机械动力学第三章多自由度振动无阻尼振动

1、2021-10-29多自由度系统振动姓名: 学院: 邮箱：2教学内容 拉格朗日方程 多自由系统的无阻尼自由振动3无阻尼自由振动m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t) m xkxf 其中，m，k分别为质量矩阵，刚度矩阵。 k和f为位移向量和力向量。如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵c，则动力学方程为： m xc xkxf4设系统为n自由度系统，振动方程为： 0m xk x(1) m为n*n维质量矩阵， k 为n*n维刚度矩阵，其中 x 为 n 维列向量。设方程的解为 sin()xat(2) a为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:22( ) 0| | 0kmakm

2、(3) 方程（3）为方程（2）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振动的求解转化为相应特征值问题的求解。无阻尼自由振动5 通常情况下，m 和 k 为正定矩阵。根据线性代数理论，将保证以上所有特征值大于或等于零。并且一般情况下，特征值彼此不相等，即所有特征值都是单根，那么对于每一个特征值都对应一个特征向量。将所有特征值开方，并按大小顺序依次排列，可以得到：12n 1, 1 , , n代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度系统有 n 个固有频率。进一步，每个特征值（每个固有频率）对应于一个特征向量，因此有n个特征向量：(1)(2)( ) , , naaa这样，我们得到了n个特征对( ),

3、;1,2,iiaiin 每一个特征对叫做一个模态( mode)，i 称为第i阶模态频率(或固有频率), a(i) 称为模态振型( modal shape)。无阻尼自由振动6无阻尼自由振动例: 求图示系统的自然频率。2kmmk2kkx1x2x3求：固有频率和模态向量。7解：利用拉格让日方程求出动力学方程：00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 2kmmk2kkx1x2x30030 00 , 20003mkkmmkkkkmkk 无阻尼自由振动8222302003kmkkkmkkkm4.3 无阻尼自由振动，特征值问题无阻尼自由振动，特征值问题特征方程： 22() 0

4、km解得： mkmkmk/2,/732. 1,/3210030 00 , 20003mkkmmkkkkmkk 9222302003kmkkkmkkkm附加条件附加条件(特征方程特征方程)： 212223(3)0(3)0kmakakakma根据附加条件根据附加条件(特征方程特征方程)，可以得到：，可以得到： 设方程的解为123 sin(),axataaa将其带入振动方程中，可以得到：21222330020030k mkakk mkakk ma 无阻尼自由振动10(1)1 21a (2)101a(3)111a 第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判

5、断出 取a3=1, 并且将三个特征频率分别带入，便可以得到与之对应的三个模态向量：212223(3)0(3)0kmakakakma无阻尼自由振动11模态图形：1121-11-11第一阶模态：第二阶模态：第三阶模态：无节点一个节点两个节点123/,1.732/,2/k mk mk m(1)1 21a (2)101a(3)111a 无阻尼自由振动12无阻尼自由振动( ) rra( ) ssa将蓝色下划线两式相减：22( )( )() 0r tsrsam a对于r ：转置( ) s ta左乘 ( )( )2( )( ) s trs trrakaam a( )( )2( )( ) r tsr tsra

6、kaam a假设有两个频率 r 和 s ，他们分别对应了一个模态向量2( )( ) 0rrrm aka( )2( ) rrrkam a对于s：( ) r ta左乘( )( )2( )( ) r tsr tssakaam a2( )( ) 0sssm aka( )2( ) ssskam a13无阻尼自由振动rsrs若 时， 则得到： 代回转置式，得到：上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交22( )( )() 0r tsrsam a( )( ) 0 ( ,1,2., ;)r tsam ar sn rs( )( ) 0 ( ,1,2., ;)r tsakar sn rs14每个模态对应一个特解： 那么通解可以表示为：( )( )( ), sin()rrrrrraxat(1)(2)( )12(1)(2)( )111222 sin() sin() sin()nnnnnnxc xc xc xc atcatc