更新-自动控制原理(胡寿松)第五版第五章-2015

1、第5章第1页第5章第2页 频率特性分析法频率特性分析法 ，又称为频域分析法，又称为频域分析法，是一种是一种图解图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不不需要求解系统的闭环特征根需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：，具有较多的优点。如： 根据系统的根据系统的开环开环频率特性能揭示频率特性能揭示闭环闭环系统系统的动态性的动态性能和稳态性能能和稳态性能, , 得到得到定性和定量定性和定量的结论，可以简单迅速地的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响, ,并提出改进并提

2、出改进系统的方法。系统的方法。 时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化简化控控制系统的制系统的分析分析与设计与设计。 频率特性分析法频率特性分析法的特点的特点第5章第3页具有具有明确的物理意义明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这

3、对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些可以拓展应用到某些非线性系统非线性系统中。中。 本章重点介绍本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率频率特性的基本概念、幅相频率特性特性(奈奎斯特图奈奎斯特图)与对数频率特性与对数频率特性(波特图波特图)的绘制的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。第5章

4、第4页5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性及其绘制幅相频率特性及其绘制 5.3 5.3 对数频率特性及其绘制对数频率特性及其绘制5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的闭环性能利用开环频率特性分析系统的闭环性能5.7 5.7 闭环系统频率特性闭环系统频率特性本章内容本章内容第5章第5页第5章第6页5.1.1 频率响应频率响应控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳

5、态时输一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数相位是输入正弦信号频率的函数。RC RC网络网络ui(t)u0(t)i(t)11G(s)0Ts+=(s)U(s)Ui电路的时间常数电路的时间常数T=RC，单位为，单位为s。 例例5-1：求下述：求下述RC网络在网络在正弦信号输入作用下的稳态输出。正弦信号输入作用下的稳态输出。Ui与与 分别为输入正弦分别为输入正弦信号的振幅与角频率信号的振幅与角频率tUtuiisin)(22sUsUii)(第5章第7页输出的

6、拉氏变换为：输出的拉氏变换为： 对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：）1lim0220tUTtTUtuitsin()arctansin()(输出与输入相位差输出与输入相位差 ： = -arctanT稳态输出与输入幅值比稳态输出与输入幅值比A：二者均与输入频率二者均与输入频率 ，系统，系统本身的结构与参数有关。本身的结构与参数有关。22o11sUTssUsGsUii)()()(tUtuiisin)(2211ATUUio第5章第8页 实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输

7、入信号为正弦信号的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r(t)=sin t 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 Css(t)=Asin(t+ )，如图所示。，如图所示。线性定常线性定常系统系统sin tAsin(t+ )tr（t）Css（t） 线性系统及频率响应示意图线性系统及频率响应示意图A() ()第5章第9页5.1.2 频率特性频率特性1、定义、定义 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率频率在在0的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的范围内连续变化时，系统稳态输出与

8、输入信号的幅值比的幅值比A()与相位差与相位差 ()随输入频率变化而呈现的变化规律随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。为系统的频率特性。A()：幅频特性。：幅频特性。稳态响应不同频率的正弦输入时在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是幅值上是放大放大(A1)还是还是衰减衰减(A1)。 ()：相频特性。：相频特性。稳态响应不同频率的正弦输入稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是时在相位上是超前超前( 0)还是还是滞后滞后( 0)。 频率特性反映系统对不同频率的输入信号的频率特性反映系统对不同频率的输入信号的跟跟踪能力踪能力，在频域内全面描述系统的性能。在频域内全面描述系统的性能。 只

9、与系统的结构、参数有关，是线性定常系只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的统的固有特性固有特性。第5章第10页RC网络的幅频特性和相频特网络的幅频特性和相频特性的表达式分别为：性的表达式分别为：A（）= （）= -arctanT2211+TRC RC网络网络ui(t)u0(t)i(t)11s)(G0Ts+=(s)U(s)Ui1j1jj)j(G0+T=)(U)(UiTj+Tjarctan)(G11)(G22控制系统的控制系统的频率传递函数频率传递函数恰好表示了系统的频率特性，恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。

10、频率传递函数频率传递函数第5章第11页G（j）就是频率特性通用的表示形式，是）就是频率特性通用的表示形式，是的函数。的函数。G（j）= G（j） ejG（j）=A（）ej 指数表示法指数表示法G（j）=A() () 幅角表示法幅角表示法 当当是一个特定的值时，可以在是一个特定的值时，可以在复 平 面 上 用 一 个复 平 面 上 用 一 个 向 量向 量 去 表 示去 表 示G(j)。向量的长度为向量的长度为A()，向向量与正实轴之间的夹角为量与正实轴之间的夹角为 ()，并规定并规定逆时针方向为正逆时针方向为正，即相角，即相角超前超前；规定；规定顺时针方向为负顺时针方向为负，即，即相角相角滞后

11、滞后。2、频率特性的表示方法、频率特性的表示方法第5章第12页 另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即 G（j）=R（）+jI（） R()称为实频特性，称为实频特性，I()称为虚频特性。称为虚频特性。)()()(22IRA)()(arctan)(RI)(cos)()(AR)(sin)()(AIA()与与R()为为的偶函数，的偶函数， ()与与I()是是的奇函数。的奇函数。第5章第13页线性定常系统，传递函数为线性定常系统，传递函数为G（s）G（jj）= = G（s）|s=j= = A( () )ej j RsintA()Rsint+ ()A(

12、()是幅频特性，是幅频特性， 是相频特性是相频特性系统的频率特性可由系统的传递函数系统的频率特性可由系统的传递函数G（s）将）将j代替其中的代替其中的s而得到。而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =+j。当。当=0时，时，s = j。所以。所以G（j）就是）就是=0时的时的G（s）。即当传递函数）。即当传递函数的复变量的复变量s用用j代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。频率特性的解析法。5.1.3由传递函数求取频率特性由传递函数求取频率特性 第5章第14页RC RC网络网络ui(t)u0(

13、t)i(t)G(s)= 110Ts+=(s)U(s)Ui1()1G jj T 00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/T A()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90TTarctan()11)A(22第5章第15页5.1. 4频率特性的物理意义频率特性的物理意义1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率的数值，不是频率特性。当输入信号的频率在在0的范围内的范围内连续变化时，则系统输出与输入信

14、号的幅值比与相位差随输入连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的频率的变化规律变化规律将反映系统的性能，才是频率特性将反映系统的性能，才是频率特性 。2.频率特性反映系统本身性能，频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数取决于系统结构、参数，与外，与外界因素无关。界因素无关。3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等弹簧等储能元件储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。的频率有关。4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一

15、般有频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波低通滤波”与与“相位滞后相位滞后”作用。作用。第5章第16页5.1.5 频率特性的数学意义频率特性的数学意义 频率特性是描述系统固有特性的频率特性是描述系统固有特性的数学模型，数学模型，与微分方与微分方程、传递函数之间可以相互转换。程、传递函数之间可以相互转换。 三种数学模型以不同的数学形式表达系统的三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质运动本质，并从不同的角度揭示出系统的并从不同的角度揭示出系统的内在规律内在规律，是经典控制理，是经典控制理论中论中最常用最常用的数学模型。的数学模型。 微分方程微分方程（以（以t为变量）

16、为变量） 传递函数传递函数（以（以s为变量）为变量） 频率特性频率特性（以（以为变量）为变量） 控制系统数学模型之间的转换关系控制系统数学模型之间的转换关系sdtdjs 第5章第17页1.幅相频率特性曲线（幅相频率特性曲线（奈氏曲线奈氏曲线, 奈氏图奈氏图） 坐标系为极坐标。反映坐标系为极坐标。反映A()与与 ()随随变化的规律。变化的规律。2.对数频率特性曲线对数频率特性曲线(对数坐标图，对数坐标图， 波德图波德图) 坐标系为半对数坐标。反映对数幅频特性曲线坐标系为半对数坐标。反映对数幅频特性曲线L()=20lgA()和对数相频特性曲线和对数相频特性曲线 ()随随变化的规律。变化的规律。3.

17、对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线(尼柯尔斯图或对数幅相图尼柯尔斯图或对数幅相图) 坐标系为对数幅相坐标。反映坐标系为对数幅相坐标。反映L()=20lgA()随随 ()的变化的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。规律，主要用于求取闭环频率特性。 5.1.6常用频率特性曲线常用频率特性曲线 第5章第18页2021年年10月月30日日第5章第19页第5章第20页5.2.1 奈氏图的基本概念奈氏图的基本概念 绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点极点为直为直角坐标的角坐标的原点原点，极坐标轴极坐标轴为直角坐标的为直角坐标的实轴实轴。

18、当当在在0的范围内连续变化时，向量的的范围内连续变化时，向量的幅值幅值A( )与相角与相角 ( )均随之连续变化，不均随之连续变化，不同同下的下的向量的端点在复平面上扫过向量的端点在复平面上扫过的轨迹的轨迹即为该系统的奈氏曲线即为该系统的奈氏曲线G (j 2)Re ( 1) ( 2)A ( 1)A ( 2)G (j 1) 极坐标图的表示方法极坐标图的表示方法 Im 把把作为参变量，标在曲线旁边，并用作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。性的变化规律。G(j)与与G(

19、-j)互为共轭。互为共轭。相应的奈氏图相应的奈氏图曲线曲线G(j)必然与必然与G(-j)对称于实轴对称于实轴。G(j)=A()ej 第5章第21页 当系统或元件的传递函数当系统或元件的传递函数G(s)已知时，可以采用解析的方法已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性的具体步骤：先求取系统的频率特性的具体步骤：1.用用j代替代替s，求出频率特性，求出频率特性G(j)2.求出幅频特性求出幅频特性A()与相频特性与相频特性 ()的表达式，也可求出的表达式，也可求出实频特性实频特性R()与虚频特性与虚频特性I() ，帮助判断，帮助判断G(j)所在的象限。所在的象限。3.在在0的范围内选取不同的的

20、范围内选取不同的，分别计算出分别计算出A()与与 ()的值的值，在坐标图上描出对应的向量在坐标图上描出对应的向量G(j)，将所有将所有G(j)的的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。第5章第22页5.2.2典型环节的奈氏图典型环节的奈氏图 1、比例环节、比例环节 用用j 替换替换s，可求可求得比例环节的频率特性得比例环节的频率特性表达式为表达式为 G(j )=KImRe0K 0 比例环节的幅相频率特性比例环节的幅相频率特性 G(s)=K幅频特性幅频特性A()= | K |= K相频特性相频特性 （）=0比例环节的幅频特性、相频特性均比例环

21、节的幅频特性、相频特性均与频率与频率 无关无关。所以当。所以当 由由0变到变到 ,G(j )始终为实轴上一点始终为实轴上一点。比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；值上有放大或衰减作用； ( )=0,表示表示输出与输入同相位输出与输入同相位，既不超前也不滞后。既不超前也不滞后。第5章第23页2、积分环节、积分环节 ssG1)(频率特性：频率特性：11)(jjjG幅频特性：幅频特性：A( )=|1/ |=1/ ，与角频率与角频率成反比成反比相频特性相频特性： ( )=-90 积分环节的幅相频率特性积分环节的幅相频

22、率特性 0 0ReIm0 ：幅相频率特性：幅相频率特性与负虚轴重合。与负虚轴重合。积分环节是积分环节是低通滤波器低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信，放大低频信号、抑制高频信号，号，输入频率越低，对信号的放大作用越强输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相；并且有相位位滞后滞后作用，输出滞后输入的相位恒为作用，输出滞后输入的相位恒为9090。第5章第24页3、微分环节、微分环节G(s)=s频率特性：频率特性：G(j )=j 幅频特性幅频特性: A( )=| |= ，与与 成正比。成正比。相频特性相频特性 ： ( )=90。在在0 的范围内的范围内, , 奈氏图奈氏图与正虚轴重合。与正虚轴重

23、合。理想微分环节是理想微分环节是高通滤波器高通滤波器，输入频率越高，对信号的输入频率越高，对信号的放大作用越强；放大作用越强；并且有相位超前作用，输出并且有相位超前作用，输出超前超前输入的相输入的相位恒为位恒为9090，说明输出对输入有提前性、预见性作用。，说明输出对输入有提前性、预见性作用。第5章第25页4、惯性环节、惯性环节R( )0，I( ) 0: 惯性环节的奈氏图必在坐标系的惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限第四象限。 位于第四象限的位于第四象限的半圆，圆心为半圆，圆心为(1/2,0),直径为直径为1。 比例系数变为比例系数变为K时时，圆心为圆心为(K/2,0),直径为直径为K。 惯

24、性环节为惯性环节为低通滤波器低通滤波器 ，且，且输出滞后于输入，输出滞后于输入，相位滞后范相位滞后范围为围为 0- 90。 00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/T A()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-9011Ts+=sG)(222211111TTjT+jT=jG)(TT=Aarctan)()(22112222111TT=IT=R)()(第5章第26页5、一阶微分环节、一阶微分环节 实频特性恒为实频特性恒为1，虚频特性与输入频率，虚频特性与输入频率 成正比。成正比。平行于正虚平行于正虚轴

25、向上无穷延伸的直线轴向上无穷延伸的直线G(s)=( s+1)具有具有放大高频信号放大高频信号的作用，的作用，输入频率输入频率 越大，放大倍越大，放大倍数越大；且输出超前于输数越大；且输出超前于输入 ，入 ， 相 位 超 前 范 围 为相 位 超 前 范 围 为090，输出对输入有提，输出对输入有提前性、预见性作用。前性、预见性作用。是控制工程中常用的比例微分控制器（是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控控制器制器），），PD控制器常用于控制器常用于改善改善二阶系统的二阶系统的动态动态性能性能，但存在，但存在放大高频干扰信号放大高频干扰信号的问题。的问题。1+=jjG)()()()(21+=A

26、)()(I=R1 00.5/ 1/ 2/ A()11.121.412.36()028.74565.490第5章第27页6、二阶振荡环节、二阶振荡环节 虚频特性恒虚频特性恒0，奈氏曲线必位于第三与第四象限。，奈氏曲线必位于第三与第四象限。 1 2。与与负虚轴的交点负虚轴的交点频率为频率为 =1/T，幅值为幅值为1/(2 )。 相位滞后：相位滞后：输出滞后于输入的输出滞后于输入的范围为范围为0-180； 的取值对曲线形状的影响较的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况大，可分为以下两种情况 12122Ts+sT=sG)(T+jT=sG21122)(2222222222）2（）1（2j-）2（

27、）1（1T+TTT+TT=22222212-arctan)(;）2（）1（1TTT+T=A)( 01/ A()11/(2)0()0-90-180第5章第28页1) 0.707 幅频特性幅频特性A( )随随 的增大而单调减小，的增大而单调减小，如图中如图中 1所对应曲所对应曲线，环节有低通滤波作用。线，环节有低通滤波作用。 当当 1时，振荡环节有两个相异负实数极点。若时，振荡环节有两个相异负实数极点。若 足够大，足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部

28、为1/(2 )0，奈氏，奈氏图近似于半圆，即图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节振荡环节近似于惯性环节。 22222212-arctan)(;）2（）1（1TTT+T=A)(第5章第29页2) 0 0.707当当 增大时，增大时，幅频特性幅频特性A( )并不是单调减小，而是先增大，并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为这种现象称为谐振谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率谐振频率 r，所所对应的向量长度为对应的向量长度为谐振峰值谐振峰值Mr= A( r) = A( r)/ A

29、(0) 。谐振。谐振表明表明系统对频率系统对频率 r下的正弦信号的放大作用最强。下的正弦信号的放大作用最强。22222212-arctan)(;）2（）1（1TTT+T=A)(第5章第30页2221211nrT2121)(rrAM 随随 的减小的减小,谐振峰值谐振峰值Mr增大增大，谐振频率，谐振频率 r也越也越接近接近振荡环振荡环节的无阻尼自然振荡频率节的无阻尼自然振荡频率 n。 谐振峰值谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越大，表明系统的阻尼比 越小，系统的越小，系统的相对相对稳定性就越差稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量，单位阶跃响应的最大超调量%也越大。也越大。 当当 =0时，时， r

30、 n，Mr ，即振荡环节处于等幅振荡状态。即振荡环节处于等幅振荡状态。 求谐振角频率求谐振角频率 r和谐振峰值和谐振峰值Mr，)()()(rrrAMddAT+T=A0）2（）1（12222第5章第31页7、延迟环节、延迟环节幅频特性幅频特性：A( )=1相频特性：相频特性： ( )=-单位为弧度（单位为弧度（rad）。或者或者 ( )= 3 .5714.3180G(s)=e- sG(j )=e- j故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心, ,半径为半径为1 1的圆。的圆。即延迟环即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且节可以不失真地

31、复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。 = 时，时， ( )=- ，即输出相位滞后输入为无穷大即输出相位滞后输入为无穷大。当。当 从从0 0连续连续变化至变化至 时，奈氏曲线沿原点作半径为时，奈氏曲线沿原点作半径为1 1的无穷次旋转，的无穷次旋转，越大，转动越大，转动速度越大。速度越大。第5章第32页在在低频区低频区，频率特性表达式根据，频率特性表达式根据泰勒公式泰勒公式展开为展开为 njjnjjje)(!1)(! 31)(! 211132当当 很小时很小时，有有 jej11即在低频区，延迟环节的频

32、率即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。从奈氏特性近似于惯性环节。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。区基本重合。第5章第33页5.2.3 开环奈氏图的绘制开环奈氏图的绘制 1.定义定义 系统的频率特性有两种，闭环频率特性系统的频率特性有两种，闭环频率特性(j)与开环频与开环频率特性率特性Gk(j) 。由于系统的。由于系统的开环传递函数开环传递函数较易获取，并与系较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的计系统一般是基于系统的开环频率特性。开环频率特性。

33、122111221221) 12() 1() 12() 1()()(njnlllljmkkkkmiivkTjTTjjjjKjG)(1jGniiniiAA1)()(nii1)()(幅值相乘、相位相加幅值相乘、相位相加第5章第34页2.开环奈氏图开环奈氏图的绘制的绘制(1)低频段的确定低频段的确定( ( 0)0)：起点：起点 vkjKjG)()(vkKGA)()(低频段的低频段的Gk(j):122111221221) 12() 1() 12() 1()()(njnlllljmkkkkmiivkTjTTjjjjKjG ( )=-v90向量相乘是幅值相乘、相位相加向量相乘是幅值相乘、相位相加:niiA

34、A1)()(nii1)()(低频段的幅频：低频段的幅频：低频段的相频：低频段的相频：第5章第35页vkKGA)()(90)(开环系统奈氏图开环系统奈氏图低频段低频段的形状（幅值与相位）均与系统的的形状（幅值与相位）均与系统的型型别别v与与开环增益开环增益K有关。有关。1) 0型系统，型系统，v =0：A (0) =K， (0)=0;低频特性为实轴上的低频特性为实轴上的一点一点(K,0)。2) 型系统型系统，v =1：A (0) =， (0) = -903) 型系统型系统，v =2：A (0) =， (0) = -180 系统的型别系统的型别v每增加每增加1，起点顺时针转，起点顺时针转90度度第

35、5章第36页(2)高频段（高频段（ ）：终点）：终点 不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。与零点。njjmnmiinjjmiinjjmiikTjKjTjjKjTjjKjG111111)()()(lim)()()(lim) 1()() 1(lim)(m为分子多项式的阶数，为分子多项式的阶数， n为分母多项式的阶数为分母多项式的阶数，且一般且一般mn 90)(0)(0lim)(lim)(mnjjKjGmnmnknjjmiiTKK11)()(0)(lim)(AA90)()(lim)(mn高频段终止于坐标原点；而最高频段终

36、止于坐标原点；而最终相位为终相位为 ( )=-(n-m) 90 ， 第5章第37页 (n-m)=1,则则 ( )=-90 ,即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。(n-m)=2,则则 ( )=-180 ,即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。(n-m)=3,则则 ( )=-270 ,即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。0)(lim)(AA90)()(lim)(mn第5章第38页(3)奈氏图与实轴、虚轴的交点奈氏图与实轴、虚轴的交点 将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部将频率特性表达式按照分母有理化的方法分

37、解为实部与虚部。与虚部。1）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0求出求出 ImG(j )=I( )=0求出交点处的求出交点处的 ，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。2）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出求出 ReG(j )=R( )=0求出交点处的求出交点处的 ，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。第5章第39页(1) 分别写出开环系统中各个环节的幅频特性和相频特性。分别写出开环系统中各个环节的幅频特性和相频特性。(2) 写出开环系统的写出开环系统

38、的A()和和()表达式。表达式。(3) 分别求出分别求出=0和和= 的的G(j) H(j) 。(4) 求奈氏图与实轴交点：可用求奈氏图与实轴交点：可用ImG(j) H(j) =0求出。求出。(5) 求奈氏图与虚轴交点：可用求奈氏图与虚轴交点：可用ReG(j) H(j) =0求出。求出。(6) 必要时再画出中间几点。必要时再画出中间几点。(7) 勾画大致曲线（开环概略幅相曲线）勾画大致曲线（开环概略幅相曲线）总结：开环系统总结：开环系统NyquistNyquist图的图的一般作图方法一般作图方法212112211221)2)1() 1()()2)1() 1()()(njjjnjjmiiimiiT

39、jTTjjjjKjHjG第5章第40页)(221)1 . 0(110)1)(1 . 01 (10)(jejjjGarctan1 . 0arctan)(起点：起点：A(0)=10, A(0)=10, (0)=0(0)=0 终点：终点：A(A( )=0, )=0, ( ( )=-90)=-90 -90-90 =-180 与虚轴的交点：与虚轴的交点：sradTT/16.3101.0112187.21.11.010)(2121TTTTKjGInm G(jG(j ) ) ( ( ) )17.07-50.72.53.61-82.0351.75-105.2100.74-129.31000.01-173.7例

40、例1 1：绘制：绘制0 0型开环系统型开环系统的奈氏图的奈氏图第5章第41页mnjTjjKjGniimii,)1 ()1 ()(111 型系统型系统。900时，当900时，0当)()(;)(mnjGjGarctan90)(322221011010)( jjjjjG180000)(时，当9010)0(时，0当jjGjjG G(j ) ( )0.199.6-95.710.517.89-116.5722.24-153.4350.39-168.69100.1-174.29500.004-178.85例2 )(2110)1 (10)(jejjjG已知开环系统的频率特性，试画出奈氏图第5章第42页型系统型

41、系统mnjjjKjGnllmii,)1 ()()1 ()(2121。时，当时，当)(900)(;180)0(0mnjGjG例3)()()()(jejjjG222110110arctan180)(42)1(10)1(1011)1（10)(22222jjjjjG2700)(180)0(0jGjjG时，当时，当 G(j ) ( )0.535.7-206.617.07-22521.12-243.4350.08-258.7100.01-264.3第5章第43页0ImjRe0型3型2型1型43值系统名称奈氏图起点奈氏图终点=00型(K,j0)(1) 分母阶次大于分子阶次：坐标原点处；相位为坐标原点处；相位

42、为-90(n-m)-90(n-m)(2)分母阶次等于分子阶次：坐标实轴上的有限值处=1I型相角为-90的无穷远处=2II型相角为-180的无穷远处奈氏图起点：每增加一个积分环节，相位增加-90第5章第44页下图列出了常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图。下图列出了常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图。 如果系统的开环传递函数如果系统的开环传递函数没有没有开环零点开环零点，则在，则在 由由0增大到增大到 过过程中，频率特性的程中，频率特性的相位单调连续相位单调连续减小减小（滞后连续增加），（滞后连续增加），特性曲特性曲线平滑地变化线平滑地变化。奈氏曲线应该是。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐

43、渐减小，沿从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原顺时针方向连续变化最后终于原点点。 第5章第45页(4)开环零点对曲线的影响开环零点对曲线的影响1）如果系统的开环传递函数）如果系统的开环传递函数没有开环零点没有开环零点，则在，则在 由由0增大增大到到 过程中，频率特性的过程中，频率特性的相位单调连续减小相位单调连续减小（滞后连续增（滞后连续增加），加），特性曲线平滑地变化特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原顺时针方向连续变化最后终于原点点。 2）如果系统的开环传递函数）如果系统的

44、开环传递函数有开环零点有开环零点，则在，则在 由由0增大到增大到 过程中，特性的过程中，特性的相位不再是连续减小相位不再是连续减小。视开环零点的时。视开环零点的时间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可能在某一频间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时，段范围内呈增加趋势，此时，特性曲线出现凹部特性曲线出现凹部。 第5章第46页若该系统若该系统增加一个开环零点增加一个开环零点，开环频率特性表达式为开环频率特性表达式为) 1()() 1()(122TjjTjKjG此系统仍为此系统仍为型系统，当型系统，当 0时，幅值趋于无穷大时，幅值趋于无穷大,而而相角位移为相角位移

45、为-180 ，即奈氏图，即奈氏图的的起点基本未变起点基本未变。在在 时，时，A( )=0， ( )= -(n-m) 90 = -2 90 = -180 ，奈氏图沿负实，奈氏图沿负实轴终止于原点轴终止于原点。 由于增加了开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高由于增加了开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段连续变化时，频段连续变化时，相位先滞后相位先滞后增加，增加，达到达到一个滞后一个滞后最大最大值值后，相位滞后后，相位滞后又开始减小又开始减小（即相位增加），整条曲线即相位增加），整条曲线出现了出现了凹凸凹凸。12( )180arctanarctanTT 21TT第5章第47页12( )180arct

46、anarctanTT 第5章第48页 根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。奈氏图。 在在 的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。系统的开环传递函数的结构与参数。 奈氏图的用途：判断系统稳定性奈氏图的用途：判断系统稳定性作业：p.237 5-6p.238 5-8, 5-9第5章第49页2021年年10月月30日日第5章第50页5.3 对数频率特性及其绘制对数频率特性及其

47、绘制第5章第51页5.3.1 对数频率特性曲线（对数频率特性曲线（Bode图）基本概念图）基本概念坐标系为坐标系为半对数坐标半对数坐标。反映对数幅频特性曲线。反映对数幅频特性曲线L()=20lgA()和对数相频特性曲线和对数相频特性曲线 ()随随变化的规律。变化的规律。1. Bode 图的坐标系图的坐标系横坐标：对横坐标：对 取以取以10为底的对数为底的对数lg 进行分度。进行分度。十倍频程（十倍频程（decade，dec）：）： 每变化十倍每变化十倍, 1g就增加就增加一个单位长度。一个单位长度。标注标注的真值的真值,以方便读数。以方便读数。横坐标对于横坐标对于是不均匀的是不均匀的，但对，但

48、对1g却是均匀的却是均匀的线性分度。由于线性分度。由于0频频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。 1与与2的距离不是的距离不是2-1，而是，而是lg2-lg1第5章第52页对数幅频特性纵坐标：对数幅频特性纵坐标：(dB) ，用，用L( )=20 lgA()表示。表示。对数相频特性图对数相频特性图纵坐标：对相角进行线性分度，单位为度纵坐标：对相角进行线性分度，单位为度（o） ,仍用仍用 ( )表示。表示。2. 伯德（伯德（ Bode ）图的构成）图的构成 G(j )=G1(j )G2(j )Gn(j )= A( )ej (

49、) A( )=A1( )A2( )An( )； ( ) = 1( ) + 2( ) + + n( ) L( ) =20 lgA( ) = 20lgA1( ) + 20lgA2( ) + + 20lgAn( ) = L1( )+L2( )+Ln( ) 第5章第53页3Bode图法的特点图法的特点 （1）横坐标按频率）横坐标按频率 取对数分度，取对数分度，低频部分展宽低频部分展宽，而，而高频部分缩小高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。的频率分辨要求吻合。 （2）幅频特性取分贝数（）幅频特性取分贝数（20Lg|GH|）后，使各因子）

50、后，使各因子间的间的乘除运算乘除运算变为变为加减运算加减运算，在，在Bode图上则变为各因图上则变为各因子子幅频特性曲线的叠加幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。设计和分析变得容易。（3）可采用由）可采用由直线段构成的渐近特性直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代（或稍加修正）代替精确替精确Bode图，使绘图十分简便。图，使绘图十分简便。 （4）在控制系统的设计和调试中）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数开环放大系数K是最是最常变化的参数。而常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特

51、性曲线作上下平移。只会使幅频特性曲线作上下平移。 第5章第54页5.3.2 典型环节的伯德图典型环节的伯德图 1. 比例环节（比例环节（K） 20lg0LKdB LdB1K1K00o0 比例环节可以完全、比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输真实地复现任何频率的输入信号，入信号，幅值上有放大或幅值上有放大或衰减作用衰减作用； ( )=0 0, ,表示输出与表示输出与输入同相位，输入同相位，既不超前也既不超前也不滞后。不滞后。第5章第55页2. 积分环节积分环节(1/s) ojjL901lg201lg20402000.010.1110decdB20csrad a20dBsrad100.010.

52、11o0o90 b 频率每增加频率每增加10倍，倍，幅频特性下降幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线的斜线,并且并且在在 =1这一点这一点穿过穿过0dB线。线。积分环节是积分环节是低通滤波器低通滤波器，放大，放大低频信号、抑制高频信号，输入低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出强；并且有相位滞后作用，输出滞后滞后输入的相位恒为输入的相位恒为9090。第5章第56页3. 微分环节（微分环节（s） 20lg20lg90oLjj dB0decdB

53、201 dBLo90 a bo0 微分环节的对数幅频特性是微分环节的对数幅频特性是一条斜一条斜+20dB/dec的斜线的斜线,并并且在且在 =1这一点这一点穿过穿过0dB线。线。理想微分环节是理想微分环节是高通滤波高通滤波器器，输入频率越高，对信号，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入位超前作用，输出超前输入的的相位恒为相位恒为90，说明输出对，说明输出对输入有提前性、预见性作用。输入有提前性、预见性作用。积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以较，只相差正负号，二者以 轴为

54、基准，互为镜轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以象；同理，二者的相频特性互以 轴为轴为镜象镜象。第5章第57页4.惯性环节惯性环节 11Ts(1)对数幅频特性对数幅频特性 1) 低频段：低频段：T 1(或或 1(或或 1/T) 3）转折点：）转折点：低频与高频渐近线的交点。低频与高频渐近线的交点。 转折频率转折频率 T： T =1/T。 绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。lg20lg20lg201)(lg20)(2TTTL高频渐近线高频渐近线：斜率为斜率为-20dB/dec的直线的直线，第5章第59页（2）对数相频特性）对数相频特性

55、 ( ) = -arctan (T)；对数相频特性曲线将对应于对数相频特性曲线将对应于=1/T及及 ( )=-45这一点斜对称。这一点斜对称。在整个频率范围内，在整个频率范围内， ( )呈滞后持续增加的趋势，极限为呈滞后持续增加的趋势，极限为-90 。第5章第60页 当惯性环节的时间当惯性环节的时间常数常数T 改变时，其转折改变时，其转折频率频率1/T 将在将在Bode图的图的横轴上向左或向右移动。横轴上向左或向右移动。与此同时，与此同时，对数幅频特对数幅频特性及对数相频特性曲线性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持动，但它们的形状保持不变。不变。11

56、Ts第5章第61页5一阶微分环节（一阶微分环节（ s1） (1) 低频渐近线：低频渐近线：1(或或 1(或或 1/ )；斜率为斜率为20dB/dec的斜线的斜线。(3) 转折频率转折频率: T=1/ 。arctan)()lg(lglg)(2222110120120Lj1)对数幅频特性对数幅频特性 第5章第62页一阶微分环节一阶微分环节的的bode图图与与惯性环节惯性环节互以横轴为互以横轴为镜像镜像。一阶微分环节具有一阶微分环节具有放大高频信放大高频信号号的作用；输出超前于输入，的作用；输出超前于输入，090，输出对输入有提前，输出对输入有提前性、预见性作用。性、预见性作用。一阶微分环节（一阶微

57、分环节（PD控制器控制器）：）：改善二阶系统的动态性能，但改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。存在放大高频干扰信号的问题。2)相频特性相频特性 arctan)(3)特点特点 第5章第63页 6二阶振荡环节二阶振荡环节 22121T sTs（1）对数幅频特性）对数幅频特性 1)低频段：低频段：T 1 (或或 1(或或 1/T)时时,并考虑到（并考虑到（0 1），有），有L( ) -20lg(T )2= -40lg(T )=-40lgT-40lg dB这说明这说明高频段是一条斜率为高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线。的斜线。3) T=1/T为转折频率，也为转折频率，也就是

58、环节的就是环节的无阻尼自然振荡无阻尼自然振荡频率频率 n。222222212012120L)()(lg)(lg)(TTTjjT第5章第64页 0.4时，渐近线需要加时，渐近线需要加尖峰修正。尖峰修正。 随随 的减小的减小,谐振峰值谐振峰值Mr增大，增大，系统的相对稳定系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响性就越差，单位阶跃响应的最大超调量应的最大超调量%也越也越大。谐振频率大。谐振频率 r也越接也越接近近 n。 当当 =0时，时， r n，Mr ，即振荡环节处于等幅振即振荡环节处于等幅振荡状态。荡状态。 222222212012120L)()(lg)(lg)(TTTjjT高频渐近线高频渐近线:-4

59、0dB/dec低频渐近线低频渐近线:0dB2121)(rrAM2221211nrT第5章第65页（2）相频特性）相频特性 2212arctan)(TT当当=0时，时， ( )=0=1/T时，时， ( )=-90时，时， ( ) -180 振荡环节具有振荡环节具有相位滞后的作用，相位滞后的作用，输出滞后于输入输出滞后于输入的 范 围 为的 范 围 为 0 -180；同时；同时 的取的取值对曲线形状的值对曲线形状的影响较大。影响较大。振荡环节的对数相频特性曲线将对应振荡环节的对数相频特性曲线将对应于于=1/T及及 ( ) =-90这一点斜对称。这一点斜对称。第5章第66页7延迟（滞后）环节（延迟（

60、滞后）环节（e-Ts） 20lg10j TLeT 180( )57.33.14TT lg()57.3 10( )T ( )是呈指数规律下降是呈指数规律下降的曲线，随的曲线，随增加而滞增加而滞后无限增加，后无限增加，第5章第67页控制系统的开环频率特性为：控制系统的开环频率特性为：1221122111l22j1k221i11221221121121121121njnlllmkkkmivnjnlllljmkkkkmiivkjjjjjKTjTTjjjjKjG)()()()()()()()()()()(5.3.3 开环伯德图的绘制开环伯德图的绘制 顺序斜率叠加法顺序斜率叠加法 在绘制系统在绘制系统Bo