2021-2021学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中数学试题

1、2021-2021 学年浙江省杭州市其次中学高二上学期期中数学试题一、单项题1过点（ 1， 3）且垂直于直线x 2y+3=0 的直线方程为（）A 2x+y1=0B x 2y5=0 |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | * | C x 2y+7=0D 2x+y+5=0【答案】 D【解析】 设所求直线为m ，依据垂直关系，得到直线m 的斜率，由点斜式写出直线方程，得到答案.【详解】 * | |欢欢.|迎迎.|下下.设直线 l 为 x 2 y30 ，所求直线为m |载载. 由于两直线垂直，所以斜率乘积为1，故直线 m 的斜率为2 ，所以直线 m 的

2、方程为y32 x1 ，整理得： 2 xy50 ，应选： D.【点睛】此题考查两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于简洁题.2设 m,是两个不同的平面，就“”是“m / /”的（）A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D 既不充分又不必要条件【答案】 D【解析】 由面面垂直与线面平行的位置关系结合充分必要条件的定义进行判定【详解】由推不出m / /，反之由m / /也推不出，应当是既不充分又不必要的条 件 应选： D.【点睛】此题考查充分必要条件的判定，依据充分必要条件的定义判定相应命题的真假即可第第 11 页页，共共 1188 页页3空间直角坐标系中，点A1,2,3关于 xO

3、y 平面的对称点为点B ，关于原点的对称点为点 C ，就 B,C 间的距离为 A 5B14C 25D 214【答案】 C【解析】【详解】分析：求出点A1,2,3关于 xOy 平面的对称点B ，关于原点的对称点C ，直接利用空 |精精.|品品.间中两点间的距离公式，即可求解结果.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.详解：在空间直角坐标系中，点A1,2,3 关于 xOy 平面的对称点B 1,2,3 ，|资资.|料料. * | * | 关于原点的对称点C 1,2,3 ，222 * | * | 就 B, C 间的距离为11223325 ，应选 C.|欢欢.|迎迎.|下下.|载载. 点睛：此题主要考

4、查了空间直角坐标系中点的表示，以及空间中两点间的距离的运算，着重考查了推理与运算才能，属于基础题.4如x, y 满意xy10xy10，就 2 xy 的最大值为（）x3y30A 8B 9C 2D 1【答案】 A【解析】 作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域， 如图ABC 内部（含边界），作直线l : 2 xy0 ，向上平移直线l ，2 xy增大，当直线l 过点B3, 2 时， 2xy8 为最大值应选： A.【点睛】第第 22 页页，共共 1188 页页此题考查简洁的线性规划，作出可行域是解题关键5以下说法的正确选项A 经过定点的直线的方程都可以表示为yy0k

5、xx0B 经过定点A 0，b的直线的方程都可以表示为ykxbC 不经过原点的直线的方程都可以表示为D 经过任意两个不同的点P1x1，y1、P2x2， y2的直线的方程都可以表示为 |精精.|品品.|可可.yy1x2x1xx1y2y1|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | * | 【答案】 D【解析】 考虑斜率不存在和平行于x 轴的直线，利用排除法；【详解】 * | |欢欢.|迎迎.|下下.经过定点的直线的方程都可以表示为yy0kxx0但斜率不存在时，|载载. 无法表示，故A 错，同理 B 错；斜率不存在和平行于x 轴的直线也无法表示，故C 错；所以 D 正确；应选D；

6、【点睛】此题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，肯定要留意斜率不存在的情形；6已知m, n 为两条不同的直线，,为两个不同的平面，就以下命题中正确选项A 如 lm ， ln ，且 m, n，就 lB 如平面内有不共线的三点到平面的距离相等，就C 如 m,mn，就 n PD 如m Pn, n，就 m【答案】 D【解析】 试题分析：依据题意，由于A 如 lm, ln,且 m, n,就 l，只有 m,n 相交时成立，故错误(B) 如平面内有不共线的三点到平面的距离相等，就/ /可能是斜交，故错误(C) 如 m, mn，就n / /，可能在平面内，错误(D) 如 m / / n, n，就 m，就

7、另一条也垂直，故成立，因此选D.【考点】 空间中点线面的位置关系的运用第第 33 页页，共共 1188 页页点评：主要是考查了空间中点线面的位置关系的运用，属于基础题7如圆 x2y24x4 y100 上至少有三个不同的点到直线l : axby0 的距离为 22 ,就直线 l 的斜率的取值范畴是（）A 23, 23B 23,23C 23, 23D 23, 23 |精精.|品品.|可可.|编编.【答案】 B【解析】 求出圆心2,2与半径 32 ，就圆上至少有三个不同点到直线l 的距离为|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | 22 ，转化为圆心到直线l 的距离 d【详解】222 ；

8、从而求直线l 的斜率的取值范畴22 * | * | |欢欢.依据题意，圆xy4 x4 y100 的标准方程为x2y218，其圆|迎迎.|下下.|载载. 心为2,2，半径 r32 ，如圆 x2y24 x4 y100 上至少有三个不同的点到直线l : axby0 的距离为22 ，就圆心2,2到直线 l 的距离 d32222 ，设直线l : axby0 的斜率为 k ，就 k ab，直线 l 的方程为kx -y = 0 ，就有| 22k |1k 2 2 ，解得：23k23 ，即 k 的取值范畴是23,23应选：B.【点睛】此题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及直线

9、倾斜角与斜率的关系等学问，属于中档题x08设 x， y 满意约束条件yx，就 x2 y4 取值范畴是（）4x3y12x2A 1,5B2,6C 3,10D 3,11【答案】 B第第 44 页页，共共 1188 页页x2 y4【解析】 作出可行域，12 y1y，其中1 表示 P x,y 与 Q2,1x2x2x2连线斜率，利用此几何意义可求解【详解】作出可行域，如图OAB 内部（含边界） ， x2 y412 y1y1，其中表示P x, y与 Q2,1 连线斜率，B0,4x， kOQ2x， k11QB222x2145 ，202 1y2x15 ， 21222 y16 ，x2 |精精.|品品.|可可.|编

10、编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | * | * | |欢欢.|迎迎.|下下.|载载. 应选： B.【点睛】此题考查简洁的非线性目标函数的线性规划问题，作出可行域是解题基础懂得目标函数的几何意义是解题关键9已知棱长为2 的正四周体ABCD ，点 E 为 BC 上肯定点，BE2 BC ，点 P 为3棱 AB 上的动点，设EP 与平面 BCD 所成的角为，就 cos的最小值是（）A 77B2C 133D 233【答案】 A【解析】 设 O 是BCD 的中心， 过 P 作 PH / AO 交 OB 于 H ，就PEH 为直线 EP与平面 BCD 所成的角，设出BP ，就可求得

11、此角的余弦【详解】如图， O 是BCD 的中心，连接AO,CO , BO ，过 P 作 PH/ AO 交 OB 于 H ，连接第第 55 页页，共共 1188 页页HE ， AO平面 BCD ， PH平面 BCD ， PEH 为直线 EP 与平面 BCD 所成的角，BP设x ， 0BAx1，就BHPHBPBOAOBAx ，正四周体ABCD 棱长为 2，就BO23 ， BH323 x ， BP32x， BE4 ，3在PBE 中，22224 24128 x16PEBPBE2 BPBE cos602 x22 x4 x|精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | *

12、 ，在BEH 中，EBH30，33239 | 2222324 22343 * | HEBHBE2 BHBEcos30x2x * | |欢欢.|迎迎.|下下.4281633332|载载. xx，3394281682HE 22xxx33913，PE4x28 x164x28 x16x0 时，3939HE 2PE 21 ，0x1 时，HE 2PE 219 x26 x216 x461 21611327 ，42469xxx44 11 ， 1 xx1 时，HE 2PE 2取得最小值1 即7HE 的最小值是7 PE7又 cosHE PE， cos的最小值是7 7应选： A.第第 66 页页，共共 1188 页

13、页 |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * 【点睛】此题考查直线与平面所成的角，作出直线与平面所成的角是解题关键解题中仍要留意点 P 是棱 AB 上的点，不是直线AB 上的点，否就易得错误结论 | * | * | |欢欢.10设点Px, y2是圆 C : x2y2x2 y10上任意一点，如|迎迎.|下下.|载载. 2xy12 xya 为定值，就a 的值可能为（）A 3B4C5D 6【答案】D【解析】如2xy12 xya为定值， 就2xya0 ，由直线2 xya0与圆相切结合图象可得a 的范畴，从而得出正确选项【详解】圆 C 标准方程为x12 y12

14、1 ，圆心为C 1,1，半径为 r1 ，直线 l: 2 xya0 与圆相切时，21a51 ， a35 ，当 a35 时，圆 C 在直线 l 上方， 2 xya0 ，当 a35 时，圆 C 在直线 l 下方， 2 xya0 ，如2xy1 2 xya 为定值，就2xya0 ，因此 a35 只有 D 满足应选： D.第第 77 页页，共共 1188 页页 |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | * | 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查一元二次不等式表示的平面区域，利用数形结合法易得解二、填空题 * | |欢欢.|迎迎.|下下.|载载. 11设

15、点 p 为 y 轴上一点，并且点P 到直线 3x4 y为 .【答案】0,6或0,9【解析】 设 P 点坐标，由点到直线距离公式求解【详解】60 的距离为6，就点 P 的坐标4a6设 P0, a，就22346 ，解得a6或 9.所以 P 点坐标为 0,6 或 0,9 故答案为：0,6 或 0,9 【点睛】此题考查点到直线的距离公式，把握点到直线距离公式是解题关键212如 P 是圆 C :x32y31 上任一点，就点P 到直线ykx1 距离的最大值为 .【答案】 6【解析】 求出圆心到直线距离的最大值即可得结论【详解】直线 ykx1 过定点A0,1 ，圆心C 3,3 到直线ykx1 的距离最大时，

16、CA 与直线 l 垂直，最大距离就是CA3023125 ，第第 88 页页，共共 1188 页页所以圆上的点到直线ykx1 距离的最大值为5+1=6.故答案为： 6.【点睛】此题考查圆上的点到直线距离的最大值，由圆的性质知此最大值就是圆心到直线的距离的最大值加上半径13设 P 是 60 的二面角l内一点，PA, PB, A, B 分别为垂足，PA2, PB4 ,就 AB 的长为 .|精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * 【答案】 27【解析】 由题意， PA2, PB4,APB120o ， | * | * | 由余弦定理可知，AB2416224cos120

17、o28 ，所以 AB27 * | |欢欢.|迎迎.|下下.|载载.点睛：此题考查空间几何体由二面角的定义而知，过A, B 作公共边 l 的垂线，交于 Oo点，就AOB 就是二面角l的平面角 60 ，由四边形内角和360，得到PA2, PB4,APB120o ，利用余弦定懂得得答案14如图，已知圆锥的高是底面半径的2 倍，侧面积为，如正方形ABCD 内接于底面圆 O ，就四棱锥PABCD 侧面积为 【答案】65 .5【解析】 分析：设圆锥底面半径为r ，就高为 2 r ，母线长为5r ，由圆锥侧面积为，可得r 255，结合 a2r ，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为r ，就高为

18、 h2r ，母线长为5r ，由于圆锥侧面积为，r5r， r 25 ，5第第 99 页页，共共 1188 页页设正方形边长为a ，就2a24 r 2 , a2r ，正四棱锥的斜高为h 2a32r ，242正四棱锥的侧面积为41a32 r6r 265 ，225故答案为65 .5 |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * 点睛：此题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积， 属于中档题， 解答此题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系 . | 15已知直线l1 : yx1 上有两个点A x1 , y1 和B x2 , y

19、2 , 且 x, x 为一元二次 * | * | * | |欢欢.|迎迎.|下下.方程 x26 x10 的两个根 , 就过点A, B且和直线 l2 : x121 相切的圆的方程为|载载. .2222【答案】（ x3） y216 或 （ x11） y6144【解析】 由题意可知，x1x26 ， y1y24 ，所以 AB 中点坐标为（3，2），圆心在直线 AB 的中垂线上， 故过圆心满意直线yx5 ，设圆心的坐标为（a，5a），由圆与直线l2 : x1 相切故 ra1，由弦长公式可得AB1k2x1x28 ，圆心到直线 AB 的距离为2 a62，由勾股定理可知r2d 21 AB 22a122 a32

20、16 解得：当 a3 时， r4 ；当 a11 时，r11 得解；【详解】l1 : yx1 上有两个点A x1, y1和 B x2 , y2, x1 , x2 为一元二次方程x26 x10的两个根，故x1x26 ，那么 y1y24 ，所以 AB 中点坐标为（3，2），由于圆心在直线 AB 的中垂线上， 故过圆心的直线为yx5 ，设圆心的坐标为（a，5a），由圆与直线l2 : x1 相切故 ra1，由弦长公式可得AB1k2x1x28 ，圆心到直线 AB 的距离为2 a62，由于圆的半径、半弦长、圆心到直线AB 的距离构成直角第第 1100 页页，共共 1188 页页221222三角形，由勾股定理

21、可知rdAB2a12a316解得：当 a3时， r4 ；当 a11时， r11 ，所以圆的方程为 x3）22y216 或（ x11）22y6144 ；【点睛】利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为AB2r 2d2 ；xy0|精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.16设命题 P ：实数x, y满意：x2 yx22 ，命题q ：实数x, y 满意x1 2y2m ，|料料. * | * | 如 p 是 q的必要不充分条件，就正实数m 的取值范畴是 .1 * | * | 【答案】0,2|欢欢.|迎迎.|下下.|载载.【解析】 命题

22、 p 中点 x, y组成集合 M ，命题 q中点 x, y组成集合 N ，题意说明N ü M，由集合的包含关系可得【详解】xy0作出不等式组xx2 y22 表示的平面区域，如图ABC 内部（含边界） ，不等式x12y2m 表示的平面区域是以Q 1,0 为圆心m 为半径的圆及内部，如图，如 p 是 q的必要不充分条件，就圆C 在ABC 内部，圆心C 到直线 yx 的距离为d102 ，所以 0m2 ，即 0m1 2故答案为：2220, 1 2第第 1111 页页，共共 1188 页页【点睛】此题考查必要不充分条件的应用，考查不等式组表示的平面区域解题方法是数形结合思想法17如图为一几何体

23、的三视图，就其外接球的体积为 . |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | 【答案】403027 * | * | * | |欢欢.|迎迎.|下下.|载载. 【解析】 由三视图仍原几何体，得出线面位置关系，然后找出外接球球心，求得半径，由体积公式运算体积【详解】由三视图知该几何体是三棱锥ABCD ， AD底面 BCD ， ADDC2 ，底面BCD 中作 BMCD 交 CD 延长线于 M ，就 DM13, BM， DB1 ， 22BDM60 ，从而BDC120 ，22221BCCDBD2CDBD cos120212217 ，2设 G 是BCD 的外心，就2G

24、DsinBCBDC7sin120， GD 121 ，3过 G 作 GO平面 BCD ，就OG / / AD ，只要取OGAD ，就 O 为 ABCD 外2接球球心OADG 2 AD 27130 ，2334343034030VOA33327故答案为：403027第第 1122 页页，共共 1188 页页 |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | * | 【点睛】此题考查球的体积，解题关键是由三视图仍原原几何体，得出三棱锥中的线面间的位置关系；三棱锥外接球球心在过它的各面外心且与此面垂直的直线上三、解答题 * | |欢欢.|迎迎.|下下.18设命题p

25、 ：实数 x 满意 x24 ax3a20 ，命题q：实数 x 满意 x31.|载载. （ 1）如 a1 ，如 p, q 同为真命题，求实数x 的取值范畴 .（ 2）如 a0 且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范畴 .4【答案】（ 1）2,3 ；（ 2），23【解析】（ 1）求出命题p, q 为真时变量x 的取值范畴，然后求交集即可；（ 2）同样求出命题p, q 为真时变量x 的取值集合，由充分不必要条件得出集合的包含关系，从而得参数取值范畴【详解】命题 p ：实数 x 满意 x24ax3a 20 ，命题 q：实数 x 满意 x31.（ 1）如 a1 ，命题 p ：实数 x 满意x2

26、4 x30 ，解得 1x3 .命题 q：实数 x 满意 x31，解得 2x4 .如 p, q 同为真命题，就12x3，解得 2x3 .x4 实数 x 的取值范畴2,3 .（ 2）命题 p ：实数 x 满意 x24ax3a 20 ，化为：xax3a0 ， a0 ， ax3a .第第 1133 页页，共共 1188 页页如 a0 ，且p 是q 的充分比必要条件，就q是 p 的充分比必要条件，a2，4解得：3a2 .43a实数 a 的取值范畴是4 ，2.3【点睛】 |精精.|品品.此题考查由复合命题真假及充分必要条件求参数范畴解题关键把问题转化为集合间的包含关系|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习

27、.19已知圆 P 过点 M0,2， 3,1 ，且圆心P 在直线l : xy0 上.|资资.|料料. * | （ 1）求圆 P 的方程 . * | * | * （ 2）过点 Q1,2的直线交圆P 于A, B 两点，当AB23 时，求直线AB 方程 . | |欢欢.|迎迎.|下下.|载载. 【答案】（ 1）x2y 24 ；（ 2） x1 和 3x4 y50【解析】（ 1）可设P a, a，由 rPMPN 可得参数 a ，及半径，得圆方程；（ 2）利用半弦长，弦心距，半径构成的直角三角形可得弦心距为1，斜率存在时设直线方程，再由点到直线距离公式求得斜率，斜率不存在的直线检验是否满意题意【详解】（ 1

28、） 圆心 P 在直线 xy0 上， 可设Pa, a，利用 rPMPN 可得，a2a2 2a3 2a12 ，解得 a0 ， 圆心 P0,0，半径 r = 2，故圆 r =2 的方程为：x2y 24 ；（ 2） AB23 ， 半弦长为3 ，利用半弦长，弦心距，半径构成的直角三角形可得，弦心距为1，故直线x1 满意题意，设另始终线方程为y2kx1 ，即kxyk20 ，由k21 解得 kk213， 所求方程为y243x14，即 3x4 y50 .故所求直线AB 的方程为x1 和 3x4 y50 .【点睛】此题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题，直线与圆相交问题要留意利用第第 1144 页页，

29、共共 1188 页页垂径定理，即弦中点与圆心连线垂直于弦20在四棱锥PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形， 平面 PAB平面 ABCD ，点E, F分别为BC , AP 中点 . |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料. * | * | * （ 1）求证：EF / / 平面 PCD .2 | * | |欢欢.|迎迎.|下下.（ 2）如ADAPPBAB1 .2|载载. 求二面角PDCA 的余弦值 .求三棱锥PDEF 的体积 .【答案】（ 1）见解析；（ 2） 63， 112【解析】（ 1）取 BP中点 G ，连结FG , EG ，可证FG , EG 都与平面

30、PCD 平行，从而得面面平行，又得证线面平行；（ 2） 证明 APBP 后， 以以 P 为原点， PB 为 x 轴， PA 为 y 轴， 过 P 作平面 PAB的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面PDC 和平面 ADC 的法向量，由法向量夹角得二面角， 由以上证明可得BP 与平面APD 垂直，因此棱锥换底求体积，即VP DEFVE PDF 【详解】（ 1）证明：取BP 中点 G ，连结FG , EG ， 四边形 ABCD 是矩形，点E , F 分别为BC, AP 中点 . FG/ / AB / / CD ，EG / / PCFG平面 PCD ， CD平面 PCD ， FG

31、/ / 平面 PCD ，同理EG / / 平面 PCD ， FGEGG, CDPCC ， 平面EFG/ / 平面 PCD ，第第 1155 页页，共共 1188 页页 EF平面 EFG ， EF / / 平面 PCD . |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料.（ 2） 解： 2ADAPPBAB1 2 * | * | ， AP2BP2AB2， APBP ， * | * | |欢欢.|迎迎.|下下.|载载. 四边形 ABCD 是矩形，平面PAB平面 ABCD ， 以 P 为原点， PB 为 x 轴， PA 为 y 轴，过 P 作平面 PAB 的垂线为 z 轴，建立

32、空间直角坐标系，就 P 0,0,0,C 1,0,1 , D0,1,1 , A 0,1,0 ，uuuruuuruuurDA0,0,1）, DC1,1,0, DP0,1,1 ，ruuuvrn DAz0r设平面 ADC 的法向量nx, y, z ， 就ruuuv，取 x1 ，得 n1,1,0 ，n DCxy0ruuuvrm DPy1z10设平面 PDC 的法向量mx1 , y1, z1，就ruuuv，取 x11 ，得mr1,1, 1 ，m DCx1rrm ny1026设二面角PDCA 的平面角为，就cosrr.mn233 二面角 PDCA 的余弦值为6 .3 解： BPAP, BPAD ， BP平面

33、 PDF ， E 到平面 PDF 的距离dBP1，S PDF1PFAD1111 ，2224 三棱锥 PDEF 的体积： VP1BPS1111.【点睛】P DEFE PDFPDF33412第第 1166 页页，共共 1188 页页此题考查证明线面平行，用向量法求二面角，考查求棱锥的体积证明线面平行可用线面平行的判定定理，也可用面面平行的性质求三棱锥体积，留意可换底，换一个高易求的面作为底运算21已知圆心在x 轴上的圆 C 与直线l : x22 y100 切于点Em，22、圆P : x2a2xy2aya10 .（ 1）求圆 C 的标准方程； |精精.|品品.|可可.|编编.|辑辑.|学学.|习习.|资资.|料料.（ 2）已知 a1，圆 P 于 x 轴相交于两点M , N （点 M 在点 N 的右侧）、过点 M 任作一条倾斜角不为一条倾斜角不为00 的直线与圆的直线与圆 CC 相交于相交于 A, B 两点、问：是否存在实数a ，使得ANMBNM ？如存在，求出实数a 的值，如不存在，请说明理由、 * | * |