平行四边形3平行四边形的判定

1、九年级数学(上)第三章 证明(三)3.回顾与思考(1) 证明(三)小结阳泉市义井中学阳泉市义井中学 高铁牛高铁牛驶向胜利的彼岸挑战“记忆”w说说平行四边形,矩形,菱形,正方形之间的关系.w“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角”角的证明过程有什么联系?w依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是特殊四边形吗?你能证明你的结论吗?回顾 思考驶向胜利的彼岸“公理”知多少w本套教材选用如下命题作为公理 :w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;w4.两角及其夹边对应

2、相等的两个三角形全等;w5.三边对应相等的两个三角形全等;w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.回顾 思考驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾 思考平行四边形的平行四边形的性质性质w定理:平行四边形的对边相等.驶向胜利的彼岸w证明后的结论,以后可以直接运用.

3、bdca四边形abcd是平行四边形.ab=cd,bc=da.w定理:平行四边形的对角相等.四边形abcd是平行四边形.a=c, b=d.定理:平行四边形的对角线互相平分.四边形abcd是平行四边形.co=ao,bo=do.bdcao定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.mnpq,abcd,ab=cd.bdcamnpq回顾 思考平行四边形的判定平行四边形的判定驶向胜利的彼岸w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾 思考wab=cd,ad=bc,w四边形

4、abcd是平行四边形.bdcabdcaowabcd,ab=cd,w四边形abcd是平行四边形.wao=co,bo=do,w四边形abcd是平行四边形.wa=c,b=d.w四边形abcd是平行四边形.等腰梯形的性质w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理:等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形abcd中,adbc,wab=dc,wac=db.w在梯形abcd中,adbc,wab=dc,wa=d, b=c.bdcabdcaw证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形abcd中,adbc,a=d或b=c,ab=dc.定理

5、:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形abcd中,adbc,ac=db.ab=dc.bdcabdcaw证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考三角形中位线的性质三角形中位线的性质驶向胜利的彼岸w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.回顾 思考wde是abc的中位,debca.21bcde debc,

6、abchdefg驶向胜利的彼岸四边形之间的关系四边形之间的关系w四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形回顾 思考矩形的性质矩形的性质,推论推论驶向胜利的彼岸w定理:矩形的四个角都是直角.w定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾 思考w四边形abcd是矩形,.21abcd a=b=c=d=900.d

7、bcadbcawac,bd是矩形abcd的两条对角线.ac=bd.在abc中,acb=900,ad=bd,abcd矩形的判定矩形的判定,直角三角形的直角三角形的判定判定驶向胜利的彼岸w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.回顾 思考wa=b=c=900,四边形abcd是矩形.dbcadbcawac,bd是abcd的两条对角线,且ac=db.四边形abcd是矩形.abcd acb=900.21abcd 在abc中,ad=bd,菱形的性质菱形的性质驶向胜利的彼岸w定理:菱形的四条边都相

8、等.w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.回顾 思考w四边形abcd是菱形,ab=bc=cd=ad.wac,bd是菱形abcd的两条对角线.acbd.cbdadbcao菱形的判定菱形的判定驶向胜利的彼岸w定理:四条边都相等的四边形是菱形.w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.回顾 思考w在四边形abcd中, wab=bc=cd=ad,四边形abcd是菱形.wac,bd是abcd的两条对角线,acbd.四边形abcd是菱形.cbdadbcao正方形的性质正方形的性质驶向胜利的彼岸w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直

9、平分,每条对角线平分一组对角.回顾 思考w四边形abcd是正方形,a=b=c=d=900,ab=bc=cd=da.w四边形abcd是正方形,ac=bd;acbd;ao=co,bo=do;ac平分bad和bcd,bd平分adc和abc.abcdabcdo正方形的判定正方形的判定驶向胜利的彼岸w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.w定理:对角线相等的菱形是正方形.w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.回顾 思考w四边形abcd是菱形,a=900,四边形abcd是正方形.w四边形abcd是菱形,ac=db.四边形abcd是正方形.四边形abcd是正方形.abcdabcdow四边形abcd是矩形,ac

10、bd,复习题复习题(a组组)w1.已知:如图,四边形abcd是平行四边形,p,q是对角线bd上的两个点,且bp=dq.w求证:ap和qc互相平行且相等.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w2.证明:如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么依次连接它的四边中点得到一个正方形.abcdpqdbcagefg复习题复习题(a组组)驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w3.已知:如图,四边形abcd是一个正方形,e是bc延长线上的一个点,且ac=ec.w求:dae的度数.w4.如图,在abcd中,已知ab4cm,bc9cm,b=300.w求：abcd的面积.bdeaccdab复习题复习题(a组组)

11、驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w5.如图所示,把一张矩形纸片abcd沿对角线bd折叠,重合部分是什么图形?试说明理由.w6.一个菱形对角线的长是60cm,周长是200cm.w求:(1)另一条对角线的长度； (2)这个菱形的面积.adcbcadbef复习题复习题(a组组)w7.已知:如图,ad是abc的角平分线，deac，交ab于点e,dfab,交ac于点f.w求证: 四边形aedf是菱形.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w8.已知:如图, abc的两条高为be，cf，点m为bc的中点.w求证:memf.acbefdacbefm复习题复习题(a组组)w9.已知:正方形的对角线的长为

12、l.w求:它的周长和面积.驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w10.已知:如图,abc的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点为顶点组成一个新三角形;以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形. w求:这个小三角形的周长.dbcagefhk复习题复习题(b组组)驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w1.已知:如图,四边形abcd是平行四边形,f,g是ab边上的两个点,且fc平分bcd,gd平分adc, fc与gd相交于点e.w求证:af=gb.w2.已知:如图,abcd各角的平分线相交于点e,f,g,h. w求证:四边形efgh是矩形.abcdgfedcbagehf复习题复习题(c组

13、组)驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w1.已知两条对角线,利用尺规作一个菱形.w2.已知:如图,abc的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点为顶点组成一个新三角形;以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形; w求:(1)这两个小三角形的周长和面积; (2)第n个小三角形的周长和面积.dbcagefhk随堂练习驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w求证: abc是等腰三角形.w已知:d,e,f分别是abc中ab,bc,ca的中点,四边形decf是菱形.abcdef三角形的重心三角形的重心驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w我们知道,三角形的三条中线交于一点.w这一点叫做三角形

14、的重心.w三角形的重心分每一条中线的比为1 2(重心到每边的中点距离重心到所对角的顶点的距离).w你能证明这个命题吗?w与同伴交流你的想法和具体的证明方法.w三角形的重心有一个重要的几何性质:abcdefg心动 不如行动三角形重心的几何性质三角形重心的几何性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w已知:如图,ae,bf,cd是abc的三条中线,且相交于点g.w分析:要证明ge ga=1 2,可以考虑折半法(如取ga的中点m,gb的中点n).w转化为证明am=mg=ge,bn=ng=gf.w分别连接fe,en,nm,mf.w求证:ge ga=gf gb=gd gc=1 2.abcdefgm n

15、w从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明.w怎么样,在老师的帮助下,你可以写出证明过程了吗?w由此你又悟出了些什么?三角形重心的几何性质三角形重心的几何性质驶向胜利的彼岸 我思我思,我进步我进步w已知:如图,ae,bf,cd是abc的三条中线,且相交于点g.w证明:取ga的中点m,gb的中点n,分别连接fe,en,nm,mf.wf,e是ac,bc的中点,w femn,fe=mn.w求证:ge ga=gf gb=gd gc=1 2.abcdefgm nw四边形fenm是平行四边形.wmg=ge,ng=gf.21abfe feab,mnab,.21abmn wam=mg=ge,bn=ng=gf.w ge ga=gf gb=1 2.w同理,gd gc=1 2.wge ga=gf gb=gd gc=1 2.知识的升华独立独立作业作业p93习题3.6 1,2题.祝你成功！p93习题3.6