整数规划和01规划课件

1、整数规划和0-1规划1 mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划2整数规划是什么整数规划是什么?规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。切整数规划。mathemat

2、ical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划3整数规划的分类整数规划的分类变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。变量部分限制为整数的，称混合整数规划。变量部分限制为整数的，称混合整数规划。变量只能取变量只能取0或或1时，称之为时，称之为0-1整数规划。整数规划。mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划4整数规划模型的建整数规划模型的建立立整数规划模型的求整数规划模型的求解解 完全枚举法完全枚举法 分支定界法分支定界法 割平面法割平面法0-10

3、-1数规划模整型数规划模整型mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划5例1 集装箱运货问题：已知甲乙两种货物的装运和获利情况如下表所示，问：甲乙两货物各托运多少箱，可使获得利润最大？mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划6且为整数0,135224451020max21212121xxxxxxxxz解：设解：设 为甲乙两货物各托运箱数为甲乙两货物各托运箱数12,x xmathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规

4、划7(1) 原线性规划有最优解，当自变量限制为原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：整数后，其整数规划解出现下述情况： a原线性规划最优解全是整数，则整数原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。规划最优解与线性规划最优解一致。 b原线性规划最优解不全是整数，则整原线性规划最优解不全是整数，则整数规划最优解小于原线性规划最优解数规划最优解小于原线性规划最优解（max）或整数规划最优解大于原线性规）或整数规划最优解大于原线性规划最优解（划最优解（min）。）。mathematical modelingmathematical modeling整

5、数规划和0-1规划8例例2 2 今有一台机器将一周生产的两种型号的冷饮杯今有一台机器将一周生产的两种型号的冷饮杯存储在存储在150立方米的储藏室立方米的储藏室 里里,并同时进行出售并同时进行出售.已已知这台机器能在知这台机器能在6小时内生产一百箱小时内生产一百箱号杯号杯,5小时内小时内生产一百箱生产一百箱号杯号杯,生产以百箱为单位计算生产以百箱为单位计算,预计每预计每周生产周生产60小时小时.如果如果号杯每百箱占体积号杯每百箱占体积10立方米立方米,每百箱可获利润每百箱可获利润500元元,每周售出数量不会超过每周售出数量不会超过800箱箱;号杯每百箱占体积号杯每百箱占体积20立方米立方米, 每

6、百箱可获利润每百箱可获利润450元元,每周售出数量不受限制每周售出数量不受限制.为保证总收益为最大为保证总收益为最大,每周应安排生产每周应安排生产、号杯各多少百箱？号杯各多少百箱？mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划912,x x解解: 设每周生产设每周生产、号杯各号杯各 百箱百箱,则有则有如下数学模型如下数学模型且为整数0,815020106056450500max211212121xxxxxxxxxz返回返回mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划10例例3

7、3：设整数规划问题如下：设整数规划问题如下 且为整数0,13651914max21212121xxxxxxxxz完全枚举法完全枚举法mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划11 现求整数解（最优现求整数解（最优解）：如用解）：如用“舍入取整法舍入取整法”可得到可得到4个点即个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它。显然，它们都不可能是整数规划的们都不可能是整数规划的最优解。最优解。 故故按整数规划约束条按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为规划问题的可行域内且为整数点。

8、故整数规划问题整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，的可行解集是一个有限集，如图所示。如图所示。 求得（求得（2，2）（）（3，1）点为最大值，。）点为最大值，。 在求解整数规划问题时，可将集合内的整数点一一找出，在求解整数规划问题时，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。返回返回mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划12对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系的所

9、有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。

10、主要思路。分支定界法分支定界法mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划13 例例4 4 用分支定界法求以下整数规划用分支定界法求以下整数规划1212122max5865945,0 xzxxxxxxxx且为整数mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划141x2xmathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划15开始开始v0 x1=2.25,x2=3.75;z0=41.25x23x24v1 x1=3,x2=3,z2

11、=39v2 x1=1.8,x2=4,z1=41x12x11v3 x1=1,x2=4.44, z4=40.56v6 x1=0,x2=5,z6=40v5 x1=1,x2=4,z5=37v4 不可行不可行x24x25mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划16 0-1整数规划整数规划1.什么是什么是0-1整数规划？整数规划？2.什么时候采用什么时候采用0-1整数规划法？整数规划法？0-1 整数规划是一种特殊形式的整数规划，整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的决策变量这时的决策变量xi 只取两个值只取两个值0或或1，一般的解，一般的解

12、法为隐枚举法。法为隐枚举法。正如计算机只懂得正如计算机只懂得0,1两个数，两个数，1代表是，代表是，0代代表否。同样的，在表否。同样的，在0-1整数规划中的整数规划中的0和和1并不是并不是真真意义上的数，而是一个衡量事件是否发生真真意义上的数，而是一个衡量事件是否发生的标准。一般来说，我们在从多个事物中选出的标准。一般来说，我们在从多个事物中选出其中一部分，在一定的条件下求解最优情况时其中一部分，在一定的条件下求解最优情况时可以采用可以采用0-1整数规划法。整数规划法。mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划17例例5 5一个旅行

13、者要到某地作两周的带包旅行一个旅行者要到某地作两周的带包旅行,装背包时装背包时,他发他发现除了已装的必需物件外现除了已装的必需物件外,他还能再装他还能再装5公斤重的东西公斤重的东西.他打他打算从下列算从下列4种东西中选取种东西中选取,使增加的重量不超过使增加的重量不超过5公斤又能使公斤又能使使用价值最大使用价值最大.这这4种东西的重量和使用价值种东西的重量和使用价值(这里用打分数这里用打分数的办法表示价值的办法表示价值)如下表所示如下表所示,问旅行者应该选取哪些物件为问旅行者应该选取哪些物件为好？好？mathematical modelingmathematical modeling整数规划和

14、0-1规划18解：建立模型为解：建立模型为12341234max z=6x7392345s.t. 0,11,2,3,4ixxxxxxxximathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划19mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划20由上表可知，问题的最优解为由上表可知，问题的最优解为 x*=( x1=1x2=0 x3=1 ) 但此法但此法太繁琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加太繁琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快的求得最

15、优解：入一定的条件，就能较快的求得最优解： 找到找到x1=0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x12x25 x3 5 作为一个约束，凡是目标函数值小于作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必讨论，的组合不必讨论，如下表。如下表。mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划21例例6 6 求解下列求解下列0-1规划问题规划问题1231231231223123max32522 (1)44 (2). . 3 (3) 46 (4),01zxxxxxxxxxstxxxxx x

16、 x或mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划22解：对于解：对于0- -1 规划问题，由于每个变量只取规划问题，由于每个变量只取0，1两个值，一两个值，一般会用穷举法来解，即将所有的般会用穷举法来解，即将所有的0，1 组合找出，使目标函数组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。达到极值要求就可求得最优解。mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划23例例7(7(指派问题指派问题) ) 有有5个工人，要分派他们分别完个工人，要分派他们分别完成成5项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表，问应如何安排工作，可使总的消耗时间最表，问应如何安排工作，可使总的消耗时间最小？小？mathematical modelingmathematical modeling整数规划和0-1规划2410,1,2,5ijijxi j分派第 工人完成第 工作其他