3定积分的简单应用

1、3定积分的简单应用定积分的简单应用定积分的简单应用3定积分的简单应用定积分的几何意义定积分的几何意义（1 1）当）当f(x) 0f(x) 0时，时， 表示的是表示的是y=f(x)y=f(x)与与x=a, x=bx=a, x=b和和x x轴所围曲边梯形的面积。轴所围曲边梯形的面积。（2 2）当）当f(x) f(x) 0 0时，时，y=f(x)y=f(x)与与x=a, y=bx=a, y=b和和x x轴轴所围曲边梯形的面积为所围曲边梯形的面积为( )baf x dx|( )|( )bbaaf x dxf x dx （一）复习回顾（一）复习回顾3定积分的简单应用-1-1yxo例例1.求如图所示阴影部

2、分图形的面积。求如图所示阴影部分图形的面积。分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；一部分是一部分是x轴上方的图形的面轴上方的图形的面积（记为积（记为s1）;另一部分是另一部分是x轴下方图形的面轴下方图形的面积（记为积（记为s2）.根据图像的性质：根据图像的性质： s1 =s2.所以，所求阴影部分的面积是所以，所求阴影部分的面积是4.10sincos|(coscos0)2.0sxdxx （二）例题分析（二）例题分析3定积分的简单应用542o思考：思考：求如下图形中阴影部分面积54242sin(sin)2sxdxxdx 3定积分的简单应用例例2.求抛物

3、线求抛物线y=x 与直线与直线y=2x所围成平面图所围成平面图形的面积。形的面积。2o2x4y求出曲线求出曲线y= 与直线与直线y=2x的交点为（的交点为（0，0）和（）和（2，4）。）。2x设所求图形的面积为设所求图形的面积为s，根据图像可以看，根据图像可以看出出s等于直线等于直线y=2x，x=2以及以及x轴所围成轴所围成平面图形的面积（设为平面图形的面积（设为s1）减去抛物线）减去抛物线y= ，直线，直线x=2以及以及x轴所围成的图形轴所围成的图形的面积（设为的面积（设为s2）。）。2x解解 :画出抛物线画出抛物线y= 与直线与直线y=2x所围成的平面图形，所围成的平面图形，如图所示。如图

4、所示。2x3定积分的简单应用22333202118|(20 )0333sx dxx1284433sss22221022|2040sxdxx3定积分的简单应用思考：思考： 求曲线求曲线y= 与直线与直线x+y=2围成的图形的面积。围成的图形的面积。小结：小结： 求平面图形的面积的一般步骤求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形；）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限；）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数；）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式；）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。）用微积分基本定理计算定积分，求出

5、结果。2x3定积分的简单应用抽象概括：抽象概括：一般地，设由曲线一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线以及直线x=a，y=b所围成所围成的平面图形（如图的平面图形（如图1）的面积）的面积s，则，则()().bbaasfx dxg x dxyxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s图1图2图3想一想：想一想：上图中（上图中（2）、（）、（3）满足上面的公式吗？）满足上面的公式吗？3定积分的简单应用例例3.求曲线求曲线x= 和直线和直线y=x-2所围成的图形所围成的图形的面积。的面积。2yx=1s1s2yox4212-2

6、-11y=x-2x=2y解：阴影部分面积解：阴影部分面积s=s1+s2.s1由y= ，y= - ，x=1围成： xxs2由y= ，y= x-2 ，x=1围成： x3定积分的简单应用110(),sxx dx 421(2),sxxdx14012(2).sxdxxxdx 923定积分的简单应用（三）练习（三）练习1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图形的面积。3.求曲线y=sinx(x )和y=cosx(x )围成的平面图形的面积。344，344，3定积分的简单应用解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:(0,0),

7、( 2,4),(3,9). 236xyxxy32012)6(xadxxx23320(6 )xaxx dx2xy xxy63 3定积分的简单应用于是所求面积于是所求面积21aaa dxxxxa)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式2xy xxy63 1a2a3定积分的简单应用(2)变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 例例4：如果：如果1n能拉长弹簧能拉长弹簧1cm,为了将弹簧为了将弹簧拉长拉长6cm,需做功（需做功（ ）a. 0.18j b. 0.26j c. 0.12j d. 0.28j所以做功就是求定积分所以做功就是求定积分0 060100 xdx0 18.kxf 则由题可得则由题可得k100。 略解：略解：设a 说明：物体在变力说明：物体在变力f(x)的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与f(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x= b点，点，则变力则变力f(x) 所做的功为所做的功为: badxxfw)( 3定积分的简单应用（四）总结（四）总结（1）利用定积分求所围平面图形的面积，）利用定积分求所围平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。分上、下限。（