立体几何二面角问题致远书屋

1、立体证明题（2）1.如图，直二面角dabe中，四边形abcd是正方形，ae=eb，f为ce上的点，且bf平面ace（1）求证：ae平面bce；（2）求二面角bace的余弦值2.等腰abc中，ac=bc=，ab=2，e、f分别为ac、bc的中点，将efc沿ef折起，使得c到p，得到四棱锥pabfe，且ap=bp=（1）求证：平面efp平面abfe；（2）求二面角bape的大小3.如图，在四棱锥pabcd中，底面是正方形，侧面pad底面abcd，且pa=pd=ad，若e、f分别为pc、bd的中点（） 求证：ef平面pad；（） 求证：ef平面pdc4.如图：正abc与rtbcd所在平面互相垂直，且

2、bcd=90°，cbd=30°（1）求证：abcd；（2）求二面角dabc的正切值5.如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，pad是等边三角形，四边形abcd是平行四边形，adc=120°，ab=2ad（1）求证：平面pad平面pbd；（2）求二面角apbc的余弦值6.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90°，ac=cb=cc1=2，e是ab中点（）求证：ab1平面a1ce；（）求直线a1c1与平面a1ce所成角的正弦值7.如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，dab为直角，abcd，ad=cd=2ab=2，e，f分别为

3、pc，cd的中点（）证明：ab平面bef；（）若pa=，求二面角ebdc8.如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，pa=ab=ad=2，四边形abcd满足abad，bcad且bc=4，点m为pc中点（1）求证：dm平面pbc；（2）若点e为bc边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角pdeb的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由9.如图，abed是长方形，平面abed平面abc，ab=ac=5，bc=be=6，且m是bc的中点（） 求证：am平面bec；（） 求三棱锥bace的体积；（）若点q是线段ad上的一点，且平面qec平面bec，求线段aq的长10.如图，直角梯形

4、abcd与等腰直角三角形abe所在的平面互相垂直，abcd，abbc，ab=2cd=2bc，eaeb（1）求证：ea平面ebc（2）求二面角cbed的余弦值11.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90°，平面pad底面abcd，o为ad中点，m是棱pc上的点，ad=2bc（1）求证：平面pob平面pad；12.如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1平面abc，abc为等腰直角三角形，bac=90°，且ab=aa1，e、f分别是cc1，bc的中点（1）求证：平面ab1f平面aef；（2）求二面角b1aef的余弦值13.如图，在菱形ab

5、cd中，abc=60°，ac与bd相交于点o，ae平面abcd，cfae，ab=ae=2（ i）求证：bd平面acfe；（ ii）当直线fo与平面bde所成的角为45°时，求二面角befd的余弦角14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱adebcf和一个正四棱锥pabcd组合而成，adaf，ae=ad=2（1）证明：平面pad平面abfe；（2）求正四棱锥pabcd的高h，使得二面角cafp的余弦值是15.如图，已知斜三棱柱abc一a1b1c1，bca=90°，ac=bc=2，a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d，且ba1ac1（）求证：ac1平面a1bc；（

6、）求二面角aa1bc的平面角的余弦值试卷答案1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由已知中直二面角dabe中，四边形abcd是正方形，且bf平面ace，我们可以证得bfae，cbae，进而由线面垂直的判定定理可得ae平面bce（2）连接bd与ac交于g，连接fg，设正方形abcd的边长为2，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得bgf是二面角bace的平面角，解rtbfg即可得到答案【解答】证明：（1）bf平面acebfae二面角dabe为直二面角，且cbab，cb平面abecbaeae平面bce解：（2）连接bd与ac交于g，连接fg，设正方形abcd

7、的边长为2，bgac，bg=，bf垂直于平面ace，由三垂线定理逆定理得fgacbgf是二面角bace的平面角由（1）ae平面bce，得aeeb，ae=eb，be=在rtbce中，ec=，由等面积法求得，则在rtbfg中，故二面角bace的余弦值为2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明取ef中点o，连接op、oc等腰三角形cef中有coef，即opef根据两平面垂直的性质定理，平面pef和平面abfe的交线是ef，且poef，分析得po平面abfe故只需根据题中条件证出po平面abfe，即可利用面面垂直的判定定理证得平面efp平面abf

8、e（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面abp和平面aep的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小【解答】解：（1）证明：在abc中，d为ab中点，o为ef中点由ac=bc=，ab=2e、f分别为ac、bc的中点，ef为中位线，得co=od=1，coef四棱锥pabfe中，poef，2分odab，ad=od=1，ao=，又ap=，op=1，四棱锥pabfe中，有ap2=ao2+op2，即opao，4分又aoef=o，ef、ao平面abfe，op平面abfe，5分又op平面efp，平面efp平面abfe 6分（2）由（1）知od，of，op两两垂直，以o为

9、原点，建立空间直角坐标系（如图）：则a（1，1，0），b（1，1，0），e（0，0），p（0，0，1）7分，设，分别为平面aep、平面abp的一个法向量，则 取x=1，得y=2，z=1 9分同理可得，11分由于=0，所以二面角bape为90° 12分3.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】证明题【分析】对于（），要证ef平面pad，只需证明ef平行于平面pad内的一条直线即可，而e、f分别为pc、bd的中点，所以连接ac，ef为中位线，从而得证；对于（）要证明ef平面pdc，由第一问的结论，efpa，只需证pa平面pdc即可，已知pa=pd=ad，可得papd，只需再证明p

10、acd，而这需要再证明cd平面pad，由于abcd是正方形，面pad底面abcd，由面面垂直的性质可以证明，从而得证【解答】证明：（）连接ac，则f是ac的中点，在cpa中，efpa（3分）且pa平面pad，ef平面pad，ef平面pad（6分）（）因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，又cdad，所以cd平面pad，cdpa（9分）又pa=pd=ad，所以pad是等腰直角三角形，且apd=，即papd（12分）而cdpd=d，pa平面pdc，又efpa，所以ef平面pdc（14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转

11、化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行4.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）利用平面abc平面bcd，平面abc平面bcd=bc，可得dc平面abc，利用线面垂直的性质，可得dcab；（2）过c作ceab于e，连接ed，可证ced是二面角dabc的平面角设cd=a，则bc=，从而ec=bcsin60°=，在rtdec中，可求tandec【解答】（1）证明：dcbc，且平面abc平面bcd，平面abc平面bcd=bc，dc平面abc，又ab平面abc，dcab（2）解：过c作ceab于e，

12、连接ed，abcd，abec，cdec=c，ab平面ecd，又de平面ecd，abed，ced是二面角dabc的平面角，设cd=a，则bc=，abc是正三角形，ec=bcsin60°=，在rtdec中，tandec=5.【考点】mt：二面角的平面角及求法；ly：平面与平面垂直的判定【分析】（1）令ad=1，求出bd=，从而adbd，进而bd平面pad，由此能证明平面pad平面pbd（2）以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，过d作垂直于平面abcd的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角apbc的余弦值【解答】证明：（1）在平行四边形abcd中，令ad=1，则bd=

13、，在abd中，ad2+bd2=ab2，adbd，又平面pad平面abcd，bd平面pad，bd平面pbd，平面pad平面pbd解：（2）由（1）得adbd，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，过d作垂直于平面abcd的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令ad=1，则a（1，0，0），b（0，0），c（1，0），p（，0，），=（1，0），=（），=（1，0，0），设平面pab的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），设平面pbc的法向量=（a，b，c），取b=1，得=（0，1，2），cos=，由图形知二面角apbc的平面角为钝角，二面角apbc的余弦值为6.【考点】直线与平面垂直的

14、判定；直线与平面所成的角【分析】（）由abca1b1c1是直三棱柱，可知cc1ac，cc1bc，acb=90°，acbc建立空间直角坐标系cxyz则a，b1，e，a1，可得，可知，根据，推断出ab1ce，ab1ca1，根据线面垂直的判定定理可知ab1平面a1ce（）由（）知是平面a1ce的法向量，进而利用向量数量积求得直线a1c1与平面a1ce所成角的正弦值【解答】（）证明：abca1b1c1是直三棱柱，cc1ac，cc1bc，又acb=90°，即acbc如图所示，建立空间直角坐标系cxyza（2，0，0），b1（0，2，2），e（1，1，0），a1（2，0，2），又因为，

15、ab1ce，ab1ca1，ab1平面a1ce（）解：由（）知，是平面a1ce的法向量，|cos，|=设直线a1c1与平面a1ce所成的角为，则sin=|cos，|=所以直线a1c1与平面a1ce所成角的正弦值为7.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）只需证明abbfabef即可（）以a为原点，以ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面cdb的法向量为，平面edb的法向量为，设二面角ebdc的大小为，则=，【解答】解：（）证：由已知dfab且dab为直角，故abfd是矩形，从而abbf又pa底面abcd，平面pad平面abcd，abad，故ab

16、平面pad，abpd，在pcd内，e、f分别是pc、cd的中点，efpd，abef由此得ab平面bef（）以a为原点，以ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，则设平面cdb的法向量为，平面edb的法向量为，则 可取设二面角ebdc的大小为，则=，所以，8.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）取pb中点n，连结mn，an由三角形中位线定理可得四边形admn为平行四边形由apad，abad，由线面垂直的判定可得ad平面pab进一步得到anmn再由ap=ab，得anpb，则an平面pbc又andm，得dm平面pbc；（2）以a为原点，方向为x轴的正方向

17、，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设e（2，t，0）（0t4），再求得p，d，b的坐标，得到的坐标，求出平面pde的法向量，再由题意得到平面deb的一个法向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数的值【解答】（1）证明：如图，取pb中点n，连结mn，anm是pc中点，mnbc，mn=bc=2又bcad，ad=2，mnad，mn=ad，四边形admn为平行四边形apad，abad，apab=a，ad平面paban平面pab，adan，则anmnap=ab，anpb，又mnpb=n，an平面pbcandm，dm平面pbc；（2）解：存在符合条件的以a为原点，方向为x轴

18、的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设e（2，t，0）（0t4），p（0，0，2），d（0，2，0），b（2，0，0），则，设平面pde的法向量=（x，y，z），则，令y=2，则z=2，x=t2，取平面pde的一个法向量为=（2t，2，2）又平面deb即为xay平面，故其一个法向量为=（0，0，1），cos=解得t=3或t=1，=3或9.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（）推导出beam，bcam，由此能证明am平面bec（）由vbace=veabc，能求出三棱锥bace的体积（）在平面qec内作qnec，qn交ce于点nq

19、n与am共面，设该平面为a，推导出四边形amnq是平行四方形，由此能求出aq【解答】证明：（）平面abed平面abc，平面abed平面abc=ab，beab，be平面abed，be平面abc，又am平面abc，beam又ab=ac，m是bc的中点，bcam，又bcbe=b，bc平面bec，be平面bec，am平面bec解：（）由（）知，be平面abc，h=be=6在rtabm中，又，（）在平面qec内作qnec，qn交ce于点n平面qec平面bec，平面qec平面becec，qn平面bec，又am平面becqnamqn与am共面，设该平面为a，abed是长方形，aqbe，又q平面bec，be平

20、面bec，aq平面bec，又aq，平面bec=mn，aqmn，又qnam，四边形amnq是平行四方形aq=mnaqbe，aqmn，mnbe，又m是bc的中点，aq=mn=310.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明ea平面ebc；（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】（1）平面abe平面abcd，且abbc，bc平面abeea平面abe，eabc，eaeb，ebbc=b，ea平面ebc（2）取ab中o，连接eo，doeb=ea，eoab平面abe平面abcd，eo平面abcdab=2cd，abcd，abbc，doab，建

21、立如图的空间直角坐标系oxyz如图：设cd=1，则a（0，1，0），b（0，1，0），c（1，1，0），d（1，0，0），e（0，0，1），由（1）得平面ebc的法向量为=（0，1，1），设平面bed的法向量为=（x，y，z），则，即，设x=1，则y=1，z=1，则=（1，1，1），则|cos，|=，故二面角cbed的余弦值是11.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）证明四边形bcdo是平行四边形，得出obad；再证明bo平面pad，从而证明平面pob平面pad；（2）解法一：由，m为pc中点，证明n是ac的中点，mnpa，pa平面bmo解法二：由pa平面bmo，证

22、明n是ac的中点，m是pc的中点，得【解答】解：（1）证明：adbc，o为ad的中点，四边形bcdo为平行四边形，cdbo；又adc=90°，aob=90°，即obad；又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，bo平面pad；又bo平面pob，平面pob平面pad；（2）解法一：，即m为pc中点，以下证明：连结ac，交bo于n，连结mn，adbc，o为ad中点，ad=2bc，n是ac的中点，又点m是棱pc的中点，mnpa，pa平面bmo，mn平面bmo，pa平面bmo解法二：连接ac，交bo于n，连结mn，pa平面bmo，平面bmo平面pac=mn，pam

23、n；又adbc，o为ad中点，ad=2bc，n是ac的中点，m是pc的中点，则12.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定【分析】（1）连结af，由已知条件推导出面abc面bb1c1c，从而afb1f，由勾股定理得b1fef由此能证明平面ab1f平面aef（2）以f为坐标原点，fa，fb分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角b1aef的余弦值【解答】（1）证明：连结af，f是等腰直角三角形abc斜边bc的中点，afbc又三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，面abc面bb1c1c，af面bb1c1c，afb1f设ab=aa1=1，则，ef=，=，b1fef又af

24、ef=f，b1f平面aef而b1f面ab1f，故：平面ab1f平面aef（2）解：以f为坐标原点，fa，fb分别为x，y轴建立直角坐标系如图，设ab=aa1=1，则f（0，0，0），a（），b1（0，1），e（0，）， =（，1）由（1）知，b1f平面aef，取平面aef的法向量：=（0，1）设平面b1ae的法向量为，由，取x=3，得设二面角b1aef的大小为，则cos=|cos|=|=由图可知为锐角，所求二面角b1aef的余弦值为13.【考点】mt：二面角的平面角及求法；lw：直线与平面垂直的判定【分析】（ i）只需证明dbac，bdae，即可得bd平面acfe； （ ii）取ef的中点为m

25、，以o为坐标原点，以oa为x轴，以ob为y轴，以om为z轴，建立空间直角坐标系，则，d（0，0），f（1，0，h），e（1，0，2），则，利用向量法求解【解答】（ i）证明：在菱形abcd中，可得dbac，又因为ae平面abcd，bdae，且aeac=a，bd平面acfe； （ ii）解：取ef的中点为m，以o为坐标原点，以oa为x轴，以ob为y轴，以om为z轴，建立空间直角坐标系，则，d（0，0），f（1，0，h），e（1，0，2），则，设平面bde的法向量，由，可取，|cos|=，h=3，故f（1，0，3），设平面bfe的法向量为，由，可取，设平面dfe的法向量为，由，可取，cos=， 二面角befd的余弦值为14.【考点】mt：二面角的平面角及求法；ly：平面与平面垂直的判定【分析】（）证明：ad平面abfe，即可证明平面pad平面abfe；（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥pabcd的高【解答】（）证明：直三棱柱adebcf中，ab平面ade，所以：abad，又adaf，所以：ad平面abfe，ad平面pad，所以：平面pad平