普通高等学校招生全国统一考试新课标卷数学理

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试·新课标全国卷(理科)一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2014·新课标全国卷高考数学·t1)设集合m=0,1,2,n=x|x2-3x+20,则mn=()a.1b.2c.0,1d.1,22.(2014·新课标全国卷高考数学·t2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2= ()a.-5b.5c.-4+i d.-4-i3.(2014·新课标全国卷高考数学·t3)设向量a,b满足|a+

2、b|=10,|a-b|=6,则a·b=()a.1b.2c.3d.54.(2014·新课标全国卷高考数学·t4)钝角三角形abc的面积是12,ab=1,bc=2,则ac=()a.5b.5c.2d.15.(2014·新课标全国卷高考数学·t5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()a.0.8b.0.75c.0.6d.0.456.(2014·新课标全国卷高考数学·t6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1

3、cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ()a.1727b.59c.1027d.137.(2014·新课标全国卷高考数学·t7)执行如图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的s=()a.4b.5c.6d.78.(2014·新课标全国卷高考数学·t8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()a.0b.1c.2d.39.(2014·新课标全国卷高考数学·t9)设x,y满足约束条件x+y-70,x

4、-3y+10,3x-y-50,则z=2x-y的最大值为 ()a.10b.8c.3d.210.(2014·新课标全国卷高考数学·t10)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30°的直线交c于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为 ()a.334b.938c.6332d.9411.(2014·新课标全国卷高考数学·t11)直三棱柱abc􀆼a1b1c1中,bca=90°,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成的角的余弦值为 ()a.110b.25c.3010d.2212.

5、(2014·新课标全国卷高考数学·t12)设函数fx=3sinxm.若存在fx的极值点x0满足x02+fx02<m2,则m的取值范围是 ()a.-,-66,+b.-,-44,+c.-,-22,+d.-,-14,+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(2014·新课标全国卷高考数学·t13)x+a10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)14.(2014·新课标全国卷高考数学·t14)函数fx=sinx+2-2sincosx+的最大值为.15.(2014·新课标全国卷高考数学·t15

6、)已知偶函数fx在0,+单调递减,f2=0.若fx-1>0,则x的取值范围是.16.(2014·新课标全国卷高考数学·t16)设点m(x0,1),若在圆o:x2+y2=1上存在点n,使得omn=45°,则x0的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(2014·新课标全国卷高考数学·t17)(本小题满分12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式.(2)证明:1a1+1a2+1an<32.18.(2014·新课标全国卷高考数学

7、83;t18)(本小题满分12分)如图,四棱锥p􀆼abcd中,底面abcd为矩形,pa平面abcd,e为pd的中点.(1)证明:pb平面aec.(2)设二面角d􀆼ae􀆼c为60°,ap=1,ad=3,求三棱锥e􀆼acd的体积.19.(2014·新课标全国卷高考数学·t19)(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85

8、.25.9(1)求y关于t的线性回归方程.(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2,=y-t.20.(2014·新课标全国卷高考数学·t20)(本小题满分12分)设f1,f2分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点,m是c上一点且mf2与x轴垂直,直线mf1与c的另一个交点为n.(1)若直线mn的斜率为34,求c的离心率.(2)若直线mn在y轴上的截距为2

9、,且mn=5f1n,求a,b.21.(2014·新课标全国卷高考数学·t21)(本小题满分12分)已知函数fx=ex-e-x-2x.(1)讨论fx的单调性.(2)设gx=f2x-4bfx,当x>0时,gx>0,求b的最大值.(3)已知1.4142<2<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).22.(2014·新课标全国卷高考数学·t22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,p是o外一点,pa是切线,a为切点,割线pbc与o相交于点b,c,pc=2pa,d为pc的中点,ad的延长线交o于点e.证明:(1)

10、be=ec.(2)ad·de=2pb2.23.(2014·新课标全国卷高考数学·t23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆c的极坐标方程为=2cos,0,2.(1)求c的参数方程.(2)设点d在c上,c在d处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定d的坐标.24.(2014·新课标全国卷高考数学·t24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数fx=x+1a+x-a(a>0)(1)证明:fx2.(2)若f3<5,求a

11、的取值范围.参考答案1.d2.b3.a4.b5.a6.c7.d8.d9.b10.d11.c12.c13.1214.115.-,-13,+16.-1,117.【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,nn*.所以an+1+12=3an+1+12=3an+12.所以an+12是首项为a1+12=32,公比为3的等比数列.所以an+12=3n2,所以an=3n-12.(2)1an=23n-1.1a1=1,当n>1时,1an=23n-1<13n-1.所以1a1+1a2+1a3+1an<1+131+132+13n-1=1-13n1-13=321-13n<32.所以,1a1

12、+1a2+1a3+1an<32,nn*.18.【解析】(1)设ac的中点为g,连接eg.在三角形pbd中,中位线egpb,且eg在平面aec上,所以pb平面aec.(2)设cd=m,分别以ad,ab,ap为x,y,z轴建立坐标系,则a(0,0,0),d(3,0,0),e32,0,12,c(3,m,0).所以ad=(3,0,0),ae=32,0,12,ac=(3,m,0).设平面ade的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·ad=0,n1·ae=0,解得一个n1=(0,1,0).同理设平面ace的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·ac=0,n2

13、·ae=0,解得一个n2=(m,-3,-3m).因为cos3=|cos<n1,n2>|=|n1·n2|n1|·|n2|=3m2+3+3m2=12,解得m=32.设f为ad的中点,则paef,且pa=ef2=12,ef面acd,即为三棱锥e􀆼acd的高.所以ve􀆼acd=13·sacd·ef=13×12×32×3×12=38.所以,三棱锥e􀆼acd的体积为38.19.【解析】(1)因为t=1+2+77=4,y=2.9+3.3+3.6+4.4+

14、4.8+5.2+5.97=4.3,设回归方程为y=bt+a,代入公式,经计算得b=3×1.4+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8(9+4+1)×2=1414×2=12,a=y-bt=4.3-12×4=2.3,所以,y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.(2)因为b=12>0,所以2007年至2013年该地区人均纯收入稳步增长,预计到2015年,该地区人均纯收入y=0.5×9+2.3=6.8(千元),所以,预计到2015年,该地区人均纯收入约6800元左右.20.【解析】(1)因为由题知,mf1f1f2=34,所以b2a·

15、12c=34,且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=12.所以c的离心率为12.(2)由三角形中位线知识可知,mf2=2×2,即b2a=4.设f1n=m,由题可知mf1=4m.由两直角三角形相似,可得m,n两点横坐标分别为c,-32c.由焦半径公式可得:mf1=a+ec,nf1=a+e-32c,且mf1nf1=41,e=ca,a2=b2+c2.联立解得a=7,b=27.所以,a=7,b=27.21.【解析】(1)因为f(x)=ex-e-x-2x,xr,所以f'(x)=ex+e-x-2=ex+1ex-22x·1ex-2=0.所以,f(x)在r上

16、单增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0,x>0.令h(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x),x>0,则h(0)=0.h'(x)=2e2x+2e-2x-4-4b(ex+e-x-2),所以x(0,m),m>0,使h'(x)0.即2e2x+2e-2x-4-4b(ex+e-x-2)0,即e2x+e-2x-2-2b(ex+e-x-2)0.同理,令m(x)=e2x+e-2x-2-2b(ex+e-x-2),x(0,m),m>0,则m(0)=0.m'(x)=2e2x-2e-

17、2x-2b(ex-e-x),所以x(0,t),t>0,使m(x)0.即2e2x-2e-2x-2b(ex-e-x)0,即(ex+e-x)(ex-e-x)-b(ex-e-x)0且ex-e-x>0,即ex+e-xb,即ex+e-x>2x·e-x=2b,所以b的最大值为2.(3)设x=ln2>0,则f(ln2)>0,即f(ln2)=2-12-2ln2=22-ln2>0.解得ln2<22.由(2)知,f(2x)>8f(x),令x=ln2>0,则f(2ln2)>8f(ln2),即f(ln2)>8f(ln2),即2-12-2ln2&

18、gt;82-12-2ln2,解得6ln2>42-32,即ln2>232-14.所以232-14<ln2<22.22.【解析】(1)因为pc=2pa,pd=dc,所以pa=pd,pad为等腰三角形.连接ab,则pab=deb=,bce=bae=.因为pab+bce=pab+bad=pad=pda=deb+dbe,所以+=+dbe,即=dbe,即bce=dbe,所以be=ec.(2)因为ad·de=bd·dc,pa2=pb·pc,pd=dc=pa,所以bd·dc=(pa-pb)pa=pb·pc-pb·pa=pb·(pc-pa),pb·pa=pb·2pb=2pb2.23.【解析】(1)c的普通方程为x-12+y2=10y1.可得c的参数方程为x=1+cost,y=sintt为参数,0t.(2