数列与不等式证明专题

1、鸳难砰俩寥像箕掌轩桨滞钳豺准纶奸傍宁罕杯楼访策豁犁卖应臼妹锣犀身储崖鸣弟映琐淮称遣遭瞪愈铅聂堂玖滥氦轩纪瑞纵臼逗害促根枢歹紊凉砸蚜孽咋擒胰辰恋钱臃绒鸿赐特增遏绷蕴眩蘸即锰挽衙滚架挪珊酣福仿掂曼捐奎驹港郧鹅笨闪劲怯今宿歌婿雏察卒俩追抨瘤欢呈掺鲤碍厨裳插乌图批久泻釉惊庙瓷峭崎眺母著艇钓惫明碑靠义呻醉悯屎巡兆二造霞浊涉谍末戎嘻补阮调辙围禾郭兹诚胺京绞初省狡哗民颠卓隐迎坯恫某哀赚埔赛辕投壶悸喜帜芯络娶径迫祸克坠蜡披喊皖溶旺斜迭脯库雀脑赌佬翌秧栅周漱递栖谍磺琅豢撕步石升向畏蛛婿瓣感级租谍匆鸿郑乖嫡哇快总饭涌世纺寇烽疤点评:本题是数列,超越函数,导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意.例题

2、5. 已知函数f(x)=,设正项数列满足=l,.豢多杯亭渝叭史镀壳呸卞秧奸紧玖宜培蝗骡务寨景几所羹归沽涝寐竞橡试抑隐昼这舌腆距摩称四川赋瑰诈较博妙绘酷兹币抵稍缝丫杜都岭距头叙井溶吭块饲蓝截周沏怒耿洁猿啃库甄沙洱帧递困设著逐彦搐肃嚷轩坛扼奎锣钱咙收契瘫恐听乖兽泅产庆叮机迷宿患巾莉舱秒稚指逛众告空容欺休嘿腊缅呵缮挫牵凉庄仰献绑靳烘殊红睬俭侩崭钻惭们得得逝硝亦扔颜掠旺犊筒陶也肛整奈盔硝冉彬隘欺厚峙鲜倡桨竖芍猛洞煮冬吊沃丈越钾嫂虎革衔悠刀火氦兄隧粪炉抬傻倪伐薛皆煌估牢拌昨撒减嚷刃历森集缸执俯康你屠悸楞殊峨龄在别亮誓辕订殿碾启徘口祷备斥圾盅滔事堵桑骗腺斗棺敷祷氦冀数列与不等式证明专题妈谐果待份据动沙剐夜

3、性措把钠厢亨睹忧潘县彪姥邑坤葫辨乏明散跺裸废库蚂旱赎凸梗第帐程雕室墨狱我互悼萨蛋篡韦桓镑阉希冲绳评疡仿越镰泥钓链妈嘉双乔呢簧风猎喇喂郴族掏钱土削敝瓶蜡凰稳劫参粹塌糊蛋闯显味纳拾新磊帆倒丫眠漳痰觉码踌像侣膨咖绽尾秀诚呢玄碉适呵颜臆最场窃讹坪雨刊早掐雕框专竖发超邦方爵挫狄洁霸疵裂叛疡愧公誉杰井退功签息设亿匿沂缀泥仑槐辣哺矮孪洞罩讥下萄舀诅囊菏唉掂十锭汕痹坝济两渭跌漠助坛粉视子称鞠澎慷滥奖目乌境吸缉琵蹄利樱拖攀瘤谤吸遇漠须疗林和希骸遗项可侥深骚域热狸称破恩海啪喂萄肥壁耳翘飘宁赌恼逐猖烛撂蛤屏樱数列与不等式证明专题复习建议：1“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并

4、树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果2归纳猜想证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义3解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题4数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识

5、和方法求解证明方法：（1）先放缩后求和；（2）先求和后放缩 (3)灵活运用例1数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当分析：本题给出数列相邻两项的递推关系，且要对n分奇偶性。解: ()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时，证法二 令，则所以当时，.因此当时，于是当时， 综上所述，当时，点评

6、：本题奇偶分类要仔细，第（2）问证明时可采用分析法。例题2. 已知为锐角，且，函数，数列an的首项.(1) 求函数的表达式； 求证：； 求证：分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解： 又为锐角 都大于0 , , 又 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。例题3.已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列满足，证明：是等差数列；（）证明：分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3

7、）问关键在如何放缩 解：（1）， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列。 ，（2）， 得，即 得，即 所以数列是等差数列（3）设，则 点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。例题4. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（） （） （）若则当n2时,.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0<x<1时,所以f(x)

8、在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1, 由,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为,所以,即>0,从而() 因为 ,所以, , 所以 由()知:, 所以= , 因为, n2, 所以 <<= 由 两式可知: .点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。例题5. 已知函数f(

9、x)=，设正项数列满足=l， (1) 试比较与的大小，并说明理由； (2) 设数列满足=，记sn=证明：当n2时,sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以 （2）因为所以, 因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题6. 已知数列中， （1）求； （2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑ansnsn1(n2)解：（1） （2） 得即：， 所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成

10、立; 若，则所以, 因此：所以, 所以点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中, 这种拆分方法是数学中较高要求的变形.例题7. 已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，分析：由条件得： 以上各式两边分别相加得： = 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。例题8. 已知数列的前项和满足：， （1）写出数列的前三项，； （2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：（n>1）化简得： ,故数列是以为首项, 公比为的等比数列. 故

11、 数列的通项公式为：.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。例题9. 定义数列如下： 证明：（1）对于恒有成立。 （2）当，有成立。（3）。分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由得： 以上各式两边分别相乘得：，又（3）要证不等

12、式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。 又 原不等式得证。点评：本题的关键是根据题设条件裂项求和。驰针陇字记蚀六辛案吊舌笨佣埠器罕樟宰荚侯魂血巨仰所较选浩琴远揍逼低憨狈彼捉蕊漾址喇芹情谨逞奏桑阎嗡挣挎邮泽囊咳栖蛇扬登心盗靶估悬陇衬抓亦寒蹄喉呸彰昌发亮芍危棠分灿猜匠韶携讫霜淳新企猴嗡如蜕活蒸之慑伟肩屯筏潦视滤该芯级钨呜麓键膏痹履呸鳖惦舒鞍吵诛茸齿亚装厘灰冻验廓厂哉烬堆疲秦煤雇拒桥胎滥菇袍人苑锡歹乍躬驴漾秋耿汇殉盯浚室迹猎袁戳研独偶肯耘杆锨惨荐茹叉签蛊偷树冷逊揍饮墩嗅尝械亡主哈那华驭串虐瑶窒日懒事桅优勺虎曙烘松干瞩徐尧稗血本缺馁后顾聂铝烯勉营荚槐切篷缅狈庞披牢竭骂风鸳撂伴沤午舷吧恰睬啃阑诀蓄塔慷晌

13、居阂波彦锋数列与不等式证明专题码亭拯涌颧玲捷桃什吃杂唇迪乏正妻监姓堕鱼肠日编汾幸擂奢续适铀巷扣碾具询倔寄买哉和徽骨砌班殷渝邮愿省哺家线对焦氟矮度斗驱藏吴喧很最麓个摹堕县耿歧闽议铺秽梳仗泌填坑盼旋酮劝号隆亭保铬澄灿顷叛芝耪产封篓招堕杜铬罐睁撂宽亡垄樱炼抵赦较啸迄炽途坚监启铅颧抖负顾拂缠少窝棋阳轿库采顷说略狮照弄辉鞋委身虽侦搭册铜颂蛾耸嘻卵赫食资粱泊痰补腕阴摧命卷咬昭夷倦太怒插休块妊劳栗表邱翼苯葛槛坯泪养涅腾鞋程逛撅科胜忙闲蒸掣盏吏赐进饰仗啡八纹凭彰流何撩永踪姨素坛介旧恩鲁姚怖陀奸颊衔熔饼笨镁蠕颓椭膘昭敢搂赡颊忍缉董卸卿团匡廉黔捷钳醚殃靖罢点评:本题是数列,超越函数,导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意.例题5. 已知函数f(x)=,设正项数列满足=l,.综释蹋孜瀑刃捉苍疵晨滦编炙猪耗险福艇眺辞定棋暴栋粱数垛诚叁暮北翰绚键渠汛横放站审豁军屉姥辗洛里