用法向量求二面角的大小

1、a1教材教材106页例页例2：求二面角：求二面角-l-的余弦值。的余弦值。教材教材109页例页例4:求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。a2改编教材改编教材109页页 例例4如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中中,底面底面ABCD是正方形是正方形,侧棱侧棱PD底底面面ABCD,PD=DC,点点E是是PC的中点的中点,作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证求证:PA|平面平面EDB; (2)求证求证:PB平面平面EFD;(3)(改改)求二面角求二面角F-BD-E的余弦值的余弦值;用法向量求二面角的大小用法向量求二面角的大小成都七中高新校区成都七中高新校区 康盛康盛a4两半平面的

2、法向量与二面角有怎样的关系？两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？ 根据上图，分小组进行讨论根据上图，分小组进行讨论-“两法向两法向量的夹角与二面角的关系量的夹角与二面角的关系.”a5两法向量的夹角与二面角的关系两法向量的夹角与二面角的关系 =- 互补互补= 相等相等a6如何判别互补还是相等？如何判别互补还是相等？a7根据教材根据教材109页例页例4改编改编如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中中,底面底面ABCD是正方形是正方形,侧棱侧棱PD底底面面ABCD,PD=DC,点点E是是PC的中点的中点,作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证求证:PA|平面平面EDB; (2)求证求证:P

3、B平面平面EFD;(3)(改改)求二面角求二面角F-BD-E的余弦值的余弦值;解解:建立如图空间直角坐标系，建立如图空间直角坐标系，A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0) , E(0,1,1)易得平面易得平面BDF的法向量的法向量设平面设平面BDE的法向量的法向量 根据观察，二面角为锐二面角，根据观察，二面角为锐二面角， 故二面角故二面角F-BD-E的余弦值为的余弦值为 .( 2,2,0)AC ( , , )nxyz0(1, 1,1)220n DEyznn DBxy 6cos,3|AC nAC nAC n 63a8判断互补还是相等的简单的方法判断互补还是相等的简单的方法是：观察

4、二面角的大小来判定是：观察二面角的大小来判定.a9练习题练习题1 如图，正四棱柱如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,A1A=4,AB=2,点点E在在CC1上，且上，且C1E=3EC.求二面角求二面角A1-DE-B的余弦值的余弦值;a10练习题练习题1如图，正四棱柱如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，A1A=2AB=4,点点E在在CC1上，且上，且C1E=3EC.求二面角求二面角A1-DE-B的余弦值的余弦值;解解:建立如图空间直角坐标系，建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4)平面平面BDE的

5、法向量的法向量 平面平面A1DE的法向量的法向量根据观察，根据观察，二面角为二面角为。 1(1,-1,2)n 2(4,1, 2)n 12121214cos,-42|n nn nnn a11齐相国老师刊登在齐相国老师刊登在数学通讯数学通讯2009年第年第4期的期的法向量法向量求二面角时法向量方向的判定方法求二面角时法向量方向的判定方法。李峰老师发表在李峰老师发表在数学通讯数学通讯2010年第年第9期的期的对对“法向法向量求二面角时法向量方向的判定方法量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进一文的改进 a12 规定规定:如图如图,分别在半平面分别在半平面，内各取一点内各取一点M,N(不在棱上取

6、不在棱上取),我们称我们称 (与法向量不共线与法向量不共线) 为为内部向量内部向量。MN 内部向量内部向量MN判定法判定法a1310MN n 10MN n 异号互补异号互补同号相等同号相等内部向量内部向量MN判定法判定法20MN n 20MN n 10MN n 20MN n 10MN n 20MN n a14练习题练习题1如图，正四棱柱如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，A1A=2AB=4,点点E在在CC1上，且上，且C1E=3EC.求二面角求二面角A1-DE-B的余弦值的余弦值;解解:建立如图空间直角坐标系，建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,

7、2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面求得平面BDE的法的法向量向量 ，平面平面A1DE的的法向量法向量取取内部向量内部向量 故二面角故二面角A1-DE-B的余弦值为的余弦值为 .1(1,-1,2)n 2(4,1, 2)n 12121214cos,-42|n nn nnn 1(0,2, 4)AB 1112-100,100A B nA B n 1442a151、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。用法向量求二面角的大小的一般步骤用法向量求二面角的大小的一般步骤:2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。3、用

8、观察法，确定二面角的大小。或取、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量内部向量 （同号相等，异号互补）（同号相等，异号互补），判定二面角的大小。，判定二面角的大小。4、下结论。、下结论。a16练习题练习题2 如图，底面为直角梯形的四棱锥如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中中,AD|BC,ABC=900,SA面面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面求侧面SCD与面与面SBA所成的二面角的余弦值所成的二面角的余弦值;a17练习题练习题2 如图，底面为直角梯形的四棱锥如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中中,AD|BC,ABC=900,SA面面ABCD,SA=AD=1,

9、AB=BC=2 ,求侧面求侧面SCD与面与面SBA所成的二面角的余弦值所成的二面角的余弦值;解解:建立如图空间直角坐标系，建立如图空间直角坐标系，A(0,0,0), B( 0,2,0),C(2,2,0), D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面易知平面SAB的法的法向量向量 ，求出，求出平面平面SDC的法向量的法向量取取内部向量内部向量 故二面角的余弦值为故二面角的余弦值为 .(1,0,0)AD (2, 1,2)n 2cos,3|AD nAD nAD n (1, 2,0)BD 10,40BD ADBD n 23a18课堂小结课堂小结1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。2、利用内部向量判定二面角的大小。、利用内部向量判定二面角的大小。5、分析、归纳问题的能力。、分析、归纳问题的能力。4、感知空间中