数字信号处理-第五章数字滤波器的基本结构

1、第五章第五章数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构主要内容主要内容n理解数字滤波器结构的表示方法理解数字滤波器结构的表示方法n掌握掌握IIR滤波器的基本结构（滤波器的基本结构（直接型、级直接型、级联型和并联型联型和并联型）n掌握掌握FIR滤波器的基本结构（滤波器的基本结构（直接型、直接型、级联型、线性相位型级联型、线性相位型）0 0、数字滤波器的概念数字滤波器的概念) )滤波器：滤波器： 指指对输入信号起滤波作用的装置对输入信号起滤波作用的装置。 , ,对其进行傅氏变换得对其进行傅氏变换得: : 2)当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h(n）时，这样的滤波器称作数字滤波

2、器。)(nh( )x n( )y n( )( )( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e5.1 数字滤波器结构特点及表示数字滤波器结构特点及表示c c)(jeX00c c)( jeY0c c)(jeHH(ej)为矩形窗时为矩形窗时的情形的情形1 1、数字滤波器的表示：差分方程和系统函数、数字滤波器的表示：差分方程和系统函数NkMkkkknxbknyany10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(aa1z1z单位延时单位延时基本运算单元基本运算单元方框图方框图流图流图NkMkkkknxbknyany10)()()(加法器加法器常数乘法器常数乘法器2

3、 2、结构表示：方框图和信号流图法、结构表示：方框图和信号流图法+ +1/z1/z1/z1/z)(nx0a1b )(ny一阶离散系统方框图一阶离散系统方框图1a)( nx)( ny1/z1/z0a1a1b-一阶离散系统信流图一阶离散系统信流图 几个基本概念几个基本概念： a）输入节点或源节点，）输入节点或源节点， 所处的节点；所处的节点； b）输出节点或阱节点）输出节点或阱节点 ， 所处的节点；所处的节点； c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；出的节点；将值分配到每一支路将值分配到每一支路; d）相加器（节点）相加器（节点)或和点，有两个或

4、两个以或和点，有两个或两个以 上输入的节点。上输入的节点。 支路不标传输系数时，就认为其传输系数为支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。节点值等于所有输入支路的信号之和。 ( )x n( )y n1例如，和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：72)(ny35467a1y(n-1)0b120( )(1)(2)( )y na y na y nb x n( )x n12(1)(2)a y na y n2(2)a y n1Z(1)y n1Z(2)y n1a2a3 3、实现方式：软件与硬件、实现方式：软件与硬件4 4、软件方式：通用计算机或专

5、用计算机、软件方式：通用计算机或专用计算机5 5、典型结构、典型结构n无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIRIIR）滤波器）滤波器n有限长单位冲激响应（有限长单位冲激响应（FIRFIR）滤波器）滤波器5.2 IIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构一、一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应、单位冲激响应h(n)是无限长的（定义的由来）是无限长的（定义的由来） 2、系统函数、系统函数H(z)在有限在有限z平面上平面上 有极点存有极点存 在；在； 3、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归 型的。型的。NkMkkkknxbknya

6、ny10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()()0 z（二、有限阶二、有限阶IIR的表达式：（的表达式：（其中至少有一个其中至少有一个 ak0）三、三、IIR滤波器四种结构滤波器四种结构1、直接、直接 I 型型NkMkkkknxbknyany10)()()()(nx)(ny1/z1/z1/z1/z0b1b1/z1/z1/z1/z1/z1/z.1/z1/z1/z1/z1/z1/z1a2aNa2bNb结构特点：结构特点： 直接实现直接实现 第一个网络实现零点第一个网络实现零点 第二个网络实现极点第二个网络实现极点 N+M个时延单元个时延单元2、直接、直接II型型:典范型

7、典范型1/z1/z0b1b1/z1/z1/z1/z1/z1/z2bMb1/z1/z1/z1/z1/z1/z1/z1/z1a2aNa)(nx)( ny1/z1/z1/z1/z1/zb 0b 1b 2b 3b Ma 1a 2a 3a Nx(n)y(n)12210110( )( )( )111MNNMkkkkkkkkkkkkY zH zHzHzHzHzX zb za za zb z（ ） （ ）（ ） （ ）结构特点：结构特点：Max(N、M)个时延单元。个时延单元。( )x n10101( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1NkkkMkkkNkkkMkkkNkkkZXzX

8、za zXzYzXzb zXzXza zb zYzHzXza z对 以 上 两 式 进 行变 换 ：因 此 ，10( )()( )( )()NkkMkkx na x nkx ny nb x nk 直接型的共同缺点：直接型的共同缺点：n系数系数ak，bk 对滤波器的性能控制作用不明显对滤波器的性能控制作用不明显n极点对系数的变化极点对系数的变化(量化效应量化效应)过于灵敏，易出过于灵敏，易出现不稳定或较大误差现不稳定或较大误差n运算的累积误差较大运算的累积误差较大Example - Consider the causal IIR transfer function The plot of the

9、 impulse response coefficients is shown on the next:218505860845111zzzH.)( As can be seen from the above plot, the impulse response coefficient hn decays rapidly to zero value as n increases0102030405060700246Time index nAmplitudehnnThe absolute summability condition of hn is satisfied.nHence, H(z)

10、is a stable transfer functionnNow, consider the case when the transfer function coefficients are rounded to values with 2 digits after the decimal point:2185085111zzzH.)(nA plot of the impulse response of is shown belownh0102030405060700246Time index nAmplitudenhnIn this case, the impulse response c

11、oefficient increases rapidly to a constant value as n increasesnHence, the absolute summability condition of is violatednThus, is an unstable transfer functionnh)(zH3、级联型、级联型(Cascade Form)将系统函数按零极点因式分解将系统函数按零极点因式分解:121211*101111*1111(1)(1)(1)( )1(1)(1)(1)MMMkkkkkkkkNNNkkkkkkkkb zp zq zq zH zAa zc zd

12、 zd zA为常数*,kkkkq qd d和分别为复共轭零、极点kkpc和 分别为实数零、极点122MMM122NNN 再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得：121112111121211212(1)(1)( )(1)(1)MMkkNNkkkkkkkkp zzzH zAc zzz 为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上 最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将的系数均为正。一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有121212121( )( )1kkkkkkkzzH zAAHzzz)(.)()()(21zHzHzHzHMq结构：将分解为一阶及二阶系统的串联，每级结构：将分解为一阶

13、及二阶系统的串联，每级子系统都用典范型实现。子系统都用典范型实现。1 1/ /z z1 1/ /z z1121)(nx1121)(ny1 1/ /z z1 1/ /z z122212221 1/ /z z1 1/ /z zM1M2M1M2.q特点：方便调整极点和零点；但分解不唯一特点：方便调整极点和零点；但分解不唯一; ;实际中需要优化；实际中需要优化；所用的存储器的个数最少。所用的存储器的个数最少。注意：注意：* *如果有奇数个实零点，则有一个如果有奇数个实零点，则有一个同样，如果有奇数个实极点，则有一个同样，如果有奇数个实极点，则有一个* *通常通常M=NM=N时，共有时，共有 （N+1N

14、+1）/2/2节，符号节，符号(N+1)/2(N+1)/2 表示取（表示取（N+1)/2N+1)/2的整数。的整数。20k20knBy expressing the numerator and the denominator polynomials of the transfer function as a product of polynomials of lower degree, a digital filter can be realized as a cascade of low-order filter sectionsnConsider, for example, H(z) =

15、P(z)/D(z) expressed as)()()()()()()()()(321321zDzDzDzPzPzPzDzPzHnExamples of cascade realizations obtained by different pole-zero pairings are shown belownExamples of cascade realizations obtained by different ordering of sections are shown below based on pole-zero-pairings and orderingnDue to finit

16、e wordlength effects, each such cascade realization behaves differently from others)()()()()()()(zDzDzDzPzPzPzH321221 There are altogether a total of 36 different cascade realizations of4 4、并联型、并联型(Paralle Form)(Paralle Form)将因式分解的将因式分解的H(z)展成部分分式：展成部分分式：()MN122NNN；其中，其中，均为实数，均为实数，与复共轭复共轭当当MNM，有（，有（

17、N-1）阶零点。）阶零点。二、二、FIR结构结构1、横截型、横截型(又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）X(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)z -1z -1z -1通过转置定理，可得另一结构（见教材图通过转置定理，可得另一结构（见教材图5.13）；）；特点特点: N个延迟单元；不方便调整零点。个延迟单元；不方便调整零点。将将H(z)分解为二阶实系数因子的乘积分解为二阶实系数因子的乘积:2 2、级联型结构：、级联型结构： 特点特点: 便于调整零点；所需系数便于调整零点；所需系数 多，乘法次数也多。多，乘法次数也多。/2112

18、01201( )( )()NNnkkknkH Zh n ZZZik注：注：N/2表示取表示取N/2的整数部分，如的整数部分，如N N为偶数时，为偶数时，N-1N-1为奇数，这时因为有奇数个根，所以为奇数，这时因为有奇数个根，所以33,12N2k中有一个为零。中有一个为零。当当N N为奇数时的结构如下：为奇数时的结构如下：120111213,( )NH zzz时12011121( )( )Y zX zzz011121( )( )(1)(2)y nx nx nx n3 3、频率采样型结构、频率采样型结构（不作要求）（不作要求）：1） 理论型：理论型：由由kNkWzkzHkHnh| )()()(以及

19、频率采样表达的内插公式得：以及频率采样表达的内插公式得：10101)(1)(1)(1)1 ()(NkkcNkkNNzHNzHzWkHNzzH其中：其中： 为梳状滤波器；为梳状滤波器； ( (谐振器谐振器) )其极点正好与零点对消。其极点正好与零点对消。NczzH1)(11)()(zWkHzHkNk关于梳状滤波器说明关于梳状滤波器说明)sin(2)(2NjceHNczzH1)()(jceH02N2N4kN21 1梳状滤波器传输函数梳状滤波器传输函数:梳状滤波幅频特性梳状滤波幅频特性:梳状滤波相频特性梳状滤波相频特性:mNeHjc22)(arg频率抽样型结构的优缺点频率抽样型结构的优缺点: 便于控

20、制滤波器频率响应，因为滤波器的便于控制滤波器频率响应，因为滤波器的系数系数H(k)就是在就是在 处的频率响应值。处的频率响应值。 需要复数乘法运算需要复数乘法运算; 理论上谐振器的极点正好与零点对消，但理论上谐振器的极点正好与零点对消，但实际上的有限字长效应，使之不能对消，系统将不实际上的有限字长效应，使之不能对消，系统将不稳定。稳定。2kN1NW0NW)1( NNW1/z1/z1/z1/z1/z1/zNz1 11/N1/N. . . .)(ny)(nx1 11 11 1)0(H) 1 (H) 1(NH理论型理论型频率采样型结构图示频率采样型结构图示2 2）实际型）实际型 ( ( 解决量化误差

21、引入的不稳定解决量化误差引入的不稳定 ) ) 第一步第一步: :采样点修正为采样点修正为: : ;1kNrWr)()(| )(kHkHzHrrWzkNZ Z平面采样点图平面采样点图(N=8)(N=8)Z Z平面平面1 1jj rn将零极点移至半径为将零极点移至半径为r r的圆上的圆上2jkNkzre极点： 0,1,.,1kN1)(1)1 ()(101NkkNrNNzrWkHNzrzH1011)(1)1 (NkkNNNzrWkHNzr 第二步第二步: :内插公式为内插公式为: : 1NrW0NrW)1( NNrW1/z1/z1/z1/z1/z1/zNNzr1 11/N1/N. . . .)(nx

22、1 11 11 1)0(H) 1 (H) 1(NH)(ny实际型实际型4、快速卷积结构、快速卷积结构10),()()()()(21NNnnhnxnhnxnyL1, 010),()(11LnNNnnxnx1, 010),()(22LnNNnnhnhL点点DFTL点点DFTXL点点IDFTx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)n结构图示为结构图示为:设设: 有有:5、线性相位、线性相位FIR滤波器的结构滤波器的结构01nNFIR滤波器单位抽样响应滤波器单位抽样响应h(n)为实数，为实数，且满足：且满足：( )(1)h nh Nn 偶对称偶对称：( )(1)h nh Nn 或奇对称：或奇对称：即对称中心在即对称中心在 (N-1) / 2处处则这种则这种FIR滤波器具有严格线性相位。滤波器具有严格线性相位。N为奇数时为奇数时10( )( )NnnH zh n z11112210121( )( )2NNNnnNnnNh n zhzh n z1112(1)201( )2NNnNnnNh nzzhz h(n)偶对称，取偶对称，取“+”102Nhh(n)奇对称，取奇对称，取“-”，且，且N为偶数时为偶数时10( )( )NnnH zh n z11202( )( )NNnnNnnh n zh n z12(1)0(