtFlddd 将冲量用动量的增量来代换，上式化为：将冲量用动量的增量

11、来代换，上式化为：二式比较得：二式比较得： 电电子子给给予予晶晶格格的的外外力力给给予予电电子子的的)()(1PPm mp 晶晶格格给给予予电电子子的的)(P 外力给予电子的外力给予电子的)( Pm1)(1lFFma Fma 1 从上式可以看出，当电子从外场获得的动量大于电子传递从上式可以看出，当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量给晶格的动量时，有效质量m* *00；当电子从外场获得的动量小当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，于电子传递给晶格的动量时，m* *00；当电子从外场获得的动量当电子从外场获得的动量全部交给晶格时，全部交给晶格时，m* * ，此时电

12、子的平均加速度为零。此时电子的平均加速度为零。 有效质量有效质量m* *是固体物理学中的一个重要概念。是固体物理学中的一个重要概念。 (1) (1)m* *不是电子的惯性质量，而是在能量周期场中电子受不是电子的惯性质量，而是在能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；性质量； （2)2)m* *不是一个常数，而是不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；k （3)3)m* *可以

13、是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，能带底附近，m* *总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m* *总是负的，表示电子总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。 有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以把布洛

14、赫电子看成是具有质量把布洛赫电子看成是具有质量m* *、动量为动量为 的准电子，使我的准电子，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。由于通常晶体由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入这两个这两个量量，给处理问题带来很大的方便，给处理问题带来很大的方便。k6.1.3 晶体中电子在恒定电场中的运动以一维紧束缚近似为例以一维紧束缚近似为例kaJJEkEssatsscos2)( JJEEkssats20min ，JJEEakssats2max ，kaaJkEkvsin2dd

15、1)( 222ddkEm* kaJacos222 ,ckk 加速度为正加速度为正0 *m *cmkk，Ea ack0V00 m加速度为负加速度为负0 *m,ckk 1.电子在k空间的图象设沿设沿- -x方向加一恒定电场方向加一恒定电场 ，电子受力电子受力 eF 沿沿x轴正方向轴正方向tkeFdd etk dd( (常量常量) )电子在电子在k空间作匀速运动空间作匀速运动)()(hKkEkE akak 与与代表同一状态，电子在代表同一状态，电子在k k空间作循环运动空间作循环运动，电子速度作周期性振荡。电子速度作周期性振荡。Ea ack0EExxACB( (k=0)=0)ak 电子在实空间里也是

16、振荡的。电子在实空间里也是振荡的。ACA为一周期为一周期TT= =简约区宽度简约区宽度/ /v( (k) )aCA0 ，相当于从，相当于从0 aAC，相相当当于于从从外电场的存在外电场的存在, ,附加电势能附加电势能- -e x2.电子在实空间中的运动图象 (1) (1)电子受晶体中杂质和缺陷及声子散射作用，电子来不及电子受晶体中杂质和缺陷及声子散射作用，电子来不及完成振荡运动就被散射破坏掉了；完成振荡运动就被散射破坏掉了； (2) (2)按照量子力学，电子遇到位垒时将有部分穿透位垒按照量子力学，电子遇到位垒时将有部分穿透位垒( (遂遂道效应道效应) )，部分被反射回来。，部分被反射回来。实空

17、间中电子的振荡运动很难看到。实空间中电子的振荡运动很难看到。第第 二二 节节导体、半导体和绝缘体的能带论解释导体、半导体和绝缘体的能带论解释本节主要内容本节主要内容: :6.2.1 6.2.1 满带电子不导电满带电子不导电6.2.2 6.2.2 导体、半导体和绝缘体的能带导体、半导体和绝缘体的能带6.2.3 6.2.3 近满带和空穴近满带和空穴6.2.4 6.2.4 金属和绝缘体的转变金属和绝缘体的转变6.2.1 满带电子不导电1.满带、导带、近满带和空带(1)(1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。满带：能带中所有电子状态都被电子占据。 (2) (2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占

18、据导带：能带中只有部分电子状态被电子占据, ,其余为空态。其余为空态。 (3) (3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据近满带：能带中大部分电子状态被电子占据, ,只有少数只有少数空态。空态。 (4) (4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。6.2 导体、半导体和绝缘体的能带论解释2.满带和导带中电子的导电情况)()(kEkE (1)(1)无外电场无外电场 不论是否满带，电子填充不论是否满带，电子填充 和和- - 的的几率相等。几率相等。kk据右图可看出据右图可看出)()(kvkv 又又I=0=0导带导带满带满带a akEAA a akEAA

19、(2)(2)有外电场有外电场Ftk dd eFtk11dd 轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均匀填充各匀填充各 态的情况。从态的情况。从A 移出去的电子同时又从移出去的电子同时又从A移进移进来，保持整个能带处于均匀填满的状况，并不产生电流来，保持整个能带处于均匀填满的状况，并不产生电流。kk满带：满带：导带：导带： 在外场作用下，电子分布将向一方移，在外场作用下，电子分布将向一方移，破坏了原来的对称分布，而有一个小的偏移破坏了原来的对称分布，而有一个小的偏移, ,这时电子电流将只是部分抵消，而产生一定这时电子电流将只是部分抵消，而产生一

20、定的电流。的电流。a a kEA A a a kEA A 0 时时I=0=0导带导带满带满带0 I6.2.2 导体、半导体和绝缘体的能带有导带有导带导带导带导体导体半导体禁带窄半导体禁带窄禁带禁带半导体半导体空带空带禁带禁带绝缘体绝缘体空带空带绝缘体禁带宽绝缘体禁带宽几个实例1.碱金属Li122s1sNa16223s2p2s1sK1626224s3p3s2p2s1sns电子只占一半能带，电子只占一半能带，为导体。为导体。2.碱土金属Be222s1sMg26223s2p2s1sCa2626224s3p3s2p2s1sns电子填满了电子填满了ns能带，但能带，但ns能带与上面能带形成能能带与上面能

21、带形成能带交叠，故仍为导体。带交叠，故仍为导体。6.2.3 近满带和空穴 满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+ +e。(2)(2)()(eehhkEkE (3)(3)()(ehkvkv (4)(4)*ehmm ehkk (1)(1) 设能带中有一个设能带中有一个 态没有电子，即能带中出现一个空穴，态没有电子，即能带中出现一个空穴，空穴的波矢用空穴的波矢用 表示。表示。ekhk

22、可以证明：可以证明：满带中满带中0 keekkhkkkkke (2)(2)()(eehhkEkE 如果满带中有一个电子逸失，系统的总波矢为空穴的波矢。如果满带中有一个电子逸失，系统的总波矢为空穴的波矢。(1)(1)ehkk )()()()(hheheeeekEkEkEkE )()(eehhkEkE ehkk hhhhkkkEm )(1122* hhhkkEk )(12)(12 eehkkEk )(12 eeekkEk *21)(1 eeeemkkEk (4)(4)*ehmm )(1)(1)(ekhkhkEkEkveh (3)(3)()(ehkvkv )()(1eekkvkEe 6.2.4 金属

23、和绝缘体的转变 典型例子：低温下固化的隋性气体在足够高的压强下可以典型例子：低温下固化的隋性气体在足够高的压强下可以发生金属化的转变。发生金属化的转变。 这种与能带是否交叠相对应的金属这种与能带是否交叠相对应的金属-绝缘体的转变称为绝缘体的转变称为Wilson转变转变。从非金属态变成金属态所需的压强称为金属化压强。从非金属态变成金属态所需的压强称为金属化压强。1.Wilson转变： 任何非导体材料在足够大的压强下可以实现价带和导带的任何非导体材料在足够大的压强下可以实现价带和导带的重叠，从而呈现金属导电性。重叠，从而呈现金属导电性。 Xe在在高压高压下下5d能带和能带和6s能带发生交叠，呈现金

24、属化转变能带发生交叠，呈现金属化转变。2.结构变化引起的金属-绝缘体转变(Peierls转变)设某金属，每个原胞有设某金属，每个原胞有1 1个价电子，有一个半满的导带。个价电子，有一个半满的导带。使原胞的晶格常量增大使原胞的晶格常量增大, , 3123nkF 费密半径费密半径 Fkna半满的导带半满的导带满带满带金属金属绝缘体绝缘体 例例1 1：半导体材料的价带基本上填满了电子：半导体材料的价带基本上填满了电子( (近满带近满带) )，价带，价带中电子能量表示式中电子能量表示式E( (k)=-)=-1.016 10-34k2( (J) )，其中能量顶点取在其中能量顶点取在价带顶价带顶, ,这时

25、若这时若k=1 =1 10106 6/cm/cm处电子被激发到更高的能带处电子被激发到更高的能带( (导带导带) )，而在该处产生一个空穴，试求出此空穴的有效质量，波矢，准而在该处产生一个空穴，试求出此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量动量，共有化运动速度和能量。解解: :ehkk (1)(1) 波矢：波矢：(2)(2)准动量：准动量：hk(3)(3)()(ehkvkv kEkvkvehdd1)()( )()(eehhkEkE (4)*ehmm (5) 222dd11kEm*e 例例2 2：晶格常量为：晶格常量为a的一维晶格，其价带顶附近的色散关系为的一维晶格，其价带顶附近的色

26、散关系为mkmkkEV2220236)( 其中其中ak0 ，在导带底附近的色散，在导带底附近的色散关系为关系为mkkmkkEc20222)(3)( 求：求：(1)(1)禁带宽度；禁带宽度；(2)(2)导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量；导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量；(3)(3)电子由价带顶激发到导带底时，准动量的变化；电子由价带顶激发到导带底时，准动量的变化；(4)(4)在外电场作用下，导带底的电子和价带顶空穴的加速度；在外电场作用下，导带底的电子和价带顶空穴的加速度；(5)(5)设设a=0.=0.25nm， = =100v/ /m，请求出空穴自价带顶漂移到请求出空穴自价

27、带顶漂移到k0处处所需的时间。所需的时间。mkmkkEV2220236)( mkkmkkEc20222)(3)( ak0 价带顶价带顶导带底导带底(1)(1)导带底导带底0dd kEcakkc43430 价带顶价带顶0dd kEv0 vk maxvE22maxmin12 amEEEvcg mincE224 am226 am(2)(2)导带底导带底 ck*ekEm222dd11m3883*mme 价带顶价带顶 vk*ekEm222dd11m6 6*mme 6*mmmeh (3)(3) akkpvc43(4)(4)amF* eeame* *eemea me38 hhame* *hhmea me 6

28、 (5) etkh ddhketdd aeketahd0 第 三 节 德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应本节主要内容：本节主要内容：6.3.1 6.3.1 电子在磁场中的运动电子在磁场中的运动6.3.2 6.3.2 朗道能级简并度朗道能级简并度 6.3.3 6.3.3 由能态密度解释德哈斯由能态密度解释德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应6.3.4 6.3.4 晶体中电子的有效质量近似晶体中电子的有效质量近似6.3.5 6.3.5 回旋共振回旋共振 电导率、比热等物理量也有类似的振荡现象。这些现象同金电导率、比热等物理量也有类似的振荡现象。这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有

29、关，因而同金属费米面结属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构有密切的关系，这些效应已成为研究费米面的有力工具。构有密切的关系，这些效应已成为研究费米面的有力工具。 研究费米面的其他实验方法：磁致电阻、回旋共振、磁声研究费米面的其他实验方法：磁致电阻、回旋共振、磁声几何效应等。几何效应等。 低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现象称为象称为德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应。范阿尔芬效应。6.3 德哈斯-范阿尔芬效应1 .恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：准经典运动的两个方程：以自由电子为例加以讨论。以自由电

30、子为例加以讨论。mkE222 若磁场沿若磁场沿kz方向，方向，), 0 , 0(BB 6.3.1 电子在磁场中的运动)(1)(kEkvk Bkvetk )()(dd kz保持不变保持不变, ,在在kx-ky面内做匀速圆周面内做匀速圆周运动，回转的频率运动，回转的频率 。 meB 0 )(1)(kEkvk Bkvetk )()(ddmkE222 (1)(1)电子在电子在 空间的运动图象空间的运动图象k 自由电子的等能面是球面，与自由电子的等能面是球面，与kz垂直的垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆平面与等能面的交线就是一系列圆。 0ddddddtkkmeBtkkmeBtkzxyyx Bkmet

31、kmkvkdd)(zkBkxkykk(2)(2)电子在实空间的运动图象电子在实空间的运动图象 0ddddddddddtvvmeBkmeBmtkmtvvmeBkmeBmtkmtvzxxyyyyxxmkvk )( zzyyxxkmvkmvkmvmeB 0 电子在电子在 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为圆周运动，回旋频率为 。r设外加磁场沿设外加磁场沿z轴方向，轴方向，2)(21AepmH 2. 磁场作用下自由电子运动的量子化理论 ),By(A00 AB 2)(21AepmH p：电子的运动学动量，：电子的运动学动量，A：电子的

32、场动量，：电子的场动量，Ae：矢量势，：矢量势， 22221zyxpppeBym 中不含中不含x，z，所以它和算符所以它和算符 及及 是对易的，其波函数可选为是对易的，其波函数可选为 的本征波函数。的本征波函数。zxpp, Hxipx zipz 波函数可以写成：波函数可以写成：)()(yezkxkizx zzxxkpkp ,代入方程代入方程 得到得到 EH )()()(22202222yyyymymc ,2,220mkEkeBymeBzxc 其其中中 与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0的谐振子波动方程的谐振子波动方程。回旋频率回

33、旋频率谐振子能量谐振子能量由量子力学知由量子力学知 ( (n+ +1/ /2) ) cmknEzc2)21(22 从准连续的能量从准连续的能量 变成变成( (n+ +1/ /2) ) c c。)(2222yxkkm 沿磁场沿磁场B方向，电子保持自由运动，方向，电子保持自由运动，mkz222相应的动能为相应的动能为 。在与磁场垂直的在与磁场垂直的kz常数的平面内，轨道是量子化的。常数的平面内，轨道是量子化的。这些量子化的能级称为这些量子化的能级称为朗道能级朗道能级。在垂直磁场的在垂直磁场的x- -y平面上，电子的运动是量子化的。平面上，电子的运动是量子化的。 mkEz222 如图所示，在如图所示

34、，在波矢空间形成一系列形成一系列“圆柱圆柱面面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一维自由度维自由度kz。 电子的能量由连续的能谱变成一维的电子的能量由连续的能谱变成一维的磁次磁次能带。能带。n= =3n= =2n= =1n= =0B= =0)(znkE0 0zk自由电子在磁场自由电子在磁场中的能量中的能量 n一定，电子的能带是一条抛物线，一定，电子的能带是一条抛物线，n=0=0是最低的次能带，是最低的次能带，n增加，次能带增加，次能带向上移，各能带有一定交叠，如图给出向上移，各

35、能带有一定交叠，如图给出磁次能带的简图。磁次能带的简图。 不同的不同的y0并不影响谐振子的本征值并不影响谐振子的本征值 ，而，而y0又依赖于波矢分又依赖于波矢分量量kx，因此不同的状态可能会是简并态。因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢？其简并度是多少呢？22220yxyyyLkeBLLyL ，即即2yxeBLk 6.3.2 朗道能级简并度 )()()(22202222yyyymymc xkeBy 0该范围内的波矢数为：该范围内的波矢数为：yxcxyLLmL/eBLD2222 朗道能级简并度：朗道能级简并度：yxcLLmD2 meBc 此简并度与磁感应强度此简并度与磁感应强度B成正比

36、，与能量无关，即无论能成正比，与能量无关，即无论能量为何值，简并度不变。量为何值，简并度不变。波矢空间状态代表点波矢空间状态代表点kxky无外磁场无外磁场有外磁场有外磁场加磁场后，这些点都汇聚到等能面上。加磁场后，这些点都汇聚到等能面上。考虑到在考虑到在dkz范围范围kz有有 个不同值，个不同值，zzkLd2zzyxzzzzkLLLheBkLDkk,ENdd22)d( 在第在第n个次能带波矢个次能带波矢 范围的状态数是范围的状态数是zzzkkkd EnEmEn,ENccd)21()2()2()d(212322 将将dkz换成换成dE，就得到第就得到第n个次能带，能量在个次能带，能量在 之间的状

37、态数目之间的状态数目EEEd 6.3.3 由能态密度解释德哈斯-范阿尔芬效应 EnEmEn,ENccd)21()2()2()d(212322 能量等于能量等于E的电子可以处于不同的次能带，所以总的态密度的电子可以处于不同的次能带，所以总的态密度应是能带底位于应是能带底位于以下所有次能带对应能态的累计。以下所有次能带对应能态的累计。2123202)21()2()2()( cnncnEmEN 其中其中 的次能带的能带底刚好的次能带的能带底刚好等于等于或稍低。或稍低。nn 右图给出这一能态密度曲线。右图给出这一能态密度曲线。12340 BN(E) 1. .在在( (n+ +1/ /2) ) c处能态

38、密处能态密度出现峰值。度出现峰值。2. .相邻峰值间能量差为相邻峰值间能量差为meBc 随着磁场增大，能态密度也增大，随着磁场增大，能态密度也增大，每个峰内包含的状态数增多。每个峰内包含的状态数增多。设设B= =B1时，有时，有n个峰，个峰，EF=(=(n+ +1/ /2) ) eB1/ /m，B= =B2时，有时，有n- -1个峰，个峰，EF=(=(n- -1/ /2) ) eB2/ /m，SemEe)B(BBF211121 12340 BN(E) 当当 满足此条件时，就会发生电子从上一个能带抽空而满足此条件时，就会发生电子从上一个能带抽空而转化到比它能量低的次能带，系统的总能量转化到比它能

39、量低的次能带，系统的总能量E随之发生周期性随之发生周期性的变化。的变化。)1(B BEM 在绝对零度下，系统的磁矩在绝对零度下，系统的磁矩 也随之振荡。也随之振荡。其周期为其周期为 SeB2)1( S是垂直磁场方向的费米面的极值面积。 只要从实验上测定磁矩只要从实验上测定磁矩M在不同方向上随在不同方向上随1/ /B的变化周期，便的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进一步得到金属费米面的形状。可确定沿不同晶向的费米面，进一步得到金属费米面的形状。磁场沿磁场沿方向时方向时银的振荡曲线银的振荡曲线多极值轨道多极值轨道6.3.4 晶体中电子的有效质量近似 晶体中电子在磁场中运动时，需考虑到晶体周期

40、性势场的晶体中电子在磁场中运动时，需考虑到晶体周期性势场的影响，但一般半导体材料中导带底和价带顶附近，可以采用有影响，但一般半导体材料中导带底和价带顶附近，可以采用有效质量近似将前面由自由电子情况得到的结论，用有效质效质量近似将前面由自由电子情况得到的结论，用有效质量量m* *代替自由电子质量即可。代替自由电子质量即可。6.3.5 回旋共振在恒定外磁场作用下，晶体中的电子将做螺旋运动，在恒定外磁场作用下，晶体中的电子将做螺旋运动，回旋频率回旋频率：*0meB 若在垂直磁场方向加上频率为若在垂直磁场方向加上频率为 的交变电场，当的交变电场，当 = = 0时，时，交变电场的能量将被电子共振吸收，这

41、个现象称为交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为回旋共振回旋共振。 按量子理论，共振吸收相当于实现了电子在朗道能级之间按量子理论，共振吸收相当于实现了电子在朗道能级之间的跃迁。通过测量共振吸收频率，可以确定晶体中电子的有效的跃迁。通过测量共振吸收频率，可以确定晶体中电子的有效质量。质量。第四节第四节 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程本节主要内容：本节主要内容：6.4.1 6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程玻尔兹曼方程的微分积分方程6.4.2 6.4.2 弛豫时间近似弛豫时间近似 金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加电场中，产生电

42、流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输运现象。运现象。电流密度：电流密度：Ej 为金属的电导率。为金属的电导率。kkkd 中的电子数：中的电子数：kVkfCd)2(2)(3取单位体积取单位体积VC= =1kd中的电子对电流密度的贡献为：中的电子对电流密度的贡献为：kkfkevd)2(2)()(3 kkfkevjd)2(2)()(36.4 玻尔兹曼方程)(kf 不同状态电子的分布函数不同，不同状态电子的分布函数不同， 是在外场下的非平

43、衡分是在外场下的非平衡分布函数。布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ kkfkevjd)2(2)()(3 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程)(ddBvetkF 电子分布函数电子分布函数f是波矢是波矢 、空间坐标、空间坐标 和时间和时间

44、t的函数的函数。kr温度梯度温度梯度r变化变化f变化变化B ， k变化变化f变化变化 在外电场在外电场 和磁场和磁场 中，电子的运动规律是中，电子的运动规律是B以波矢以波矢 坐标坐标 为变量组成的空间称为相空间。为变量组成的空间称为相空间。kr在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。1.相空间),(tkrfr描述描述t时刻电子在晶体内时刻电子在晶体内 处波矢为处波矢为 的概率的概率。 k电子分布函数的变化表示为电子分布函数的变化表示为漂漂碰碰tftftf 碰撞引起的分布函数的变化碰撞引起的分布函数的变化2.分布函数的变化漂移作用引起的分布漂移作用引起

45、的分布函数的变化函数的变化漂漂碰碰tftftf 漂移项漂移项= =外场作用力引起的电子波矢的漂移外场作用力引起的电子波矢的漂移+ +速度引起的电子位置的漂移速度引起的电子位置的漂移fkfrkr 漂漂tf 碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，电子不断发生从电子不断发生从 态的跃迁，电子态的这种变化常称为散态的跃迁，电子态的这种变化常称为散射。射。 kk只考虑相同自旋态之间的跃迁。只考虑相同自旋态之间的跃迁。 kkfnd22d3 33)2(d2)2(d)()(1)(kkk,kt ,kft ,kf 处单位体积中处在处单位体积中处在

46、间的电子数间的电子数kkkd r(1)(1)kk 态的散射概率为态的散射概率为)(k,k (2)(2) kfk 12d23k 态空状态数为态空状态数为(3)(3)单位时间内由于碰撞而进入单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为态的电子数为k d(4)(4)( (只考虑自旋相同的跃迁只考虑自旋相同的跃迁) ) 333)2(d2)2(d2)2(d)()(1)(kakkk,kt ,kft ,kfk单位时间内由于碰撞而离开单位时间内由于碰撞而离开 态的电子数为态的电子数为kd(4)(4) 333)2(d2)2(d2)2(d)()(1)(kbkkk,kt ,kft ,kfk单位时间内由于碰撞而进入单位时间

47、内由于碰撞而进入 态的电子数为态的电子数为kd(5)(5) kkk,kt ,kft ,kfa3)2(d)()(1)( kkk,kt ,kft ,kfb3)2(d)()(1)(如果系统处于稳定状态，则如果系统处于稳定状态，则 ，即，即0 tf0漂漂碰碰tftf abfkfrkr fkfrkr 漂漂tf abtf 碰碰 它是一个微分它是一个微分-积分方程。由于难于求出此方程的解，因积分方程。由于难于求出此方程的解，因此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 332d22d2kabktftnCCabtfC 6.4.2 弛豫时间近似)(0kf

48、ftftf 碰碰 式中式中 是平衡时的费米狄拉克分布函数，是平衡时的费米狄拉克分布函数， 是一个参量，是一个参量，称为弛豫时间，是称为弛豫时间，是k的函数。的函数。0f00)( fff 电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡分布分布0)( f 表示分布函数对平衡的偏离表示分布函数对平衡的偏离1.1.无外场，无温度梯度无外场，无温度梯度0 漂漂tf 总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受

49、到遏制，被限制在一定程度而达到稳定分布。程度而达到稳定分布。2.外场和温度梯度存在TTffrr )(Bvek 0ffabfkfrkr )()()(10kfffBveTfTEkk 玻尔兹曼方程为：玻尔兹曼方程为：Erk 1第第 五五 节节 弛豫时间的统计理论弛豫时间的统计理论本节主要内容：本节主要内容：6.5.1 6.5.1 ( (k k) )表达式表达式 6.5.2 6.5.2 ( (k k) )的物理意义的物理意义 6.5 弛豫时间的统计理论以晶格各向同性以及弹性的电子散射为例说明以晶格各向同性以及弹性的电子散射为例说明：(1)(1)究竟在什么情况下可以用究竟在什么情况下可以用 ( (k)

50、)来描述碰撞项？来描述碰撞项？(2)(2) ( (k) )由什么决定？由什么决定？ 对于各向同性的弹性散射，能量对于各向同性的弹性散射，能量 与与 的方向无关，只的方向无关，只是是 k的函数，的函数，k空间的等能面是一些围绕原点的同心球面。空间的等能面是一些围绕原点的同心球面。 )(kEk0)( )()( k ,k,kEkE则则如如果果即：即：弹性散射，弹性散射，k状态的电子只能跃迁到相同能量状态的电子只能跃迁到相同能量k 态，态， 3)2(d),(),(1),(kkktkftkfk abtf 碰碰 3)2(d)()(1)(kkk,kt ,kft ,kf 6.5.1 (k)表达式 )(1)()

51、,()(1)(),(0000kfkfkkkfkfkk 所以对于弹性散射的情况，即所以对于弹性散射的情况，即E=E ，有有)()(k,kk,k 1. 1.当系统处于平衡态时当系统处于平衡态时f= =f0，电子由电子由k态向态向k 态的跃迁与由态的跃迁与由k态向态向k态的跃迁达到细致的平衡。态的跃迁达到细致的平衡。 2. 2.当有外场存在和温度梯度时，一般来说，当有外场存在和温度梯度时，一般来说，f偏离平衡态偏离平衡态不太大，这时不太大，这时 ,0ff kkfkfk,ktfd)()()()2(3 碰碰abtf 碰碰 3)2(d)()(1)(kkk,kt ,kft ,kf 3)2(d)()(1)(k

52、kk,kt ,kf,tkf )()()(00kEfEfkf )()()(00kEfEfkf 对于各向同性弹性散射，取对于各向同性弹性散射，取 kkkk,kkEftfd)()(1)()()2(103 碰碰又又 )(00kEffftf 碰碰所以所以kkkk,kd)()(1)()2(113 对于等能面是球面的弹性散射，对于等能面是球面的弹性散射， 只依赖于只依赖于的模以及的模以及 之间的夹角之间的夹角 ，即，即 )(k,k kk或或kk与与)()()()(E,E,E,k,kk,k 若金属处于恒定温度下，只施加外电场若金属处于恒定温度下，只施加外电场 ，玻尔兹曼方程，玻尔兹曼方程)()()(10kff

53、fBveTfTEkk 化为：化为：kEfmEfvEEfffkkk 0*2000feffk 0Efmkef 00 )()()(00kEfEfkf )()()(00kEfEfkf 又又将上面式子比较得将上面式子比较得kmek )(kmek )(kkkk,kd)()(1)()2(113 轴轴方方向向，则则沿沿如如果果x xxkkkk,kd1)()2(113 此时沿电场方向，电子散射前后的动量比是：此时沿电场方向，电子散射前后的动量比是： cos xxkk 一个波矢为一个波矢为k= =kx的电子，经过弹性散射到达的电子，经过弹性散射到达 的状的状态，如图所示态，如图所示xkk xkk xkk xk k

54、k,kdcos1)()2(113 只有外电场的情况下，弛豫时间的统计表达式：只有外电场的情况下，弛豫时间的统计表达式： 如果在上式中忽略掉如果在上式中忽略掉( (1- -cos ) )因子，积分将表示在因子，积分将表示在 状态状态的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子的自由碰撞时间。的自由碰撞时间。 k式中式中( (1- -cos ) )因子的作用可作如下分析：因子的作用可作如下分析：6.5.2 (k)的物理意义 若散射是小角度的，即若散射是小角度的，即k与与k接近，接近， 角很小，角很小，( (1- -cos ) )值也值

55、也很小，因此在积分中的贡献很小；相反若散射角很大，如很小，因此在积分中的贡献很小；相反若散射角很大，如 ，即即k在散射中几乎是反向的，这时的在散射中几乎是反向的，这时的( (1- -cos ) )值最大，因此这样值最大，因此这样的散射在积分中的贡献也很大。的散射在积分中的贡献也很大。 kk,kdcos1)()2(113 第第 六六 节节纯金属的电导率和热导率纯金属的电导率和热导率本节主要内容：本节主要内容：6.6.1 6.6.1 纯金属的电导率纯金属的电导率6.6.2 6.6.2 纯金属的热导率纯金属的热导率6.6纯金属的电导率和热导率6.6.1 纯金属的电导率 电流密度可用垂直于电流方向单位

56、时间通过单位面积的电电流密度可用垂直于电流方向单位时间通过单位面积的电 子数来计算。按经典理论子数来计算。按经典理论此处设金属的体积为单位体积。此处设金属的体积为单位体积。 电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度直的单位截面积的电流强度。vnej Ej kkfkevjd)2(2)()(3电流密度电流密度电导率?)( kf那么那么 设均匀金属，无温度梯度，设均匀金属，无温度梯度，只有弱电场只有弱电场，1.分布函数0 T0 B玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 )()()(10kfffBveTfTEkk 外电场一般总是比原

57、子内部的电场小得多，可以认为外电场一般总是比原子内部的电场小得多，可以认为f偏偏离平衡分布离平衡分布f0不大，上式右边的不大，上式右边的f可用可用f0代替所以代替所以00feffk feffk 0根据泰勒定理，上式可以看成式根据泰勒定理，上式可以看成式 上式说明，当施加电场后，波矢空间内稳定态的电子分布上式说明，当施加电场后，波矢空间内稳定态的电子分布波函数，是平衡态分布函数波函数，是平衡态分布函数 发生刚性平移产生的。发生刚性平移产生的。)(0kf00feffk 如果平衡态如果平衡态 对应一个费米球分布，对应一个费米球分布，)(0kf e 球心沿电场相反的方向刚性移动球心沿电场相反的方向刚性

58、移动)(kf也对应一个费米球分布，也对应一个费米球分布，则稳定态则稳定态 e kkEEfjkEEfikEEffzyxk 0000EfvEEfkk 00)()()(00 ekfekfkf 泰勒展开的结果泰勒展开的结果Efveff)k( 00)( 2.电流密度kEfvefvekkfvejd)(4)d()2(20033 由于由于 是波矢的偶函数，是波矢的偶函数， 是波矢的奇函数，所以上式积分中是波矢的奇函数，所以上式积分中的第一部分为零，的第一部分为零，0fvkEfvvejd)(4032 EESEfvvek dd)(4032 所以积分的贡献主要来自所以积分的贡献主要来自E= =EF附近，这附近，这样

59、上述积分简化为在费米面样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。上的面积分。),(F0EEEf Fd)(432SkEsvvej 如果外电场沿如果外电场沿x轴方向，则上式变为轴方向，则上式变为xksxxEsvej d4F232将上式与立方晶系金属中电流与电场的关系式将上式与立方晶系金属中电流与电场的关系式 zyxzyxjjj 000000比较可得到立方结构金属的电导率比较可得到立方结构金属的电导率Esveksx d4F232 由此可见，对金属电导有贡献的由此可见，对金属电导有贡献的只是费米面附近的电子，这一点与电只是费米面附近的电子，这一点与电子对比热的贡献类似。子对比热的贡献类似。如果金属电子的

60、等能面是球面，则,21)(212*222*vmvvvmEzyx *1mkEvk 在费米面上积分在费米面上积分2F231vvx vEk Esveksx d4F232 Esveksx d4F232 2FF2F2F2F2FF3234314kvevkve mneF2 F2 nem *mnemkeF23F2F23 312F)3( nk Esveksx d4F232 2FF2F2F2F2FF3234314kvevkve 6.6.2 纯金属的热导率kfvEqd)2(23 xTqdd 温差电场阻止电子由高温区向低温区扩散，最后电子达到温差电场阻止电子由高温区向低温区扩散，最后电子达到稳定分布。稳定分布。电子电