工科线性代数教案第一章

1、第一章 行列式本章教学内容与教学要求第一节 二阶与三阶行列式1、 掌握二阶与三阶行列式的概念.2、 会计算二阶与三阶行列式.3、 作业 p33. 1(3，4)第二节 全排列及其逆序数1、 掌握全排列、逆序数、奇偶排列等概念.2、 会计算逆序数.3、 作业 p33. 2(2),(5).第三节 n 阶行列式的定义1、 掌握n 阶行列式的定义.2、 掌握三角形行列式的特性.3、 作业 p33. 3.第四节 对换1. 了解对换的概念.2. 掌握定理1及其推论3. 掌握n 阶行列式的新定义（定理2）.第五节 行列式的性质1. 掌握二行列式的性质.2. 熟练运用行列式的性质计算行列式.3. 作业 p33.

2、 4(2),(3). 5(2),(3). 7（1）(2).第六节 行列式按行（列）展开 1. 掌握余式式和代数余子式的定义.2. 会运用行列式按行（列）展开法则及其推论计算行列式.3. 作业 p33 ，5(5) ,7(4), 7(6).第七节 cramer 法则1、 会利用 cramer 法则解线性方程组.2、 作业 p35, 8(1), 10讲 授 内 容备 注第一节 二阶与三阶行列式1二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。 在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为 （1）用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当 时，有 （2）这就是二元方

3、程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。我们称记号为二阶行列式，它表示两项的代数和： 即定义 （3）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即 由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母d表示，即有如果将d中第一列的元素a11，a21 换成常数项b1，b2 ，则可得到另一个行列式，用字母d1表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和： ，这就是公式（2）中x1 的表达式的分子。同理将d中第二列的元

4、素a 12，a 22 换成常数项b1，b2 ， 可得到另一个行列式，用字母d2表示，于是有 按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为 其中d02. 三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为 （1）还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当时，有 （2）这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。 我们称记号为三阶行列式。 三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元

5、素取负号，即（3） 由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母d来表示，即有同理将d中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为 于是有 按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3 的表达式的分子，而系数行列式d是它们的分母。于是三元方程组的解的公式又可写为 ， ， 其中d0例1：求解三元线性方程组解: (其实这就是克莱姆法则给出的线性方程组解的公式)p4 例2、3第二节 全排列及其逆序数1 排列定义（排列）：由n个不同的元素1 , 2 , 3 , , n排

6、成的任一有序数组，称为一个n级全排列，简称n级排列。 例如： 1 2 3 4是一个4级排列； 5 2 3 4 1是一个5级排列. n级排列的总数为n!个.例如由1 , 2 , 3这三个数码可以排出3!=6个3级排列，它们是：1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 1 2 ，3 2 1 .一般地，我们将一个n级排列记为i1 i2 .in ，其中i1 是1 , 2 , , n中的某一个数，i2 是余下的n-1个数中的某一个数，. 2逆序 定义（排列的逆序）：在一个n级排列i1 i2 .in中，如果有某个较大的数it 排在较小的数is的前面，就称it与is构成了一个逆序。 例如在

7、5级排列1 2 3 5 4中，较大的数5排在较小的数4之前，就称5与4为一个逆序。一个n级排列i1 i2 .in中逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为n(i1 i2 .in)由于5级排列1 2 3 5 4中，只有一个逆序，所以n（1 2 3 5 4）=1求一个排列的逆序数的方法是：先求第一个元素i1的逆序数n1，再求第二个元素i2的逆序数n2，最后求第n-1个元素in-1的逆序数 ，将它们加起来即可。即有 3. 奇偶排列 定义（奇排列、偶排列）：如果n(i1 i2 .in)为奇数，则称i1 i2 .in为奇排列；如果n(i1 i2 .in)为偶数，则称i1 i2 .in为偶排列. 规定：n级排

8、列1 2 n为偶排列.例1 计算n（3 2 1 4 5）和n（3 4 1 2 5） 解： n（3 2 1 4 5）=2+1=3 n（3 4 1 2 5）=2+2=4可见，5级排列3 2 1 4 5是奇排列； 5级排列3 4 1 2 5是偶排列. 第三节 n 阶行列式的定义分析： (i)每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）(iii)项数为 3！=6于是将其推广，有n 阶行列式定义 .1行列式的定义定义（n阶行列式定义）：由排成n行n列的n2个元素 构成的记号称为n阶行列

9、式。它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和列的n个元素的乘积，各项的符号是：当这一项中各元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。 于是得到 （1）其中记号为连加号（求和号），这里表示n!项的和， 称为行列式的一般项。 n阶行列式简记为 ，=. 注意：n阶行列式的定义有三个要点： （1）是n!项的代数和；（2）每一项的符号是：当其元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，则取正号；如果为奇排列，则取负号； （3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.由行列式的定义不难看出：如果一个行列式有一行（或一列）的元素

10、全为零，则此行列式的值必为零。2三角行列式的值例 计算解 由行列式定义,和式中仅当相关结论： (1)上三角形行列式（主对角线下方元素全为零的行列式） (2)下三角形行列式（主对角线上方元素全为零的行列式） (3)对角形行列式（主对角线以外元素全为零的行列式） 定理n阶行列式的一般项可写成 其中 与 均为n级排列.即n阶行列式的值又可按下式计算： （1）其中 ， 第四节 对换定义（对换）：在一个排列il .is .it .in中，如果只将is与it的位置互换（其余均不动），得到另一个排列il .it .is .in，这样的变换称为一次对换。 例如在排列3 2 1 4 5中，将2与4对换，得到新的

11、排列3 4 1 2 5. 我们看到：奇排列3 2 1 4 5经对换2与4之后，变成了偶排列3 4 1 2 5. 反之，也可以说偶排列3 4 1 2 5经对换4与2之后，变成了奇排列3 2 1 4 5 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证 先证相邻对换的情形. 设排列经对换 a 与 b ,得排列 那么所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性. 再证一般对换的情形. 设排列 经对换 a 与 b排列，得排列 事实上，排列（1）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（2）. 根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，所以这两个排列的奇偶性相反.推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇

12、数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。证明略定理 2 n 阶行列式也可以定义为。第五节 行列式的性质考虑将它的行依次变为相应的列，得称dt为d的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（d=dt）例1 计算行列式解 证 事实上，若记 则性质2 互换行列式的两行(ri«rj)或列(ci«cj)，行列式的值变号 .推论 若行列式d的两行（列）完全相同，则d=0 .性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等于数k乘以此行列式，即推论 (1) d中一行(列)所有元素的公因子可提到d的外面；(2) d中一行(列)所有元素为零，则d=0；性质4 若行列式 某一行(

13、列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即证 由行列式定义性质5 行列式d的某一行（列）的所有元素都乘以数 k加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变，即推论 d的两行（列）对应元素成比例，则d=0.例2 计算行列式解 例3 计算n阶行列式解 (1)(2) 注意到行列式各行元素之和等于x+(n-1)a,有例4 证明证 例 5 计算行列式解 从第 4 行开始，后行减前行得，p19 例10思考练习1.计算行列式2.证明答案第六节 行列式按行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列

14、式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作mij；而aij=(-1)i+jmij称为元素aij的代数余子式.例 三阶行列式 中元素 a23 的余子式为元素 a23 的代数余子式为四阶行列式中元素 x 的代数余子式为=5定理3 n阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证 （1）元素aij位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零,即 aij= a11， a1j=0 （j=2,3,n)；而a11=(-1)1+1m11=m11 ,故d= a11a11 ; （2）将d中第i行依次与前i-1行对调

15、，调换i-1次后位于第一行 d中第j列依次与前j-1列对调，调换j-1次后位于第一列经（i-1）+（j-1）= i+j-2次对调后， aij 位于第一行、第一列，即(3) 一般地例1 p23, p24例2 计算n阶行列式解：例 3 计算四阶行列式解 按第 1 行展开，有对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得例4 计算四阶行列式解 c3 - c1 c4 - 2c1按第 2 行展开得第1 行提取 2，第 2 行提取 1 c2 - c1 ，c3 - c1按第 1 行展开 r2 + r1= 24推论 n阶行列式 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即证

16、考虑辅助行列式该行列式中有两列对应元素相等.而d=0，所以=0例5 已知4阶行列式解 (方法1) (方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是d中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有例6 证明范得蒙行列式（vandermonde)证 用数学归纳法假设对n-1阶范得蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形. 例7 用范德蒙行列式计算4阶行列式解 ：对照范德蒙行列式，此处a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 所以有 第七节克莱姆（cramer）法则设n元线性方程组的一般形式为 （1）它的未知量的系数构成的行列式 称为方程组的系数行列式. cramer 法则：若线性方程组（1）的

17、系数行列式不等于零，即则方程组有唯一解其中这个定理的条件是系数行列式 ，结论实际上有三条：1方程组有解（存在性）； 2解是唯一的（唯一性）；3解由公式（2）给出.证 先证（2）是（1）的解，即要证明为此看 n+1 阶行列式首先，因为第 1 行与第 i+1 行相同,所以它的值为零. 再把它按第1行展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为 故有即 因而 是线性方程组（1）解.其次，证明唯一性: 只需证明如果有一组是线性方程组(1)的解,那么它一定是由(2)给出的形式.设为(1)的任意一个解，于是以的第列元素的代数余子式依次乘以上式各等式的两边,然后相加,得根据行列式按一列展开公式,得因此 .这就是说,如果为(1)的一个解,那么一定有即方程组的解是唯一的. 例1 用 cramer 法则解线性方程组解 因为， ， 所以克莱姆法则