1846号问题的探究反思

1、1846号问题的探究反思摘要：本文通过对1846号问题的探究反思，得到了该问题的七种不同证法，六个变形命题，特殊化得到了该问题的原型命题，并给出了两个推广命题.关键词：证明；探究；反思；推广图1 2010年第5期数学通报刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题“在abc中，a=90°，ab=ac，点d1，d2在ac上，且ad1=cd2,ae1bd1于e1，延长ae1交bc于f1，ae2bd2于e2，延长ae2交bc于f2.求证：ad1b+ad2b=cd1f2+cd2f1”的证明1.我们通过对该问题认真探究反思，得到了该问题的一些有意义的结论：一是该问题的多种证法，二是该问题的变形命

2、题，三是该问题的原型命题，四是问题的推广引申. 1 探究问题的多种证法证明1 (构造全等三角形)如图2,作角a的平分线交bd1于g1，图2则 abg1caf1， ag1cf1又cd1ag145°，ad1cd2 ad1g1cd2f1 ad1g1cd2f1，即ad1bcd2f1.同理，可证ad2b=cd1f2，所以，ad1b+ad2b=cd1f2+cd2f1. 基金项目：河南省教育科学“十一五”规划课题2009-jkghag-0227.作者简介：杨宪立，男，汉族，1961年生于河南林州，副教授，大学本科，主要从事数学教育研究.注：由于证明ad2b=cd1f2与证明ad1bcd2f1的道理

3、相同，所以我们在后面的证明中，只证明ad1bcd2f1.证明2 (构造全等三角形)如图3过d1作bc的平行线d1m交ab于m，交af1于g，则在amg与d2cf1中，am=ad1=d2c,amg=d2cf1=45°,只需再证明mg=cf1即可.为此，过m作mn/af1交bc于n，过c作ch/af1交ba的延长线于h.ch/af1，ach=caf1=abd1，又ab=ac，rtachrtabd1，ah=ad1=am，而mn/af1/hc，cf1=nf1=mgamgd2cf1，cd2f1=mag=ad1b.证明3 (构造相似三角形)如图4，过f1作f1hac于h，并令，由rtrt得：，解

4、之得：rtabd1rthf1d2，ad1bhd2f1=cd2f1.证明4 (利用平行性) ad1bbaf1，为此过c作cg/ab交af1的延长线于g，如图5则gbaf1，（内错角相等）只需证明gcd2f1即可.cgabacg=90 rtabd1rtcag cg=ad1=cd2, 又f1cd2=f1cg=45° cd2f1cgf1 gcd2f1 从而有：ad1bcd2f1.证明5 (利用平行性)我们也可在点a处作ad1b的等角，使之与cd2f1处于同位角的位置.为此，取bd1的中点m，联结am并延长交bc于n，如图6.图6则mambmd1 ad1bd1am, 所以只需证明an/d2f1

5、即可.mambabmbamcaf1abd1ban，acf1abn45，ab=acabnacf1bncf1 , an=af1 an/f1d2 cd2f1can ad1b 证明6 (利用垂心)过a作bc的垂线交bd1于h，交bc于m，如图7.ambc，bhaf1， h为abf1的垂心， f1habf1h/ac又chac45° 四边形ahf1c为等腰梯形， ah=cf1，ahd1cf1d2，ad1bcd2f1.证明7 (利用计算)过f1作，并令待添加的隐藏文字内容2则，由得，ad1bhd2f1=cd2f1.2 探究问题的不同结论与变形因为c=abc=45°，adbbaf，adbb

6、af，所以若ad1bcd2f1，ad2b=cd1f2，则有新的结论：命题1 在abc中，a=90°，ab=ac，点d1，d2在ac上，且ad1=cd2,ae1bd1于e1，延长ae1交bc于f1，ae2bd2于e2，延长ae2交bc于f2.求证： bafcd2f1，baf2cd1f2.由af1b=cf1d2可知，折线af1d2满足光的反射原理，从而有命题：命题2 在abc中，a=90°,ab=ac，点d1，d2在ac上，且ad1=cd2, ae1bd1于e1，延长ae1交bc于f1，f为bc上任意一点.求证： af+fd2af1+f1d2.由于命题的条件和结论都是唯一的，所

7、以原命题的逆命题也都是成立的，从而又可得如下新的命题：命题3 在abc中，a=90°，ab=ac，点d1，d2在ac上，ae1bd1于e1，延长ae1交bc于f1，且adbbaf（或ae2bd2于e2，延长ae2交bc于f2. adbbaf），求证： ad1=cd2.命题4 在abc中，a=90°，点d1，d2在ac上，ad1=cd2，ae1bd1于e1，延长ae1交bc于f1，且adbbaf，求证： ab=ac.命题5 在abc中，ab=ac,a=90°，点d1，d2在ac上，ad1=cd2，f1在bc上，且adbbaf，求证： af1bd1.命题6 在abc中

8、，ab=ac,，点d1，d2在ac上，ad1=cd2，ae1bd1于e1，延长ae1交bc于f1，且adbbaf，求证：a=90°.以上这些命题，可类似于原命题给出证明，在此略去.3 问题的原型命题特殊化，当d1与d2重合时，即得李长明，周焕山著初等几何研究p457例42：“已知在abc中，a=90°，ab=ac，点d是ac的中点，连结bd，过a作bd的垂线交bc于e，求证：adb =cde2”.从而例42是该问题的原型命题，同时该命题也是例42问题的推广.4 问题的推广引申推广1 已知在abc中，a=90°，ab=ac，点是ac的n等分点，交bc于.求证：或.推

9、广2 已知在abc中，a=90°，ab=ac，点是ac上的2n个点，且，交bc于，交bc于，.求证：.由此可见：解答或证明之后，还应该继续深入思考，并作多方面的探究反思. 对于一个题目，寻求多种证法，既能广开思路，培养学生的思维灵活性，又能帮助我们加深对问题的理解和认识，或找到本质的解法，便于对问题进行变形、推广和深化，培养学生的思维深刻性；或找到奇解妙解，以激发学生对数学的兴趣和爱好.参考文献1 白玉娟、郭璋，数学问题解答j，数学通报,2010.5：642 李长明，周焕山.初等数学研究m,北京：高等教育出版社，1995.06：457inquiry and reflection on the problem 1846th yang xian-li(department of mathematics, henan institute of education, zhengzhou china 450046）abstract: to inquiry and reflect on the 1846th problem, we get the seven different proofs and six transformed propositions to the problem.