2.3等差数列的前n项和-人教版高中数学必修五教案

1、教学设计方案课题名称等差数列的前 n 项和姓名工作单位河北正定中学年级学科高一数学教材版本一、教学内容分析数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。高中数列研究的主要对象是等 差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列的前 n 项和公式，它既是对等差数 列知识的运用与巩固，又是后面研究一般数列求和的基础。学生学习这个内容重点是探索并掌握等差数列前 n 项和公式，学会用公式解决一些 实际问题。高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定距离，如何从首尾配对法引出倒序 相加法，这是学生学习的障碍。因此，学生学习的难点是等差数列前 n 项和公式推导思路 的获得。二、教学目标教学既要关注到学生当

2、前的需要，也要关注学生可持续发展的需要。因此，本节课的 教学目标分为以下三个方面：（1）知识与技能： 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路，会用等差数列前 n 项和公 式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题。（2）过程与方法： 从公式的推导过程中，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生观察、 归纳、反思的能力。（3）情感、态度与价值观： 通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。三、学习者特征分析下面，我将从知识基础、认知水平与能力、班级学生特点三个方面来进行学情分析。 从认知基础 来看，高一年级学生已掌握了函数、数列等有关基础知识，并且在初中已 了解了特殊的数列求和。从认知水平与能力 来看

3、，高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能够在教师的引导 下独立的解决问题。从 班级学生特点 来看，我班学生基础知识比较扎实，思维比较活跃，能够很好地掌握教材上的内容，能较好的应用数形结合的方法解决问题，但对于处理抽象问题的能力还 有待进一步提高。四、教学过程(一) 复习回顾 首先回顾等差数列的定义、通项公式和性质，先让学生回忆，在老师的引导下，由学 生回答。设计意图： 复习通项及性质，帮助学生巩固旧知识，同时为前 n 项和公式的推导做好 知识准备。(二) 情境引入 展示高斯求和例子并引导学生推导公式。高斯是德国著名的数学家，他研究的内容涉 及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“

4、数学王子” 。在高斯 10 岁的 时候，他的算术老师提出了下面的问题：1 2 3 100 ?据说，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时， 10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出 了正确的答案：(1 100) (2 99) (50 51) 101 50 5050高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3, ,n,前 100 项的和的问题。探究：高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般等差数列的前 n 项和吗？ 设计意图： 高斯的算法蕴含着求等差数列前 n 项和的一般规律。教学时，给学生提供 充裕的时间， 让学生自己去观察发现这种数列的内在规律。 学生对于高斯的算法是熟悉的， 知道采用首尾

5、配对的方法求和。 这个例子从实际问题入手， 能激发学生学习新知识的兴趣， 为新课的讲解做铺垫。(三) 探究公式问题 1：教师：利用高斯算法如何求等差数列的前 n 项和公式？学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等， 并且都等于 a1 an 。教师：但是否刚好配对成功呢？学生：不一定，需要对 n 取值的奇偶性进行讨论。当 n 为偶数时刚好配对成功，当 n 为奇数时，中间的一项 a1 n 落单了。2教师：对于 n 的讨论太麻烦了，能否有更好的方法求前n 项和公式呢？设计意图： 高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质。 从高斯算法出发，对 n

6、进行讨论，寻找求和公式思路。对于中间项a1 n 的解决办法，让学2 生进一步体会到研究数列就是对脚标的研究。问题 2：图案中，第一层到第 21 层一共有多少颗宝石？借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把全等三角形倒置，与原图 补成平行四边形。把不同数求和问题转化为相同数求和。设计意图： 几何直观更直观，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数 学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓 励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学 思想。设计此题的目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上

7、完成对 “首尾配对”算法的改进。问题 3：如何求等差数列 an 的前 n 项和 Sn？由前面的铺垫，学生容易得出以下过程：SnSna1 ana2 an1an 1a1 2两式相加得：2Sna1ana2an1ana12Sna1ana1ana1 an2Snn a1anSnn a1an2又因为 an a1 n 1 d ，所以 Sn na1 n(n 1) d 。n12设计意图： 在前面数形结合的基础上，让学生自己动手推导求和公式。在获取知识的 过程中，进一步体会倒序相加的方法，让学生经历“发现问题 提出问题 解决问题”的 过程，同时也加深了对公式的理解与记忆。问题 4： 比较这两个公式，说说它们分别从哪

8、些方面反映了等差数列的性质？引导学生比较得出结论：若已知等差数列首相为a1 ，末项为 an ，项数为 n，可直接n a1 an运用公式一 Sn1 n 求和；若已知等差数列首相为 a1，公差为 d ，项数为 n ，则2直接运用公式二 Sn na1 n(n 1)d 求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式共包2含五个量 a1,an, n,d,Sn ，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。设计意图：加深对公式的理解记忆，分析公式的本质，能够在做题的过程中更好的选取适当的公式。(四) 公式的记忆n a1 ann a b引导学生观察公式 Sn1 n 和等腰梯形的面积计算公式 S 类比，22 于是 a

9、1 可以看成等腰梯形的上底， an 看成下底， n 看成高，那么这个公式就容易记多了。设计意图： 等差数列前 n 项和公式记牢是快速准确解决难题的根本， 学生刚看到这个 公式会为公式的记忆发愁，用常见的梯形面积公式辅助记忆，就减轻了学生的课堂负担。（五）例题讲解引用课本例一：某市提出实施“校校通”工程的总目标：从 2010 年起用 10 年时间在 全市中小学建成不同标准的校园网。据预测， 2010 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元，为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金比上一年增加 50 万元， 那么从 2010年起的 10 年内，该市在“校校通”工程中总投入是多少?设计意

10、图： 习题是对学生所学知识的反馈过程。在学习公式之后，及时练习，能够加 深学生对公式的记忆。通过对题目的分析，选取合适的公式。通过解决实际问题，让学生 体会到等差数列前 n 项和的实用性， 提升学习的兴趣，体现了本节课的情感态度与价值观 目标，突破本节课的教学重点。（六）变形训练，深化认识 为了让学生更加深刻的记忆公式，熟练掌握公式，设置了如下练习题： 已知等差数列 10, 6, 2,2（1）前多少项和是54？逆用公式，知三求一（2）用n表示前 n项和 Sn。练习：已知等差数列an 中，(1)a110,d2,an18,n _,Sn _.(2)a14,S8172,a8_,d_.知三求(3)an1

11、1,d2,Sn75,a1_,n _设计意图： 练习既有对公式的正用，又有对公式的逆用，在变形过程中，深化了对公 式的记忆，进一步巩固对等差数列前 n 项和公式的理解。（七）课堂小结首先让学生自己回忆一节课的内容， 然后抽取一位中等水平的同学来说本节课的主要内容，再次让成就优秀的学生补充前面同学的遗漏部分，最后由老师进行总结。1、 等差数列前 n 项和公式的推导：倒序相加法；2、 等差数列前 n 项和公式两种形式；3、 等差数列前 n 项和公式记忆方法；4、 等差数列前 n 项和的应用（知三求二） 。设计意图： 让学生对主要知识进行回顾， 使学生对本节内容有更深层次的认识和整体 的把握。（八）布

12、置作业必做：课本 46 页 A 组第一题、第二题选做：课本 B 组第二题设计意图： 在课外作业的布置上进行适当地分层， 要求全体学生都要对等差数列前 n 项和的求法进行掌握。同时对成绩比较好的学生进行更深层次的研究，进而提升他们的能 力。五、教学策略选择与信息技术融合的设计教师活动预设学生活动设计意图回顾等差数列的定义、 通项公式和性质让学生在老师的引导下回忆等差数列相关知识并回答。复习通项及性质， 帮助学生巩固旧 知识， 同时为前 n 项和公式的推导 做好知识准备。展示高斯求和例子并引导学生推导公式学生思考高斯的算法妙处在 哪里？这种方法能够推广到求一般 等差数列的前 n 项和吗？高斯的算法

13、蕴含 着求等差数列前 n 项和的一般规 律。教学时， 给学 生提供充裕的时 间，让学生自己去 观察发现这种数 列的内在规律。图案中，第一 层到第 21 层一共有 多少颗宝石？引导学生使用熟悉的几何方法：把 全等三角形倒置，与原图补成平行 四边形。把不同数求和问题转化为 相同数求和。设计此题的目的 在于让学生体验 “倒序相加” 这一 算法的合理性， 从 心理上完成对 “首 尾配对”算法的改 进。对公式进行分析引导学生观察公式n a1 anSn 1 n 和等腰梯 形的面等差数列前 n 项 和公式记牢是快 速准确解决难题积计算公式 S n a b 类比2的根本，学生刚看 到这个公式会为 公式的记忆发愁， 用常见的梯形面 积公式辅助记忆， 就减轻了学生的 课堂负担。六、教学评价设计1、教学过程自然，教学目标明确、具体，符合课程标准（教学大纲）的要求，切合学生 实际。2各知识点的学习目标层次合理，分类准确，描述语句具有可测量性。 3密切结合学科特点，注意情感目标的建立4. 教学内容的选择符合课程标准（教学大纲）的要求。5按照科学的分类，对教学内容进行正确地分析。重点、难点的确定符合学生的当前水平，解决措施有力、切实可行。七、教学板书八、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息，对此节课有如下反思： （1）在教学活动中，我重点突出了学生的自主探究活动，让学生自己