第三章-计算机控制系统的基本设计方法

1、d (z)1t ses( )pgsr(s)c(s)若忽略量化效应，计算机控制系统即为采样控制系统。若忽略量化效应，计算机控制系统即为采样控制系统。若将连续控制对象连同它前面的零阶保持器一起进行离若将连续控制对象连同它前面的零阶保持器一起进行离散化，则采样控制系统即可简化为纯粹的离散系统来分析散化，则采样控制系统即可简化为纯粹的离散系统来分析和设计。和设计。d (z)1t ses( )pgsr(s)c(s)( )( )( ) xa x tb u tyc x t设连续时间系统的状态方程和输出方程设连续时间系统的状态方程和输出方程零阶保持器零阶保持器( )() (1) u tu ktkttkt00(

2、)()0( )( )( )ta t ta ttx tex teb ud(1)()(1)()(1) ()()()()kta ta kttktkta ta kttktx ktex kteb u kt dex kted b u kt0(1) ()()ta ta tx ktex kte dtb u kt0 , (1)tkttkt( )()u tu kt取取且且令令tktt0(1) ()()ta tax ktex kte d b u ktfg(1)( )( )( )( )x kfx kg u ky kc x ka tfe0tage d b11()a ta tt tt teelsia11()a ta tt

3、 tt tlfeesia1()( )()( )adjsiab ssiasias111( )nnnnssa sas a111( )nnnb sb sbsb1111() 1,2, 2,3,kkkkkbiatr a bknkba baikn kakb1111()( )n kna tkksesiabsll(1)x k +fg1z i( )u k( )x kl( )v kcd( )y k(1)( )( )( )( )( )x kfx kg u kyd ukc x kk( )( )( )u kv klx k(1)x k +fg1z i( )u k( )x kl( )v kcd( )y k(1)( )( )

4、( )( )( )x kfx kgu kydukcx kk(1)() ( )( )( )() ( )( )x kfgl x kgv ky kcl xddkv k(1)x k +fg1z i( )u k( )x kl( )v kcd( )y k(1)( )( )( )( )( )x kfx kgu kydukcx kk(1)() ( )( )( )() ( )( )x kfgl x kgv ky kcl xddkv k0zif0zifgl(1)x k +fg1z i( )u k( )x khc( )y k(1)( )( )( )( )x kfx kgu ky kcx k(1)() ( )( )(

5、 )( )x kfh c x kg u ky kc x k0zif0zifhc(1)( )( )( )( )x kfx kgu ky kcx k(1)() ( )( )( )( )x kfg k c x kg u ky kc x k0zif0zifgkc(1)x k +fg1z i( )u k( )x kkc( )y k( )v k222exp()exp(2)12exp() 21tsddndssddssajzetjbtjzz mrmrcc0. 0 2. 0 4. 0 6. 0 8. 1 0sn4tns4t2dn121,2nns1j 1nrank gfgfgn 例例1 已知离散状态方程已知离散状

6、态方程011(1)( )( )0.1611 x kx ku k试分析系统的状态能控性试分析系统的状态能控性解解:11 1211.16 nrank gfgfgrank系统状态系统状态完全能控完全能控例例2 已知离散状态方程已知离散状态方程111(1)( )( )0.2500.5x kx ku k试分析系统的状态能控性试分析系统的状态能控性解解110.510.50.25 nrank gfgfgrank系统状态不完全能控系统状态不完全能控 1nrank gfgfgn sn4tns4t2dn121,2nns1j21,2nns1j (1,2, )istizein (1,2, )istizein2exp(

7、)2exp(2)1tsndddsszetjtj(1)x k +fg1z i( )u k( )x kl( )v kcd( )y k(1)() ( )( )( )() ( )( )x kfgl x kgv ky kcl xddkv k假设要求闭环系统（假设要求闭环系统（状态反馈后状态反馈后）期望的极点为）期望的极点为12, , n则经过则经过状态反馈后状态反馈后系统的系统的期望的期望的闭环特征多项式为闭环特征多项式为11111( )()()() =nnnnnp zzzzzp zpzp(1)( )( )( )( )( )x kfx kgu kydkcx ku k1110nnnnzifza zaza原

8、系统（原系统（状态反馈前状态反馈前）闭环特征方程为）闭环特征方程为(1)x k +fg1z i( )u k( )x kl( )v kcd( )y k(1)() ( )( )( )() ( )( )x kfgl x kgv ky kcl xddkv k0zifgl而通过状态反馈构成的闭环系统的闭环特征多项式为而通过状态反馈构成的闭环系统的闭环特征多项式为11111( )()()() =nnnnnp zzzzzifgzp zpzpl2( )1( )( )sg su ss姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参考方向方向姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参考方向方向1,x2,x1122120

9、1000110 xxuxxxyx(1)( )( )( )( )x kfx kg u ky kc x k姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参考方向方向20110.101010.00520.1a tta ttfetge dtbt21,211.83.12 nnsjj10.0050.01520.10.1nrank gfgfgrank系统状态完全能控系统状态完全能控姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参考方向方向stze17.91,20.8350.80.25ojej212( )()()1.60.7p zzzzz12lll设状态反馈增益阵设状态反馈增益阵姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参

10、考方向方向0zifgl而通过状态反馈构成的闭环系统的闭环特征多而通过状态反馈构成的闭环系统的闭环特征多项式为项式为12221121010.10.00501010.1(0.10.0052)0.0050.11zifglzllzllzll2( )1.60.7p zzz对应项系数相等，可得对应项系数相等，可得21120.10.00521.60.0050.110.7llll 解之，得解之，得 12103.5lll10z-1z-110.110.0050.1x1(k+1)x1(k)x2(k+1)x2(k)u(k)3.5v(k)(1)( )( )( )( )x kfx kg u ky kc x kfg1zic

11、()x k(1)x k()y k()u kfg1zic ()x k (1)x k()y k(1)( )( )( )( )x kfx kg u ky kc x k(0)(0)xx( )( )x kx k(1)( )x kfx k( )( )( )x kx kx k( )( )( )0 x kx kx k( )( )( )0 x kx kx kfg1zic()x k(1)x k()y k()u kfg1zic ()x k (1)x k()y k(1)( )( )( )( )x kfx kg u ky kc x k(1)( )( )( )( )x kfx kg u ky kc x kg1zicf()

12、x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kk(1)( )( )( )( )( )( )x kfx kg u kk y kc x ky kc x k(1)(1)(1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x kx kx kfx kg u kfx kg u kk c x kc x kf x kx kk c x kx kfk c x kg1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kk(1)(1)(1)( )x kx kx kfk c x k)

13、0(x)(kx如果给出观测器的极点，可求得如果给出观测器的极点，可求得（状态重构误状态重构误差的特征方程差的特征方程） 1121( )()()()0 nnbnnzzzzzzzzz为了获得所需要的状态重构性能，应有为了获得所需要的状态重构性能，应有 通过比较两边通过比较两边z z 的同次幂的系数，则一共可得到的同次幂的系数，则一共可得到n n个代数方程。个代数方程。g1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kkb( )zifkcz如果给出观测器的极点，可求得如果给出观测器的极点，可求得（状态重构误状态重构误差的特征方程差的

14、特征方程） 1121( )()()()0 nnbnnzzzzzzzzzg1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kkb( )zifkcz对于多输出（对于多输出（r1）的情况，增益矩阵）的情况，增益矩阵k 共有共有nr个未知元素，而总个未知元素，而总共只有共只有n个方程，仅根据上式并不能完全确定个方程，仅根据上式并不能完全确定k ，需要同时附加其，需要同时附加其他的限制条件才能确定他的限制条件才能确定k 。对于单输出对于单输出（r=1）情况，情况，k 中未知元素个数与代数方程个数中未知元素个数与代数方程个数n相相等，一般可

15、求出等，一般可求出k 的唯一解。的唯一解。如果给出观测器的极点，可求得如果给出观测器的极点，可求得（状态重构误状态重构误差的特征方程差的特征方程） 1121( )()()()0 nnbnnzzzzzzzzzg1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kkb( )zifkcz对于任意的极点配置，对于任意的极点配置， k 具有唯一解（状态观测器存在）的充分具有唯一解（状态观测器存在）的充分必要条件是必要条件是。系统状态完全能观测的充要条件系统状态完全能观测的充要条件1ncc franknc fb( )zifkcz由于矩阵转置后

16、其行列式不变，因此上式可重写为由于矩阵转置后其行列式不变，因此上式可重写为 b( )tttzifc kz将上式与将上式与 对比，并建立如下的对应关系式对比，并建立如下的对应关系式 0zifgl( )zifglp zb( )tttzifc kzftfgtcltk( )p zb( ) z110001( )nlgfgfgp f参考参考 的的( )zifglp z不难求得不难求得 将上式两边转置，得将上式两边转置，得 11b0001()ntttttttkcf cfcf1b10( )01 ncc fkfc f1tncc fc f系统能观性矩阵系统能观性矩阵 例例 单轴卫星姿态控制系统离散状态方程单轴卫星

17、姿态控制系统离散状态方程112221122b11010.10.11001011(2)(10.1)( )=kzkzifkczkkzzkzkk zz 10.10.005(1)( )( )010.1( )10( )x kx ku ky kx k假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特征方程的两个根配置在原点，即征方程的两个根配置在原点，即 。2b( )=zz解：解：姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参考方向方向通过比较对应项系数通过比较对应项系数得得1122010.10kkk12210kkk21122(2)(10.1)

18、=zifkczkzkkz利用由利用由11b1010.110.11002( )0010110.11101 ncc fkfc fg1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kkl当采用观测器结构时当采用观测器结构时,实际实际的控制信号的控制信号u(k)直接反馈的直接反馈的是状态重构是状态重构 ，而不是，而不是真实状态真实状态 。( )x k( )x k预报观测器现时的状态重构预报观测器现时的状态重构 只用到了前一时刻的输出量只用到了前一时刻的输出量，也即在现时的控制信号中只包含前一时刻输出量的信息，输出，也即在现时的控制信号中

19、只包含前一时刻输出量的信息，输出信号将不能得到及时的反馈。采样周期较长时，这种控制方式影信号将不能得到及时的反馈。采样周期较长时，这种控制方式影响系统的性能。响系统的性能。( )x k(1)y k (1)( )( )( )( )( )( )x kfx kg u kk y kc x ky kc x k现时观测器方程现时观测器方程 ) 1() 1() 1() 1( )()( ) 1( kkkkkkkxcykxxguxfx在具体实现上述现时观测器时在具体实现上述现时观测器时,由于上式的计算总是需要一定由于上式的计算总是需要一定时间，因此实际送出的控制信号时间，因此实际送出的控制信号 总是比量测总是比

20、量测量量 要延迟一段时间要延迟一段时间。( )( )u klx k ( )y k只有延时只有延时与采样周期与采样周期t t相比很小时，采用现时观测器才是合相比很小时，采用现时观测器才是合适的，否则应采用预报观测器适的，否则应采用预报观测器。 ) 1() 1() 1() 1( )()( ) 1( kkkkkkkxcykxxguxfx状态重构误差方程：状态重构误差方程： (1)(1)(1)x kx kx k( )( )(1)(1)(1)fx kgu kx kk y kcx k( )( )fkcfx kx k( )( )( )( )(1)(1)fx kgu kfx kgu kk cx kcx k(

21、)( )( )( )( )( )( )( )fx kgu kfx kgu kk cfx kcgu kcfx kcgu k( )fkcf x k现时观测器特征方程：现时观测器特征方程： (1)( )x kfkcf x k( )0bzifkcfz1121bb100( )( )0011 nnc fcc fc fkff fc fc f对照对照预报观测器预报观测器特征方程及其利用特征方程及其利用： 11121b1100( )001110.210.110001010101101011010110 nnccc fc fkf ff fc fc f解：解： 例例 单轴卫星姿态控制系统离散状态方程单轴卫星姿态控制

22、系统离散状态方程10.10.005(1)( )( )010.1( )10( )x kx ku ky kx k假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特征方程的两个根配置在原点，即征方程的两个根配置在原点，即 。2b( )=zz姿态控制姿态控制发动机发动机惯性参考惯性参考方向方向前面讨论的观测器都是根据输出量重构出全部状态，观测器的阶前面讨论的观测器都是根据输出量重构出全部状态，观测器的阶数等于状态个数，属于全阶状态观测器数等于状态个数，属于全阶状态观测器 。如果测量的部分状态包含有严重的噪声，则可通过全阶观测器重如果测量

23、的部分状态包含有严重的噪声，则可通过全阶观测器重构出全部状态，利用观测器进行滤波，减少噪声干扰。构出全部状态，利用观测器进行滤波，减少噪声干扰。如果能量测的状态只是其中一部分，则这些状态没必要进行重构，如果能量测的状态只是其中一部分，则这些状态没必要进行重构，只需要根据能量测得部分状态重构其余不能量测的状态，即只需只需要根据能量测得部分状态重构其余不能量测的状态，即只需构造构造降阶观测器降阶观测器。 将原状态向量分成两部分，一部分是可以直接测量将原状态向量分成两部分，一部分是可以直接测量的的 ，一部分是需要重构的，一部分是需要重构的 。a( )x kb( )x k被控对象的离散状态方程可以分块

24、表示为被控对象的离散状态方程可以分块表示为 aaaabaabbabbbb(1)( )(1)( ) (1)( )x kffx kgx ku kx kffx kg (1)( )( )( )(1)( )( )( )aaaaabbabbaabbbbx kf x kf x kg u kx kf x kf x kg u k即即(1)( )( )( )(1)( )( )( )bbbbbaabaaaaaabbx kf x kf x kg u kx kf x kg u kf x k也即也即(1)( )( )( )( )x kfx kgu ky kcx k上式与上式与 比较，得比较，得( ) ( ) ( ) (

25、)( )( ) (1)( )( ) bbbbaabaaaaaabx kx kffgu kf xkg u ky kxkf xkg u kcf (1)( )( )( )(1)( )( )( )bbbbbaabaaaaaabbx kf x kf x kg u kx kf x kg u kf x k( )(1)(gu kfy kx kxx kkc(1)( )(1)()(baabaabbaaaabbbbx kf xx kx kxf x kg u kkkg u kff(1)( )( )( )( )x kfx kg u kk y kc x k(1)( )( )( )(1)( )( )( )bbbbbaaba

26、aaaaabbx kf x kf x kg u kkx kf x kg u kf x k （k+1）时刻的状态重构）时刻的状态重构 也用到了（也用到了（k+1）时刻的量测）时刻的量测量量 ，实质上是，实质上是降阶的现时观测器方程降阶的现时观测器方程。(1)ax k b (1)x k (1)(1)(1)( )( )( ) ( )( )( ) (1)( )( )( ) ( )( )( )( )( )bbbbbbbaabbbbbaabaaaaaabbbbbbabbabbbbabbx kx kx kf x kf x kg u kf x kf x kg u kkx kf x kg u kf x kfx

27、kx kkf x kf x kfk fx k ( )0bbabbzifk fz ( )0bbabbzifk fz b( )=0zifkcz 11b10()01 ababbbbbnabbbff fkff f1n为为 ( )bx k的维数。单输出时，的维数。单输出时， 。 11nn10.11 1aaabbabbfffff例：例： 单轴卫星姿态控制系统离散状态方程单轴卫星姿态控制系统离散状态方程10.10.005(1)( )( )010.1( )10( )x kx ku ky kx k假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特

28、征方程的根配置在原点，即征方程的根配置在原点，即 。假定。假定 是能量测的状态，是能量测的状态， 是需要估计的状态。是需要估计的状态。b( )=zz1x2x1 0.1( ) bbabbzifk fzkzz10k解：解：(1)( )( )( )( )kkkkkxfxguycx(1)( )( )( )( ) ( )( )kkkkkkk xfxguk ycxulxg1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kklg1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y k

29、kl )(ky)(kx)(kx(1)( )( )( )( )x kfx kgu ky kcx k(1)( )( )( )( ) ( )( )x kfx kgu kk y kcx ku klx k g1zicf()x k(1)x k( )y k( )u k( )v kg1zicf( )x k(1)x k( )y kkl(1)( )( )( )( ) ( )( )x kfx kgu kk y kcx ku klx k ( )( )( )x kz kx k(1)( )( )( )( )x kfx kgu ky kcx k(1)( )( )( )( )x kfx kgu kfx kglx k(1)(

30、)( )( )( )( )( )( )( )( )() ( )x kfx kgu kk y kcx kfx kglx kk cx kcx kkcx kfglkc x k(1)( )(1)(1)( )x kfglx kz kx kkcfglkcx k (1)( )( )( )( )(1)( )() ( )x kfx kgu kfx kglx kx kkcx kfglkc x k( )fglzifgl zzikcfglkckczifglkc（第二列加到（第二列加到第一列）第一列）( )zifglgl zzifglzifglkc（第二行减去第一行）（第二行减去第一行）( )zifglgl zzifg

31、lzifglkc( )0zifglgl zzifkc( ) zzifglzifkc（根据状态反馈与状态观测器特征方程）（根据状态反馈与状态观测器特征方程）( )( )( )b zp z z )( )(kkxlu kkkkk)( )()()( ) 1( xcykguxfx )()( )() 1( kkkkyxkcglfx zzzzkkcglfilyud1)()()()()()()(1zzzkykcglfilu( )( )( )y kcx kw k(1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )() ( )( )x kfx kgu kk y kcx kfx kglx kk cx

32、kw kcx kkcx kfglkc x kkw k(1)( )( )( )( ) ( )( )x kfx kgu kk y kcx ku klx k (1)( )0(1)( )(1)( )x kfglx kz kw kx kkcfglkcx kk 控制对象控制对象零阶保持器零阶保持器数字控制器数字控制器( )u k( )u t( )y t( )0r t ( )e k1( )(101)g sss控制对象控制对象零阶保持器零阶保持器数字控制器数字控制器( )u k( )u t( )y t( )0r t ( )e k1( )(101)g sss1xy2xy 12txxx112212( )( )01

33、0( )( )00.1( )0.1( )( )10( )x tx tu tx tx tx ty tx t控制对象控制对象零阶保持器零阶保持器数字控制器数字控制器( )u k( )u t( )y t( )0r t ( )e k112212(1)( )10.95160.04837( )(1)00.9048( )0.09516( )( )10( )x kx ku kx kx kx ky kx k21,2310.52nnsjj 30.521,2jzestze控制对象控制对象零阶保持器零阶保持器数字控制器数字控制器( )u k( )u t( )y t( )0r t ( )e k212( )0.7860.368p zzzzzzz11001( )nlgfgfgp f12101(0.7860.368 )0.048370.138920.5821.0646010.095160.086100.47559.508615.34190.5821.06460110.50915.341800.47556.11638.648lgfg