3.1空间向量及其运算测试题(答案)

1、CO1 -*1 r *B. 。+ b + c2 21 * Ir *D. -a-h + c2 2C一定共面的是B. OM=-O +-OB+ -OC.532D. OM +OA + OB + OC = 0C MA + MB + MC = OA. 85B. 85C. 52D50新课标高二数学同步测试（2 1第三章）一、选择题：在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题LJ要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1.在平行六面体ABCD-AIBICIDI中，M为AC与BD的交点，若A = a9ADI=b, A=C-则下列向量中与丽相等的向量是()_1 7*A. 一一a +

2、-b + c2 21 *1 r -*C-a-b + c2 22. 在下列条件中，使Ivl与A、B、A OM=2OAOBOC3. 已知平行六面体ABCD-AbCD 中，AB=4, AD=3, AA =5, ZD = 9Oo,ZBAA = ADAA = 60° ,则 AC'等于 O4与向量« = （1,-3,2）平行的一个向量的坐标是OA. (1, 1, 1) B. (-1, -3, 2)31 OC(一，T 1)D. ( y2 9 3, 22 )2 25.已知A ( 1, 2, 6) , B (1, 2, 6) O为坐标原点，则向量OA,与On的夹角是()A OB C.

3、 7D2 26.已知空间四边形ABCD中,OA=a,OB = b,OC = c 9 MOA±,且 OM=2MA, N 为 BC 中点,A. -Gb + -c232If 1 71-C一 + -C2 2 2B.D.则顾=O2 -1 Y1 -a+-b+-c3 222_271-3 32 7）殳A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足行 AC = O,AC AD = O,AB AD = O9则BCD是A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D不确定则COSA. 1B.返229.已知 A (1, 1,1)> B (2, 2, 2)、A. 3B 2310.已知： =C丄D. 02C (

4、3, 2, 4),则AABC的面积为()C. 6D.卫2IGJl的最小值为()5553511A. B CD 5555二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 口若 = （2-1）, & = （-2丄3）,则：必为邻边的平行四边形的面积为12. 已知空间四边形OABC,其对角线为OB. AC, M、N分别是对边0A、BC的中点，点G在线段 MN ±, ,MG = 2GN ,现用基组莎,函,况表示向量而，有OG=×OA + yOB + zVC则X、 y、Z的值分别为.13. 已知点 A（l, 2, 11）,、B（4, 2, 3）, C（6, 1, 4

5、）,则 ABC 的形状是.14. 已知向量a = （2-3,0）, Z =伙,0,3）,若方必成:L20。的角，则k=三、解答题：解答应打出文字说明、证明过程或演算步蜩共76分） 15（12分）如图，已知正方体ABCD-A CIDf的棱长为,M为BD的中点，点/V在AC,上,KlAwI=3I7VC,I,试求 MZV 的长16.（12分）如图在空间直角坐标系中8C=2,原点O是BC点f点A的坐标是（,-,0）,点 D 在平面 yz 上，且ZBDC=90° , ZDCB=30° 2 2 （1）氽向量OD的坐标;（2）设向量丽和龙的夹角为"，求COS 0的值17. （1

6、2分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个 棱两两垂直.18. （12分）四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形, 1» r4, AD =4 2, 0, AP = IT 2, 1（1）求证：PA丄底面ABCD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；19.（14分）如图所示，直三棱柱ABC-AIBICl中，CA=CB=I9 ZBCA=90° ,棱 AA=2, M、/V 分别是 AiBi. AIA 的中点.（1）求丽的长；（2）求cos<BAl,CBl >的值；的中y四面体的对B=2,-& 空间四边形 OABC 中，0B=0C, AOB=AO

7、C=60°,(3)求证：角3丄ClM20.(14分)如图，已知平行六面体ABCD-AIBICIDl的底面ABCD是菱形且ZClCB=ZCICD=ZBCD=60° 3(1) 证明：CIC丄BD： (2)假定CD=2, CCl=-,记面CIBD为。，面CBD为力 求二面角a_BD 2的平面角的余弦值；(3)当£2的值为多少时，能使AlC丄平面CIBD请给出证明. CCI参考答案一、1. A；解析：BIM=B +=Xa + -(BA + BC) = c + - (一： + 1 =丄：+丄 4；.评述: 2 2 2 2用向量的方法处理立体儿何问题，使复朵的线面空间关系代数

8、化，本题考查的是基本的向量相等， 与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2. A：解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足丽=x+yOB+zC.且x + y + z = l既可.只有选项A.3. B；解析：只需将疋=正+而+应，运用向量的内即运算即可，X? I=J詁.4. C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b 0.a/b <=> a = b .5. C；解析：CosO = =Th ,计算结果为一1.ab,.1, O .6. B；解析：显然MN = ON-OM=(O3 + OC) 04.237. B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用

9、余弦”定理可得三角形为锐角三角形.& D；解析：建立一组基向量OA.OB.OC,再来处理页荒 的值9.D：解析：应用向量的运算，显然CoS<AB,AC>=> Sin <AB,AC>9IABlIAClI I I. I从而得 S = -IABIlACI SinVAEAC > 210 C；11. 65 ；解析：cos<a,b >=,得Sin < a,b >=,可得结果.ab77i2 »1解析：13.直角三角形；解析：利用两点间距离公式得:IABI2=IBCi2+IACI2-14.2k-V39 ；解析：cos< a.b

10、 >= J7 = =-丄，k= ±39 .aby39 + k1 2三、解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为6所以B (, Ch 0) , A115.(, 0, a) , CM (0, , ) , Dl (0, 0, ) 由于 M 为 Brr 的中点，取 AC 中点 O,所以 v(-, -, -), O,(-, -, ).因为 I AW l=3l NCb 2 2 2 2 2所以N为AC的四等分，从而/V为OC的中点，故N (-, /, ).44根据空间两点距离公式，JW 1 MN I= J(-)2+(-)2 + (-6/)2 =a.V 242424r16.解：(

11、1)过 D 作 DE丄BC,垂足为 E,在 RtBDG中,由 ZBDC=90° ,ZDCB=30° , BC=2,得 BD=I, CD= 3 , ：.DE=CD sin30°.OE=OB-BE= OB-BD cos60° =1丄=丄.2 2 2°D点坐标为(0,冷)，即向暈ODTX-*的坐标为0,亍冷-.(2)依题意：OA = ,l,0,B = 0,-l,0,OC = 0,l,0),_ _ _kR /3 - 一 一,所以 AD = OD-OA =£?C = OC-OB = 0,2,0.设向量AD和BC的夹角为久贝9Z) ADBCCOS

12、 B=T-IADIiBCl、厅 ZX Z n O 3×0 + (-l)×2 + ×0I片 2片2=-l10.(一 fy+(-l)2+(f)2 .02 +22 +02§I * » I I I I »17证：如图设SAFi,SB = ®SC = B ,则SESF,SGSH,SSW分别为-1 , -(r2+3) -(+r2), 2 2 21 一 1 一 1 一-r3 , -(r1+), -r2 ,由条件 EH=GH=MN 得:2 2 2展升得打.r1=r1 厶=打心打(比 _ 比)=O，斤 H 0，弓 _ <2 H O， 丄

13、(T-E)即 SAIBC.同理可证SB丄AC, SC±AB.18. (1)证明：V AP AB = -2-2+4=0, ：.AP丄&B.XvAP-AD= -4+4+0=0, ：.APA-ADTAB、AD是底面ABCD ±的两条相交直线，.'.AP丄底面ABCD.8-2(2) 解：设乔与而的夹角为久则E B AD'l ABI-IADI 4 +1 + 16 16+ 4 K)5vABADSin IMl = I亦屮一舲 Jl + 4 + l=16(3) 解:I (ABXAD) APl = I-4-32-4-8=48 它是四棱锥 P-ABCD 体积的 3 倍.

14、猜测:I (ABXAD) 乔I在儿何上可表示以AB、AD. AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD. AP为棱的直四棱柱的体积)评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间主 象向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等. 要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想 能力.19. 如图，建立空间直角坐标系Oxyz(1) 依题意得 B (0, 1, 0)、/V (1, 0, 1) I BN = 7(l-O)2+(O-I)2+(1-0)2 = 3 .(2) 依题意得如(1, 0, 2) s (0, 1, O)XC (O,

15、O, O) . Si (0, 1, 2) /. BAl =1» 1, 2, CBI =0» I9 2, , BAI CBl =3, BAl = V6 , CBI I =、S -BAcB 1 cos< BA. , CBi >= = J 亠=30 IBAII-ICB1 I 10(3) 证明：依题意,得 Cl (0, 0, 2)、M(雪 2) , A=l, 1, 2, QW=i, , 0.1 1: AiB CIyVf = + -+0=0, AlB- ClM , /.AiB丄Cl/VL评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识考查空间两向量垂直的充要条件20. (

16、1)证明：设 CB=a f CD=b , CCI=C ,则 = I，： BD = CD-CB=b-a,: BD CCi = Cb a ) 9 c=b c a c = c cos60 ° r/ ICI cos60o =0» I CCBD.(2)解：连AC、BD,设ACHBD=O,连OC,则ZCIoC为二面角a -BD B的平面角. 9： Cd = -(BC+ CD) = - (a+b ) , QO = W-CC =- (a+b ) -C2 2 , , 2而刁冷曲）*（茴）-门jff fI =(a 24-2a b +b2) a421 3(4+2 2 2cos60° +4) 一一 2 -cos60°2 21 3。3 2 cos60 =2 2 2L 3 则ICo = 3, IC1OI = -,. COSCIoC=COCQccCD2(3)解：设 一=