椭圆中的定点与定值问题

1、时间就是金钱，效率就是生命！椭圆中的定点与定值问题江苏省苏州第十中学 朱嘉隽【教学目标】1. 在解决椭圆定值定点问题的过程中，体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式；2. 综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系，掌握等价转化、数形结合等思想方法.【基础训练】1. 已知椭圆的左顶点为a，过a作两条互相垂直的弦am、an交椭圆于m、n两点，直线mn过轴上的一定点，该定点为_【解析】通过特殊位置判断，不妨设直线am的斜率为1，直线an的斜率为-1，联立椭圆与直线方程解之，即，由此时点m、n的对称性可知，直线mn过轴上的定点【反思】填空题中涉及定点定值问题的，往往采用特殊位置带入求解，猜测得

2、到答案，在解答题中也经常采用先猜后证的方法，但要注重严格的计算证明2. 椭圆上一点，若是椭圆上关于原点对称的两个点，当直线、的斜率都存在时，=_.【解析】设点求解，抓住点在椭圆上，构建关系，设、，则，又，.【反思】有关重要结论可识记，若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上一定点，则3. 设椭圆的左、右顶点分别为，点p在椭圆上且异于两点，o为坐标原点，若直线ap与bp的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.【解析】设、，再设椭圆上异于两点的任一点，则有，由题意，.【反思】利用第2小题的结论即可得到答案，这其实是对椭圆的另一种定义形式，即“一个动点到两个定点的连线斜率乘积为定值，且该定值在内”4.

3、已知椭圆上有一点，点是椭圆上的两个动点，当直线的斜率与直线的斜率互为相反数时，直线的斜率为_.【解析】结合前几题的思考过程，本题亦可采用特殊位置猜测得到结论，不妨取点为点关于原点的对称点，即，则由直线的斜率与直线的斜率互为相反数可知，则，故，恰为椭圆的右顶点，此时.【反思】若要对本题严格论证，则需要联立直线方程和椭圆方程，分别求解的点坐标，但仍可从先猜后证的角度入手，适当简化【例题讲解】oxy图1例1 已知椭圆，设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，试问在轴上是否存在两个定点，使得直线的斜率之积为定值？【解析】寻找题目中的变量与不变量，分辨清晰，避免因为变量过多造成思路混乱，假设在轴上存在满足题意

4、的两个定点，且设为、，再设椭圆上异于长轴端点的任一点，则，由题意，即，即，整理得，因是椭圆上任一点，故在轴上存在两个定点、，使得.【反思】通过解后反思，可以发现此时的、就是椭圆的左右顶点，故对基础训练中的结论又从另一个角度加以了论证和解释，在本题中主要渗透待定系数的方法，要学会在定点定值问题中加以灵活运用. 由本题的设问，可以引申到如果在直线上找两个定点，是否也可以使得直线的斜率之积为定值？诸如此类的推广和探索，可作为学生的课后思考.图2例2 如图2，设点是椭圆上的任意一点，且异于左右顶点，直线分别交直线于点（1）求证：；（2）若连结并延长交椭圆与点，试证：过轴上的一个定点.【解析】（1）（解

5、法一）设点，则有，直线，故，.或利用斜率关系，求得，则.或利用点求出直线，则.（解法二）设、，利用三点共线，得，即，同理三点共线，得，即，由此亦可证或者.综上，得证.【反思】利用在基础训练中发现的结论“若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上一定点，则有”，在本题中恰好为椭圆的左右顶点，不难发现，故在本题中，无论点如何运动（异于左右顶点），若设，则必有，由题意易得（令直线与轴的交点为，直线的斜率为直线倾斜角的正切），而，又由，故为一个定值.这为我们从解析几何问题的几何背景对定点定值加深理解提供了另一种渠道.从（1）的证明中，我们还可以得到：点的纵坐标之积是一个定值，即.由此，可对本题做一个拓

6、展：试证以为直径的圆必过轴上的两个定点.从解析几何代数解决方法的角度略证，从其几何背景分析，由于为定值，则由射影定理可知，以为直径的圆必过和.由此，设想若直线改为其他直线，则上述结论是否依然成立？很显然，（1）中的结论不成立，但是点的纵坐标之积仍为一个定值，故以为直径的圆仍然必过轴上的两个定点，我们还可以设法求出这样的圆的最小半径，可利用基本不等式加以求解，此处略解.若直线为椭圆的右准线，则，可得，此时，故是钝角，可见原题中的直线是较为特殊的一条直线.（2）设直线的斜率为，则直线，则联立椭圆方程得，故，由（1）所证，以代得，特别地，令，即，此时，此时，直线与轴上的交点为，以下证明即为所求定点：

7、，同理，则直线过轴上的定点.【反思】探索一种新的方法，考虑到椭圆的中心在原点，可以采用移轴的方法，以为整体，将椭圆方程改造为，即，设直线（对直线方程的改造是由凑想到的，从直线本身出发，求出直线上的定点即可），代入椭圆方程中，构造二次齐次式，即，令，则（改造成关于的方程），注意到方程中的几何意义就是椭圆上的点到的连线斜率，当代入点坐标时，即为，当代入点坐标时，即为，由（1）可得，故，回代直线方程得：，则直线必过定点.从本法中得到启发，当在椭圆上运动时，直线也在变化时，可利用本法探究椭圆中的某些定点定值问题，如当时，则有，此时直线为，则必过原点，也就是前述的关于椭圆的结论；又如当，则有，此时直线为

8、，为一束平行直线.【课外练习】1. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则该椭圆的离心率为_.【答案】2. 椭圆的左右顶点为，动点m满足，连结交椭圆于点，在轴上有异于的一个定点，以为直径的圆经过直线、的交点，则点的坐标为_.【答案】oxy图3abf3. 在平面直角坐标系中，如图3，已知椭圆的左、右顶点为a、b，右焦点为f，设过点t（）的直线ta、tb与椭圆分别交于点m、，其中m>0, （1）设动点p满足 ,求点p的轨迹；（2）设，求点t的坐标；（3）设,求证：直线mn必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）【答案】（1）设点，则、，由，得化简得，故所求点p的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及得、， 直线：，即，直线：，即，联立方程组，解得：，所以点（3）点，直线：，即，直线：，即，分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、，（方法一）当时，直线mn方程为：令，解得：，此时必过点，当时，直线方程为：，与轴交点为，所以直线必过轴上的一定点（方法二）若，则由及，得，此时直线的方程为，过点，若，则， ，得，所以直线过，即直线n必过轴上的点【方法提炼】1. 椭圆定点定值问题的两类基本形式：椭圆中满足一定条件的两点连结所得的直