人教版选修2-2_合情推理

1、福福尔尔摩摩斯斯柯南柯南4.今夜恰有东风1.今夜恰有大雾2.曹操生性多疑3.北军不善水战 弓弩利于远战草船借箭必将成功我们来推测诸葛亮“先生”的推理过程:列车车厢内，一位年纪大的旅客对另一名年轻的旅客说：“伙计，你不要吸烟了，车厢内不准吸烟。”“难道我在吸烟吗?”“你嘴上不是叼着烟斗吗?”“这能说明什么呢，我的鞋穿在脚上，可我走路了没有?”有一个地主，半夜催长工起床： “天亮了，还不起来干活?”长工说：“等我抓完了虱子就去。”地主说：“笑话，天还没亮，你怎么能看见虱子呢?”长工回答：既然天还没亮，又怎么能干活呢?”小帕蒂把成绩单交给爸爸，爸爸一看有两门功课不及格，就冲着帕蒂怒气冲冲地喊道：“你

2、知道吗？华盛顿像你这个年龄时是全校最优秀的学生。”帕蒂不慌不忙地回答：“你知道吗？爸爸，像你这个年龄时华盛顿已经是美国总统了！”南唐时，课税繁重，民不聊生。恰逢京师大旱，列祖问群臣说：“外地都下了雨，为什么京城不下？”大臣申渐高说：“因为雨怕抽税，所以不敢入京城。”列祖听后大笑，并决定减轻赋税。已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论1803602.2.由三角形内角和为由三角形内角和为 , ,凸四边形内角和凸四边形内角和为为 , ,凸五边形内角和为凸五边形内角和为 , , 5401. 1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，3.3.地球上有生命，火星具有一些

3、与地球类地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，似的特征，4.4.因为所有人都会死，苏格拉底是人，因为所有人都会死，苏格拉底是人，猜想猜想: :一切金属都能导电一切金属都能导电. .180)2(n猜想猜想: :凸凸n n边形内角和为边形内角和为 猜想猜想:火星上也有生命火星上也有生命.所以苏格拉底会死所以苏格拉底会死. .归纳推理归纳推理类比类比推理推理合情推理合情推理演绎演绎推理推理2.1.12.1.1合情推理合情推理归纳推理归纳推理铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和

4、为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别蛇类是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的爬行动物都是用肺呼吸的整整 体体一一 般般 你能举出归纳推理的例子吗?即是由部分到整体,由个别到一般的推理. 佛教佛教百喻经百喻经中有这样一则故事。中有这样一则故事。 从前有一从前有一位富翁想吃芒果位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买打发他的仆人到果园去买,并告诉并告诉他他:要甜的要甜的,好吃的好吃的,你才买

5、你才买.仆人拿好钱就去了仆人拿好钱就去了.到了到了果园果园,园主说园主说:我这里树上的芒果个个都是甜的我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝你尝一个看一个看.仆人说仆人说:我尝一个怎能知道全体呢我尝一个怎能知道全体呢 我应当个我应当个个都尝过个都尝过,尝一个买一个尝一个买一个,这样最可靠这样最可靠.仆人于是自己仆人于是自己动手摘芒果动手摘芒果,摘一个尝一口摘一个尝一口,甜的就都买回去甜的就都买回去.带回家去带回家去,富翁见了富翁见了,觉得非常恶心觉得非常恶心,一齐都扔了一齐都扔了.第一个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园这个果园的芒果

6、都的芒果都是甜的是甜的想一想：想一想：故事中仆人的做法实际吗？故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？换作你，你会怎么做？12 nn观察下图观察下图, ,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52观察观察下列等式下列等式归纳出归纳出一个规律：一个规律：偶数偶数=奇质数奇质数+ +奇质数奇质数 通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.大胆猜想: 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.) 3,(221nNnppnna1annnaaa11nan1n aaaaannnn归纳猜想通项公式满足已知

7、数列, 12, 1. 211如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片片. .按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上针上. .(1)(1)每次只能移动每次只能移动1 1个金属片；个金属片；(2)(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把试推测：把n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针，最少需要移号针，最少需要移动多少次？动多少次？123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1

8、a123n2a设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a3an2a设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a123猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-112342222215211 7212 5 7216 5 5 3 7221n任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数这就是著名的这就是著名的费马猜想费马猜想观察到都是质数观察到都是质数,进而进而猜想猜想:费马费马半个世纪后半个世纪后, ,5221 4294967297 641 6700417 宣布了费马的这个猜想不成

9、立宣布了费马的这个猜想不成立, ,它不能作为一它不能作为一个求质数的公式个求质数的公式. .以后以后, ,人们又陆续发现人们又陆续发现 不是质数不是质数. .至今这样的反例共找到了至今这样的反例共找到了4646个个, ,却还却还没有找到第没有找到第6 6个正面的例子个正面的例子, ,也就是说目前只有也就是说目前只有n=0,1,2,3,4n=0,1,2,3,4这这5 5个情况下个情况下,Fn,Fn才是质数才是质数. .67822221 ,21 ,2 1 , 一般来说，由合情推理所获得一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。必可靠。 “合情推理是冒险的

10、，有争议合情推理是冒险的，有争议的和暂时的。的和暂时的。”-波利亚波利亚归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立练习：练习：221 222 223,331 332333由此猜想：由此猜想：,().bbmabmaam， ， 均为正实数归纳推理：归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论从个别事实中推演出一般性的结论.实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论练习练

11、习3.(3.(0505年广东年广东) )设平面内有设平面内有n条直线条直线( (n3),3),其中其中有且仅有两条直线互相平行有且仅有两条直线互相平行, ,任意三条直线不过同任意三条直线不过同一点一点. .若用若用f( (n) )表示这表示这n条直线交点的个数条直线交点的个数. .21(2)2nn当当n 3 时时, , f( (n) )= .(.(用用n表示表示) )作业：P84 3T.4T一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好

12、搀着树木、拽着茅草往上爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智，爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智，急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛，鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛，沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没

13、有两样。鲁班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪，班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪，叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁班忘记疼痛

14、，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又快又省力。锯子就这样发明了。快又省力。锯子就这样发明了。他的思路是这样的他的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.公鸡蛋公鸡蛋 从前有一个国王想吃公鸡蛋从前有一个国王想吃公鸡蛋,限丞相三天之内找来限丞相三天之内找来.否则否则杀头杀头.三天过去丞相没有找到三天过

15、去丞相没有找到.他儿子说他儿子说:”我去见国王我去见国王,你在家你在家”.国王问你父亲怎么没来国王问你父亲怎么没来?丞相的儿子说了一句话丞相的儿子说了一句话,使得国王赦免使得国王赦免了他父亲了他父亲.你知道他说了什么吗你知道他说了什么吗?“启禀国王，我爸爸在家生孩子。启禀国王，我爸爸在家生孩子。”少年不慌不忙地回答。少年不慌不忙地回答。 少年的回答引起国王和大臣们一阵哄笑。继而，国王生气了：少年的回答引起国王和大臣们一阵哄笑。继而，国王生气了： “胡说！男人怎么会生孩子？胡说！男人怎么会生孩子？” “是的，国王。男人是不是的，国王。男人是不能生孩子的，正如公鸡不能下蛋一样。能生孩子的，正如公鸡

16、不能下蛋一样。”少年抓住时机，一少年抓住时机，一句话说得国王张口结舌，无言相对，最后只好赦免了大臣。句话说得国王张口结舌，无言相对，最后只好赦免了大臣。 生活中有很多现象是类似的。我们常常根据两个类似系统的生活中有很多现象是类似的。我们常常根据两个类似系统的某一系统中某一公认为正确的判断，来对另一系统作出类似某一系统中某一公认为正确的判断，来对另一系统作出类似的判断，这种方法叫做类比。的判断，这种方法叫做类比。“公鸡是不会生蛋的公鸡是不会生蛋的”，这是，这是公认的事实，可是国王却违背了这个真理。公认的事实，可是国王却违背了这个真理。“公鸡不能生蛋公鸡不能生蛋”与与“男人不能生孩子男人不能生孩子

17、”是类似的两个现象。为了证实是类似的两个现象。为了证实“公鸡公鸡不能生蛋不能生蛋”是正确的，就用是正确的，就用“男人不能生孩子男人不能生孩子”这一公认的这一公认的事实来类比，从而达到否定国王谬论的目的。事实来类比，从而达到否定国王谬论的目的。 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, ,发发明了潜水艇明了潜水艇. .这几这几个个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳推理有什么区别？纳推理有什么区别？简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 类比推理的几个特点类比推理的几个特点: : 1.1

18、.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正在研究推测正在研究的事物的属性的事物的属性, ,是以是以旧旧有的认识为基础有的认识为基础, ,类比出类比出新新的结果的结果. . 2. 2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊特殊属性推测另一种事物的属性推测另一种事物的特殊特殊属属性性. . 3. 3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠, ,但它却但它却有发现的功能有发现的功能. .类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间相似形或一致性； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个命题(猜想)；代数中

19、的常见类比对象代数中的常见类比对象; ;向量向量-数数不等不等-相等相等无限无限-有限有限几何中的常见类比对象几何中的常见类比对象平面几何平面几何 立体几何立体几何 点点 线线 线线 面面 面积面积 体积体积 线线角线线角 二面角二面角 三角形三角形 四面体四面体 圆圆 球球例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。12)

20、nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaqn（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成等差数列成等差数列232,mmmmmSSSSS成等比数列成等比数列一个平面把空间分成两个部分一个平面把空间分成两个部分同一空间内两个平面无公共点，则它同一空间内两个平面无公共点，则它们互相平行们互相平行同一空间内垂直于同一个平面的两条同一空

21、间内垂直于同一个平面的两条平面平行平面平行同一空间内平行于同一个平面的同一空间内平行于同一个平面的两个平面平行两个平面平行平行六面体对面平行且面积相等平行六面体对面平行且面积相等长方体对角面的面积相等长方体对角面的面积相等正方体外接球与内切球的球心重合正方体外接球与内切球的球心重合正四面体外接球与内切球的球心重合正四面体外接球与内切球的球心重合等体积积法等体积积法问题问题 : 类比三角形的性质，列出四面体的有关特征。类比三角形的性质，列出四面体的有关特征。(1)三角形是三角形是平面平面内由内由线段线段所围成的所围成的最简单最简单的封闭图形的封闭图形; 四面体是四面体是空间空间中由中由平面平面所

22、围成的所围成的最简单最简单的封闭图形的封闭图形(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上的各点连线所形成的图形三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上的各点连线所形成的图形; 四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形1相似性四面体任意三个面的面积之和四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积大于第四个面的面积41四面体的中位面四面体的中位面(以任意三条棱以任意三条棱的中点为顶点的三角形的中点为顶点的三角形)的面积的面积等于第四个面的面积的等于第四个面的面积的 ,且且平行于第四个面平

23、行于第四个面2类比DEABCAFCDB利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形1相似性圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0

24、 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y

25、y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V V = = R R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R圆的周长圆的周长 S S = = 2 2R R圆的面积圆的面积2 2S =RS =R例例2 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 21 1+S+S2 22 2+S+S2 23 3猜想猜想: :90 ,ABOCAOBBOCAOC 如图，四面体中，则 总结：总结：1.进行类比推理的进行类比推理的步骤步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类