广义相对论不可能描述太阳系行星运动轨道的严格证明(重排修正版)

1、广义相对论不可能描述太阳系行星椭圆轨道周期运动的严格证明（注）-数值方法精确证明广义相对论行星轨道存在第三极点导致严重变形- 梅晓春 俞平（1）福州原创物理研究所 （2）美国Cognitech计算技术研究所内容摘要 按照黎曼几何与广义相对论，粒子在引力场中自由降落时沿短程线运动。广义相对论采用弧长作为变分参数建立短程线方程，在太阳系弱引力场中做牛顿近似，推导行星运动方程时用到近似条件，得到粒子的运动轨道。本文指出这个近似条件是错误的，它会导致理论的自我纠缠，引起严重的矛盾。按照正确的计算方法，就无法得到现有广义相对论的运动方程。为了避免自我纠缠和近似计算的不确定性，本文采用任意变分参数建立短程

2、线方程，严格证明广义相对论的运动方程只能描述物体的抛物线轨道的非周期运动，不可能描述椭圆轨道和双曲线轨道运动。因此对于太阳系中行星的运动，广义相对论是无效的。广义相对论广义光在引力场中的运动方程也存在同样的问题。本文进一步采用计算机数值方法，证明按照广义相对论的运动方程，行星运动轨道存在三个实数极点，第三个极点位于太阳内部施瓦西半径外0.3毫米的地方。太阳系中的行星沿两个相连的三极点类椭圆的轨道运动，所有的行星都必将沿小椭圆轨道进入太阳内部被毁灭。恒星在星系中运动时，也存在相同的问题，这显然与事实不符。如果考虑广义相对论运动方程的近似解，另外一种替代图像是，水星不进入第三极点，但轨道要发生严重

3、的形变。水星绕日一周近日点距离增加9.4万千米，远日点距离减小7.4万千米。水星绕日一周轨道的半正焦弦要改变几千米，这种改变是不对称的和可以累加的，会导致轨道严重变形最终崩溃。然而天文观察并没有发现水星轨道这样大的变形，广义相对论的近似解也是错误的。本文最后讨论水星近日点的进动的问题，指出其他行星微扰效应计算的误差可能远大于百年43，广义相对论的计算实际上没有意义。因此本文的结论是，广义相对论对牛顿引力理论的修正不成立，爱因斯坦弯曲时空引力理论是不可能的。现代物理学的引力理论必须在平直时空基础上，通过对牛顿引力理论的改造来重建。关键词：广义相对论，牛顿引力理论，黎曼几何，短程线方程，施瓦西解，

4、椭圆轨道，抛物线轨道一 前 言广义相对论认为，有物质存在的时空是弯曲的。通过求解爱因斯坦引力场方程，得到描述弯曲时空的度规张量。然而时空间弯曲是无法直接测量的，需要通过粒子在引力场中的运动轨道来显示。按照黎曼几何，粒子在弯曲空间中沿短程线运动。因此广义相对论还需要采用短程线方程，来描述粒子在引力场中的运动轨迹。广义相对论一般采用弧长作为变分参数，来建立短程线方程。利用爱因斯坦引力场方程的球对注：原文发表于前沿科学2016年12月第1期和第4期，本文做重新编排修改，请以本文为准。称的施瓦西度规，得到太阳系的行星运动方程。在极坐标系中令，广义相对论的行星椭圆轨道方程是【1】，【2】： （1）设是太

5、阳质量，常数是太阳的引力半径，是行星椭圆轨道的长半径。与牛顿引力理论相比，广义相对论的运动方程多了一个形式为的修正项。广义相对论利用上式计算水星近日点进动，结果被认为与观察一致。广义相对论对牛顿引力理论的修正于是被认为是正确的，水星近日点进动问题也就成了广义相对论最重要的实验基础。然而在推导运动方程（1）时，广义相对论采用了弧元近似条件，导致以下严重问题：1. 在施瓦西度规公式左边令，右边却仍然保持原样，公式等号两边就不相等。由此会引起理论的自我纠缠，导致严重的矛盾，短程线方程也不能用，不可能得到广义相对论的运动方程。2. 采用正确的近似计算方法，广义相对论的修正项也变得不一样。用它计算水星近

6、日点进动和光线的偏折等，不可能得到现有广义相对论的结果。3. 为了消除理论的自我纠缠和近似形式带来的不确定性，本文采用任意变分参数建立短程线方程，导出球对称引力场中广义相对论的运动方程。严格证明在太阳系弱引力场中，行星只能做抛物线轨道运动，不可能做椭圆和双曲线轨道运动，因此广义相对论在太阳系引力场中是无效的，所得到的行星与光的运动方程都是错误的。这个结果对广义相对论是致命的，不可挽救的。另一方面，广义相对论运动方程的轨道极点由一元三次方程确定，有一个或三个实数解。由于数学上的困难，目前计算引力场中光和行星轨道运动时都采用近似方法，导致许多重要信息丢失。本文采用计算机数值计算方法证明，严格按照广

7、义相对论的运动方程，太阳系行星绕日运动轨道存在三个实数极点。第三个极点位于太阳内部施瓦西半径外0.3毫米的地方，行星沿两个相连的三极点类椭圆的轨道运动。因此如果广义相对论正确，行星必将沿小椭圆轨道进入太阳内部被毁灭，这显然与事实不符。太阳系中其他行星的牛顿引力的微扰具有的形式，无法消除广义相对论修正的影响。对于恒星绕星系中心运动，广义相对论的修正远大于星系中其他恒星的微扰作用，以至于其他恒星的存在可以忽略。因此广义相对论修正也会使星系中所有的恒星进入第三个极点，星系核的高温状态使恒星不可能稳定存在。这显然与事实不符，宇宙中太阳系和银河系已经稳定存在了几十亿年。外太空恒星发出的光进入太阳系引力场

8、后，其轨道则是单极点的。同样可以证明，该极点在离太阳中心约5549米的地方。因此外太空恒星发出的光要进入太阳内部被消融，不可能被地球人观察到，地球的夜空应当是黑暗的（对此问题作者将另文讨论）。然而事实并非如此，广义相对论的光在太阳引力场中的两个实验检验都不成立。如果考虑广义相对论的近似解，另外一种近似的替代图像是，行星不进入第三极点。三极点运动变成两个极点运动，但轨道极点的位置不断变化的，轨道同时发生严重变形。水星绕日一周近日点距离变大9.4万公里，远日点距离变小7.4万公里。水星绕日运动一周正焦弦发生的改变是几千米，而且是不对称的和可累加的，轨道严重变形，会最终崩溃。按照这种图像，轨道对称性

9、破坏的程度是如此的严重，使广义相对论水星近日点进动的计算变得微不足道。由于这些现象也从未被观察到，广义相对论对牛顿引力理论的修正同样不成立。本文最后讨论水星近日点进动问题。指出由于以下三个原因，广义相对论对水星近日点的计算实际上没有意义。1. 按照广义相对论的牛顿近似，天体只能做抛物线运动，不能做椭圆轨道运动。用广义相对论的运动方程计算水星近日点进动就无从谈起。2. 用牛顿理论计算太阳系中其他行星对水星运动的微扰效应时，使用了很粗糙的计算方法，导致的误差可能远大于用广义相对论计算的百年43。3. 爱因斯坦的原始论文中，对水星近日点进动的计算有错。国内学者季灏和华棣首先发现这个问题。纠正这个错误

10、后，水星近日点百年的进动值应当是，而不是，误差高达67%。本文作者进一步检查了爱因斯坦原始论文，又发现了另外一个错误。纠正这个错误后，水星近日点百年进动值就变成。因此，水星近日点进动问题需要重新考虑，广义相对论并没有解这个问题。本文证明，如果在牛顿引力理论中考虑狭义相对论效应，会导致水星近日点百年14.4的进动。如果在地球参考系的岁差和章动计算中，以及其他行星对水星的引力摄动计算中也考虑狭义相对论效应，还会引起更大的进动值修正。文章最后还讨论了其他未知因素存在的可能性。本文的结论是，爱因斯坦弯曲时空引力理论是不可能成立的。现代物理学的引力理论必须在平直时空的基础上，通过对牛顿引力理论的改造来重

11、建。二 球对称引力场的牛顿引力理论2. 1 牛顿引力方程为了能将广义相对论的结果与牛顿理论严格地进行比较，我们先把牛顿引力公式罗列如下。在中心质量引力场中，牛顿引力公式为： （2）采用极坐标，上式改写为： （3） （4）是一个常数，代表单位质量的角动量。从（4）式可得常数，代表单位质量的角动量。代入（3）式，得到： （5）令，可以将（5）式转化成比尼公式【3】： （6）上式与时间无关，描写粒子的运动轨道，其解为： 或 （7）式中是轨道的偏心率，由粒子在引力场中的总机械能决定。，和分别代表椭圆轨道，抛物线轨道和双曲线轨道。行星椭圆周期轨道的开普勒动能积分形式为： （8）它实际上就是行星椭圆轨道运

12、动的机械能守恒公式。对于静止质量为的行星的一般运动，能量守恒公式是： （9）式中是粒子在引力场中的总机械。对应于椭圆轨道，是轨道的长半轴。对于抛物线轨道。对于双曲线轨道，是双曲线轨道的近日点与坐标系中心点的距离。2. 2 牛顿引力的微扰牛顿引力的二体运动是稳定的，行星绕日运动的椭圆轨道有两个极点，即近日点和远日点。如果是三体运动，情况就非常复杂。在引力作用下三体运动轨道不稳定，不可预测。按照牛顿引力理论，多体运动轨道可以存在许多极点。太阳系中有许多天体，然而太阳系的行星系统是稳定的，原因是行星的质量比太阳小得多。我们可以将其他行星的引力看成微扰，按照动力学的KAM定理，这种的系统是可以稳定的。

13、比如研究水星绕日运动轨道，就可以将金星、地球、火星等对水星运动的影响看成微扰。图1. 其他行星对水星轨道的影响设地球等行星的质量为，在某个时刻离太阳的距离为，如图1所示。由于，地球等对水星的引力可以看成微扰力，写为： （10）可见按照（10）式的第一个等号，其他行星对水星的微扰力仍然严格遵循反平方力的形式。如果将其微扰展开，是以的形式存在的。因此广义相对论修正项的形似在牛顿引力中是没有的，由于二者的形式不一样，它们无法相互抵消。在极坐标系中是在方向的投影角，考虑微扰力后，牛顿引力的行星运动方程写为： （11）或： （12） 同样，可以将上式写成以下形式： （13）按照（13）式，是的无穷高阶函

14、数，轨道有无穷多个极点，但每个极点相距很近。行星在运动过程相继进入每个极点，近日点和远日点的数值也不断发生微小的变化。表面上看来，行星在做椭圆轨道进动。但由于近日点和远日点的数值实际上不断发生微小的变化，轨道是永不重复的。2. 3 广义相对论修正和牛顿引力微扰同时存在的情况将（1）式中广义相对论的修正项与（13）式右边第四项（微扰力第一项）比较，得： （14） 考虑金星对水星的微扰，金星质量，金星轨道长半径，水星轨道长半径，太阳质量，。代入上式得，即广义相对论对水星引力的修正是金星的微扰的6.78%。同样计算，对于地球的微扰；火星的微扰；木星的微扰；土星的微扰；天王星的微扰；海王星的微扰。广义

15、相对论的修正比火星，天文星和海王星微扰大，比其金星，地球，木星和土星的微扰小，其中木星对水星的微扰最大。由于木星轨道半径与水星轨道半径的比例，考虑（8）括号内头两项的微扰即可。加上广义相对论的修正，（13）式变成： （15）可见广义相对论的修正与牛顿引力的微扰在数学形式上不一样，二者就没有可比性，它们不能相互抵消。在其行星引力微扰作用的背景下，广义相对论修正项的特点仍然会体现出来。事实上，广义相对论对水星进动点的计算就是在这种背景下完成的，计算过程并没有考虑其他行星对水星轨道的影响。如果讨论星系中恒星的运动，广义相对论的修正就会占主导地位。一般星系有1000亿个太阳，设其中的十分之一集中在星系

16、核内，质量，引力半径。设星系核的半径约为1万光年，。星系核的边缘有一个太阳质量的恒星绕核运动。另外一个相同质量的恒星比该恒星远1光年，在的半径上绕星系核运动，从星系的尺度看它们几乎粘一起。按（15）式计算，可得： （16） 广义相对论的作用比临近恒星的微扰作用大2970倍，因此星系中其他恒星的影响几乎可以忽略。在星系的尺度上研究广义相对论的恒星运动时，不必考虑其他恒星的影响。三 广义相对论无法描述行星椭圆轨道的证明（1）3. 1 广义相对论的短程线方程爱因斯坦认为物质存在的时空是弯曲的，并用以下方程来描述引力场： （17）其中是李奇张量，是曲率标量，是时空度规张量，是能量动量张量。通过解引力场

17、方程，可以得到度规张量的形式，并将四维弧元写成。在球对称引力场中，四维时空的弧元用施瓦西度规表示： （18）其中。令： （19）将以上结果代入黎曼几何的短程线方程，得到四个分量方程。取，其中一个方程两边都等于零，剩下的三个独立方程是【2】，【4】： （20） （21） （22）其中。（21）和（22）式的积分是： （23） （24）其中和是积分常数。3. 2 广义相对论行星运动方程的推导由于（20）式的积分比较复杂，现有广义相对论一般采用简单方法，用施瓦西度规（18）式代替短程线方程（20）式。文献【2】认为结果是一样的，但没有给出具体证明。下文中我们将证明，结果实际上是不一样的。用弧元代替短

18、程线方程，得到的解描述的不是粒子沿短程线的运动。在（18）式中取，改写成【2】，【4】： （25）将（24）式代入（25）式，并利用（23）式，可得： （26）按照现有广义相对论的看法，中是主要项。在做牛顿近似计算时，可以令，代入上式，就得到： （27）忽略（27）式右边含的项，将（27）式与（8）式比较，可得，（27）式变成： （28）如果忽略等号右边第二项，（28）式描述椭圆轨道方程。因此目前一般认为，牛顿引力理论是广义相对论在弱场条件下的近似。将（23）式再代入（26）式，可得： （29）在上式中令，然后再对求导数，得： （30）与牛顿引力理论的（5）式比较，可令，同时多出等号右边第二项

19、。利用（23）式，从（29）式中消去，则得到与时间无关的轨道方程： （31）在上式中令，得到： （32）将上式对再求导一次，令，得： （33）等号右边第二项就是广义相对论的修正项。广义相对论最重要的实验检验，水星近日点的进动就是用（33）式计算的。需要注意的是，上式仍然不能完全确定行星运动的具体形式。行星在引力场中是做类椭圆轨道运动，还是做类抛物线或双曲线轨道运动，仍然由（9）式的总机械能决定。3. 3 采用近似公式导致的问题1. 以上的推导过程采用近似公式，这是非常不合理的。如果，施瓦西度规（18）式等号两边就根本不相等，即（取）： （34）我们就根本得不到（25）式，（25）式以下的所有公

20、式都不成立。2. 要使（34）式等号两边相等，就必须满足： （35）上式左边为负右边为正，显然是不可能成立的，除非。因此的近似条件是根本不可能的。 3. 事实上，如果，即度规只与时间坐标有关，与空间坐标无关，短程线方程（20）（24）式就都不成立。可见采用弧长为参数建立短程线方程，广义相对论推导运动方程时，会引起自我纠缠，导致严重矛盾。3. 4采用正确的近似公式进行计算的结果对粒子在引力场中的运动，弧长的近似条件除了会引起理论的自我纠缠，导致自相矛盾外，还意味着，表示粒子没有位移。在行星运动理论中，这个近似条件是没有意义。为了解决这个问题，需要做正确的近似。考虑到牛顿近似条件和，将（18）式改

21、写为（取）： （36）按照（9）式，对于抛物线运动，得： （37）对于椭圆轨道运动，得： （38）对于双曲线轨道运动，得： （39）然而，（36）式意味着在（19）式中令，施瓦西度规变成（）： （40）相应地，短程线方程（20）式中要令，（23）和（24）式不变，方程解（25）和（26）式不变。（25）式变成： （41）将（24）式代入（41）式，考虑到，得： （42）将（42）式与（26）式比较，少了的项，而这一项恰恰是广义相对论对牛顿引力理论的修正项。重复先前的程序，将（23）式代入（42）式，对微分。然后令，对再求导一次，并令，最后得到与时间无关的轨道方程： （43）上式中广义相对论的修

22、正项完全消失，变成牛顿力学的轨道方程。用（43）式计算水星近日点进动，就得不到现有广义相对论的百年43的结果（实际上结果为零）。为了求得能量积分，对于抛物线轨道，将（37）式的代入（42）式，得： （44）在（44）式中略去含的高阶项，写成： （45）在牛顿引力理论中，不论对抛物线轨道，椭圆轨道还是双曲线轨道，上式右边第二项前的系数都必须等于1。令，得。代入（45），与（9）式比较（取），就得到牛顿引力的抛物线方程，结果是自洽的。（44）式变成： （46）与（28）式比较，广义相对论的修正项变成，二者的基本形式是不一样的。我们来讨论二者的差别。考虑到，在牛顿近似下，有： （47）虽然二者数量级

23、一样，但是的两倍，同时还相差一个负号。如果在强场条件下，由于函数形式不一样，二者的差别会很大，因此（46）式不是广义相对论的运动方程。对于椭圆轨道运动，将（38）式的代入（42）式，得： （48）在牛顿近似下，略去含的高阶项，上式变成： （49）同样，对于牛顿引力理论，项前的系数必须等于1。考虑到，令： 得 （50）代入（49）式，得： （51）上式描述椭圆轨道运动，（48）式则变成： （52）与（28）式比较，广义相对论的修正项也变成。在强场条件下，二者的差别会很大。同理，在牛顿近似下，对于双曲线运动，按照（42）式，得到修正的方程： （53）广义相对论的修正项同样变成，因此也不是广义相对论

24、现有的方程。以上计算都使用了近似方法，包含了许多不确定性，得到的结果都不是广义相对论的运动方程。为了能精确的行星运动方程，就不能用弧长，而应当改用其他参数来建立短程线方程。3. 4 不能用施瓦西度规代替短程线方程 以上推导过程中，短程线方程（20）式一直没有被使用，而是用施瓦西度规（18）式代替。然而我们知道，施瓦西度规描述引力场空间任意两点的弧长，而不仅仅是短程线的弧长。短程线方程才是描述粒子在引力场中的运动轨迹的，通过施瓦西度规得到的方程不是描写粒子运动的真正的方程。虽然在推导过程中，也将短程线方程解（21）和（22）式代入（18）式，但也只能说明弧长在某些方向上沿短程线，在其他方向上仍然

25、不是短程线。按照黎曼几何，粒子在引力场中真正的运动方程应当从短程线方程组（20）（21）式得到，一般而言得到的结果是不一样的。可见在广义相对论中，许多基本概念没有搞清楚。采用弧长来建立短程线方程，推导行星运动方程时，会产生自我纠缠，引起多重矛盾。同时还会带来很大的不确定性，导致严重的问题。用弧长代替短程线方程，得到的运动方程不是粒子在引力场中真正的运动方程。为了把这些问题说清楚，有必要先弄清楚黎曼几何中短程线的来源，以及弧长与短程线的关系。以下我们来讨论这个问题。四 广义相对论无法描述行星椭圆轨道的证明（2）事实上按照黎曼几何，短程线方程可以用任意参数来建立。以下我们来证明，采任意参数建立短程

26、线方程，严格地推导广义相对论的行星运动方程。在做牛顿近似后仍然只能描述抛物线轨道，不可能描述椭圆轨道和双曲线轨道，从而严格证明广义相对论的行星运动理论是不成立的。4. 1 球面上的短程线弯曲空间中弧元的概念与短程线的概念是不同的，前者描写的一般不是短程线上两点间的距离。遗憾的是广义相对论在做具体计算时，经常用弧元代替短程线方程，得到的解实际上不是描述粒子沿短程线的运动，由此不真正的运动方程。比如在球对称引力场中，四个短程线方程中有一个方程的解很复杂，目前广义相对论就用施瓦西度规来代替，导出的运动方程就不是广义相对论真正的运动方程。为了把这个问题说清楚，我们先用三维空间中二维球面的简单例子，来说

27、明曲面上的弧元与短程线的关系。按照微分几何，在半径为常数的球面上，弧元的平方是： （54）代表球面上任意两点之间的微分长度，它一般不是球面上两点之间最短的距离。如图2所示，球面上两点间最短的距离是大圆弧。球面上有三类大圆弧，一是球面的赤道线，即纬度为零的纬线。二是球面的经线，它所在的平面包含球心。第三是用一个通过球心的平面在任意方向斜切球体后，该平面与球面的交线形成的大圆。对于赤道线，（53）式变成，其解为。对于球面上的经线则有常数，（53）式变成。它也是短程线方程，其解为。在这种情况下，弧元的定义与短程线是一致的。然而在一般情况下，弧元的定义与短程线是不一致的。比如的纬线就不是球面的大圆，因

28、此不是球面的短程线。比如的纬线，（54）式变成积分后得： （55）但这不是纬度上两点间的最短的距离。设球面上两点的极坐标是和。为简单起见，取。用初等数学方法可以证明，球面上的短程线方程是【5】： （56）其中和是常数。 图2 球面上的经纬线与短程线然而在一般情况下，弧元的定义与短程线是不一致的。比如的纬线就不是球面的大圆，因此不是球面的短程线。比如的纬线，（54）式变成。积分后得： （57）但这不是纬度上两点间的最短的距离。设球面上两点的极坐标是和。为简单起见，取。用初等数学方法可以证明，球面上的短程线方程是【5】： （58）其中和是常数。（58）式实际上就是球面上三类大圆的方程，将它的求导，

29、得到短程线方程的微分形式： （59）（59）式与球面弧长的微分形式（54）式完全不一样，我们不可能将（59）式变换成（54）式的形式。根据球面三角形边的余弦定理，和两点与球心连线的夹角由下式确定： （60）两点间的大圆弧，或短程线的长度为。设同一纬度线上有两点，坐标为和，即纬度线绕球体四分之一圈。按照（57）式计算，两点间的距离。按照（60）式计算，得，。因此，大圆弧的长度小于纬度线圆弧的长度。设是地球半径，二条线的长度就相差。这也就是从上海到洛杉矶的航班不从太平洋中的关岛上空飞过，而是从日本上空和北极圈边缘飞行的原因。上海、洛杉矶和关岛位于30 35纬度线附近，沿这条纬度线的行程不是最短的，

30、经过日本和北极圈边缘的行程才是最短的。4. 2 黎曼几何中的短程线方程爱因斯坦广义相对论认为，有物质存在时的时空是弯曲的。通过求解爱因斯坦引力场方程，得到描述弯曲时空的度规张量，用弧元的平方来表示。然而空间弯曲是无法直接测量的，需要通过粒子在引力场中的运动轨道来显示。按照黎曼几何，粒子在弯曲空间中沿短程线运动。因此广义相对论还需要采用短程线方程来描述粒子在引力场中的运动轨迹。也就是说广义相对论实际上需要两个方程组，一是爱因斯坦引力场方程，二是黎曼几何的短程线方程。从引力场方程得到的弧元代表时空中任意两点之间距离的平方，描述的是整个弯曲时空的性质。而短程线则描述弯曲时空中的某条特定曲线，在引力场

31、中粒子只沿着这条曲线运动。黎曼几何中弧长平方为。这是一个与时间无关的量，其中是弯曲空间的度规张量。如果取空间坐标为弧长的函数，即令，可将弧长写成积分形式： （61）黎曼几何采用变分法求函数的极值，欧拉方程为： （62）从中得到的短程线方程是： （63）其中的是克里斯多夫符号，由度规张量及其对空间坐标的微分构成。通过求解短程线方程，得到一组关系。比如三维空间中有三个短程线方程，其解为，和。从中消去后得到两个关系和，描述两个曲面，它们的相交线就是短程线。然而我们知道，用变分法求函数极值时，函数本身必须是一个变量，否则就不存在极值的问题。因此（61）式有一个致命的问题，即要使等号两边相等，唯有令【6

32、】： （64）如果等于常数，将它代入（62）式，计算结果是等于零的恒等式，就无法得到短程线方程。因此在高斯微分几何中，曲面上弧长的平方不用来表示，而是用所谓的第一基本形式来表示： （65）然后用弧长做变分参量，建立短程线方程（63）。这样做虽然在表面上可以避免以上问题，但矛盾并没有真正解决。因此在微分几何中，我们实际上不可能用弧长来做参量来构造短程线。这个问题对微分几何是很基本的，但以前一直没有引起数学家的注意。事实上，短程线方程中弧长只是做为变分参量存在的，我们也可以用其他数学量做为参量。将短程线方程积分后把它消去，得到结果是一样的。考虑到纯几何问题中弧长不包含时间，这个问题容易解决。比如用

33、时间作为变分参量，将（61）式改写为： （66）短程线方程（63）中的也用来代替。对于三维空间，积分后得到一组关系，和。从中消去参量，得到的两个关系和。用它们来描述短程线的轨道，与用弧长做变分参数是一样的。在广义相对论中，时空坐标不可分离，四维弧长中包含时间。我们无法用时间作为变分参量构造短程线方程，但可以用其他任意参数，将短程线方程写为： （67）按照（67）式，短程线方程及其解中就不包含弧长。在此基础上，我们可以严格地讨论广义相对论的运动方程及其解。4.3 采用任意变分参数的施瓦西度规短程线方程 我们以下采用任意变分参数的（67）式来作为短程线方程，讨论广义相对论的行星运动方程。考虑施瓦西

34、度规（18）式，得到的短程线方程是： （68） （69） （70）（69）和（70）式的积分也写成： （71） （72）注意到（68）（72）式的形式与现有广义相对论的结果完全一样，只是用任意参数代替弧长。但由于不必满足（18）式，就没有采用所引起的麻烦。将（71）和（72）式代入（68）式，得【4】： （73）上式可以改写为： （74）（74）式的积分是： （75）其中是积分常数。从上式可以解出： （76）（71），（72）和（74）式就是短程线方程的一次积分，将它们代入（18）式（取），得到： 或 （77）这就是球对称引力场中，沿短程线的弧长与变分参量的关系，是任意常数。粒子沿短程线运动时

35、，弧长与成正比，比例系数为。在时，弧长等于。如果只将（71）和（72）式代入（18）式，得到的就不是（77）式，表示此时的仍然不代表沿短程线的弧长。4.4 广义相对论只能描述抛物线轨道的严格证明由此可见，目前广义相对论用施瓦西解代替短程线方程（68）式，这种计算方法是不正确的。按照正确的计算方法，应当将（72）式代入（73）式，消去后得到： （78）在上式中令，并利用（19）式，得： （79）将上式对再微分一次，得： （80）忽略等号右边第二项，就是牛顿力学公式，描述天体的二次曲线运动。至于描述的是椭圆轨道、抛物线轨道还是双曲线轨道，则与积分常数和有关，或者说与轨道的能量积分有关，以下讨论这个

36、问题。从（71）和（72）式得： （81）将（19）、（71）和（81）式代入（75）式，消去，得： （82）再次利用（81）式，得： （83）在牛顿近似下，忽略（83）式等号右边的第三、四和第五高阶项，得： （84）对于牛顿引力的运动方程，（84）式等号右边项前的系数必须等于1。令，得，因此（84）式描写抛物线轨道，除此之外别无选择。考虑更高阶项，（83）式为： （85）与（28）式比较，（85）式右边多出了第二项。如（46）式所示，在牛顿近似条件下，此项与广义相对论的修正项具有相同的数量级，是不可忽略的。在一般的情况下，该项比第三项大，（85）式与现有广义相对论的运动方程不一样。将（85）

37、对时间再微分一次，得到的与时间有关的方程也就不是广义相对论的运动方程。由此，我们严格证明，在球对称引力场中，广义相对论的牛顿近似只能描述抛物线轨道，不可能描述椭圆轨道和抛物线轨道运动。由于椭圆轨道是太阳系行星运动的最基本形式，而抛物线轨道不是周期运动，如果广义相对论不能描述椭圆轨道运动，这个理论就作废了。加上得到的运动方程修正项也不是广义相对论现有的修正项，（85）式就没有意义了。4. 5光在球对称引力场中的运动方程按照广义相对论，光子在引力场中的四维弧长，就无法对（61）式求变分来构造短程线方程。类似于光学中的最小作用量原理，本身就已经是对弧长取极值（最小值）了。如果非要对进行变分计算，就等

38、于令的二次导数等于零，得到的结果就不是短程线方程。数学上二次倒数等于零是用来判定函数拐点的，而不是用来判定极值的。广义相对论用弧长做变分参数，认为光子的短程线方程仍然满足（68）（70）式，但必须在（75）式中令。然而我们知道，对于一个弯曲空间，短程线方程的形式是唯一的，与什么粒子沿短程线运动无关。这也就是说按照黎曼几何，不论粒子是否有质量，不论粒子的质量大小如何，它们在弯曲空间中运动时，短程线的方程应该是一样的。按照（77）式，对于有质量的粒子，。在四维施瓦西空间中，短程线上任意两点的弧长为常数。对于没有静止质量的光子，取，短程线上任意两点的弧长常数。也就是说，在这两种情况下，对于相同的四维

39、空间，短程线上任意两点的弧长不一样。这与黎曼几何的基本原则是相违背的，广义相对论既然把黎曼几何作为基础，就应当遵守黎曼几何的规则。如果对光的运动取，对于用施瓦西度规描述的球对称引力场，按（18）式就有： （86）在这种情况下，公式（20）（24）描述的短程线方程都不存在。因为令，按（23）和（24）式就有和或。将它们代入（86）式，则得到。然而奇怪的是，广义相对论却将（86）式用来计算雷达波的时间延迟，并认为计算结果与实际观察一致【2】、【4】、【7】。另一方面，为了得到光在引力场中的轨道方程，广义相对论又将（18）式写成： （87）完全不顾时上式没有意义，然后将（23）和（24）式代入（87

40、）式，得到： （88）然后在上式中令，得到： （89）再将上式对求导，得到光子在球对称引力场中的轨道方程： （90）并用上式计算光在太阳引力场中的偏振，得到与观察一致的结果。 问题在于时（87）式在数学上不可能成立，零不能作为分母，这是数学的基本原则，因此就不可能得到（90）式。加上时从短程线方程只能得到和，（86）式不存在，广义相对论关于光在引力场中的两个运动方程都是不成立的。因此对于引力场中光的运动，我们不可能取，或者说不可能用弧长做为短程线的参数。采用任意参数建立短程线方程，考虑到弯曲空间中短程线的唯一性，我们也应当用（71），（72）和（75）式来描述光在引力场中的运动。将（72）式代

41、入（73）式，消去后得到（80）式。如果在（80）式中令，得到（90）式。再根据（70）式得到，理论似乎是自洽的，但问题并没有这样简单。从（71）和（72）式得到（81）式。将（19）、（71）和（81）式代入（75）式消去，得到（83）式。在（83）式中令，得到的结果是： （91）对于光在弱引力场中的运动，取，令，可将上式改写成牛顿引力能量守恒的修正公式： （92）其中可以看成是引力场外真空中光子的能量，光子对应静止质量。考虑到，对于弱引力场中光的运动，有： （93）因此这一项是比较大的，代入（92）式，就得到光在牛顿引力场中运动的近似公式： （94）从上式得出两个结论：1. 光子在引力场中

42、的引力势能是正值，意味着光子在引力场中受排斥力的作用。2. 由于总能量为正，光子在引力场中的牛顿运动轨道是双曲线。这种结果与现有广义相对论的看法是相悖的，尤其是光子在引力场中受排斥力的作用，与引力的概念是完全不一样的。在弱场条件下，从上式可以得到光子在引力场中的速度： 或 （95）当光子沿球对称引力场的矢径方向运动时，加速度为 。由此进一步证明加速度与引力方向相反，光子在引力场中是受排斥力作用的，这样的结果是有点奇怪的。关于光在引力场中运动的问题，作者将另文详细讨论【8】。我们将证明，广义相对论对光在引力场中运动的描述是有严重问题的。如果假定光在引力场中受引力的作用，光子的引力质量是惯性质量的

43、两倍，同样能够解释光在引力场中的角度偏振和雷达波时间延迟。五 计算机数值方法计算水星运动的轨道极点广义相对论的行星运动轨道由一元三次方程确定，有一个或三个极点。由于数学上的困难，目前计算引力场中光和行星轨道运动时都采用近似方法，导致许多重要信息丢失。广义相对论作为物理学的基本理论，需要知道它的行星运动方程的精确解。为此假定太阳系中只有一个行星绕太阳转动，在这种简化条件下，本文以下采用计算机数值计算方法证明，按照广义相对论的运动方程，太阳系行星绕日运动轨道存在三个实数极点。第三个极点位于太阳内部施瓦西半径外0.3毫米的地方，行星沿两个相连的三极点类椭圆的轨道运动。因此如果广义相对论正确，行星必将

44、沿小椭圆轨道进入太阳内部被毁灭。5. 1 牛顿引力理论的三体运动为了更好地了解行星轨道的三极点运动，我们首先简单介绍牛顿引力理论的三体运动。牛顿引力理论的二体运动是稳定的抛物线，椭圆和双曲线运动。三体运动则是不稳定的，不可预测的。如果三个天体的质量都在相同的数量级，天体运动的轨道是极端混乱的，周期运动是不存在的。假设三个天体的运动被限制在平面上，其中一个天体在某个时间段的轨道形状可如图4一样无规。因此三体运动的轨道有无穷多个极点，基本不重复。原因在于牛顿引力方程实际上是非线性的，有可能导致混沌。只不过二体运动恰好比较简单罢了。对于广义相对论的三阶运动方程，我们没有任何理由认为它会使是一个稳定的

45、，两个极点的类周期的运动。与三体运动相比，广义相对论的三极点轨道运动并不奇怪。图4. 牛顿引力的三体运动轨道 图5. 三个极点可以构成的两个椭圆5. 2 广义相对论行星运动的轨道极点广义相对论的运动方程无法求解，物理学家认为修正项很小，不可能使行星运动方式发生根本性的改变。在牛顿近似下天体做类椭圆轨道进动，轨道轨道只有两个极点，情况如图5所示。计算水星近日点进动时，两个极点被认为就是水星椭圆轨道的极点。运动方程（1）右边的参数就是按这种前提设定的，而不是通过求解运动方程来确定的。至于行星运动方程的第三个极点在哪里，现有广义相对论并没有进行讨论。一般的教科书和文献根本不提这个问题，就好像它不存在

46、。有的教科书虽有提及，但也只是说第三极点与其他两个极点的距离很远，但不知道它到底在哪里【9】。第三极点与天体的运动轨道是分离的，它只对行星的轨道进动产生影响，天体实际上不进入。然而问题是，对三阶非线性方程，我们有理由认为它的形状仍然是两个极点的类椭圆轨道吗？按照数学一元三次方程理论，（1）式的运动轨道存在一个或三个极点（实数根），不可能是两个极点。广义相对论的精确行星运动轨道到底是什么样子，这是需要讨论的。由于运动方程的非线性，行星的三极点运动轨道形状可能很复杂。它完全可延伸到第三极点，具有完全不同的形式。在没有对运动方程精确求解之前，我们不能先入为主地对运动轨道做广义相对论这样的前提设定。另一方面，与牛顿引力理论不一样，广义相对论将引力看成空间弯曲。采用黎曼几何的语言，行星在弯曲时空中沿短程线运动。具体地说，就是球对称引力场施瓦西度规描述的四维