初等几何研究第一章习题的答案3教学专题

1、3、 关于比例相似形从 abcd的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为e、f、g、h,求证：dacbefggh()efgh是 ;() efgh abcd.证明:(1)aebd dhac a、d、e、h四点共圆（视角相等） oeh=oad同理 ogf=ocb 又adbc oad=ocb oeh=ogf ehgf 同理 efgh 四边形efgh为平行四边形 （）oehoad . efgh与 abcd对角线夹角相等且对角线又成比例 efgh abcd 3.已知：ad是abc的中线，过c的一直线分别交ad、ab与e、f。 求证：ae·bf=2af·ed证明：延长cf至点h，使得ce

2、=eh连结bh 点d是bc上的中点 de是cbh的中位线 即debh且de= bh debh ced=chb=aef afe=bfh afebfh,且bh=2ed ae·bf=2af·ed4.直线l与abcd的边ab、ad和对角线ac依次相交于e、f和g。求证：证明：连结bf、be、cf和ce， fadgeb c hdcab5.ab、cd是等腰梯形abcd的二底，求证：证明：作cd的延长线到点h，使得ah垂直ch 作点c的延长线，使得cp垂直ab cfdbae6.ad是rtabc斜边上的高,作deab于e,dfac于f.求证：ad3=bcbecf证明: ad2=bddc,

3、bd2=beba, cd2=cfca, ad4=becfabac=becfbcad约去ad,得ad3=bcbecf7.在abc中，a=60°，b=80°。求证：ac²ab²=ab · bc。acbd证明：ac²=ab(ab+bc),延长ab至d，使得bd=bc。 如图,于是，容易得出acb=40°=adc。acdabc =ac²=ab·ad=ab(ab+bc)8.abc的内切圆分别切三边bc、ca、ab于d、e、f，p在abc内，若pd平分bpc， pe平分cpa，求证：pf平分apb证明：因为pd平分b

4、pc，所以由角平分线定理有(1) 同理，（2），(1) *(2)得 则pf平分9.直径为d1、d2的o1、o2外切于t，a1、a2是它们一条外公o13t142o2ma1a2切线的切点.求证：a1a22=d1d2.证明： 过切点t作内公切线交a1a2于m，如图所示，连接o1a1，o2a2，o1o2，设o1、o2的半径分别为r1、r2 又 cbad10.在abc中，已知=2.求证： bc2=ac (ac+bc)证明；延长ca至d,使ad=ab，如图所示 ad=ab d=abd 又a=2b=d+abd d=abd=b abd的外接圆切bc于b bc2=ca cd=ac(ac+ab)11、过c作射线c

5、e交ba的延长线于e，使设 3、 关于比例相似形12. 在abc中，a1b1c1分别在bc、ca、ab上使得且bac=b1a1c1，求证：a1bc1abc.证明:在bc上去一点a2，使得 b1a2ac1，a2c1ab1 ab1a2c1是平行四边形a=c1a2b1，b=b1a2a1 c1a2b1=b1a1c1 b1c1a2a1四点共圆b1c1a1=b1a2a1=b(共弦) a1bc1abc13.在非菱形的平行四边形abcd中，ac:bd=k,m是这样的点：射线am与射线ad关于ac对称，射线bm与射线bc关于bd对称，求am:bm.证明：1+2=1+2=aob 1+2+aob+amb=360&#

6、186; 2aob+amb=2(aob+aod)aod=amb 作o到adammbbc的 高分别为h1h2h3h4 oa平分dam.ob平分mbc h1=h2 h3=h 又o是abcd的中心h1=h4 h1=h2=h3=h4 om平分amb m是d关于ac的对称点amoaod 综上有ombam 有=,=()2=()2=k2 13.把abc绕其外接圆圆心小于180°的某一角度旋转得a1b1c1，对应边ab、a1b1交于c2，bc、b1c1交于a2，ca、c1a1交于b2，求证：a2b2c2abc .证明：abc绕其外接圆圆心旋转度，得到a1b1c1 连接bb1,cc1 abc=a1b1

7、c1 c2a2b1b四点共圆 即1=1a1c1b1=acb c1b2a2c四点共圆 3=3= 2=2 c2a2b2=180°(1+2+3)c2a2b2=180°(acb+abc+) c2a2b2=180(acb+abc)c2a2b2=a 同理可得，b2c2a2=acb a2b2c2abc 15.四边形abcd内接于o,将它绕圆心o旋转小于180°的某一角度而得四边形a1b1c1d1.求证：四边形对应边ab、a1b1;bc、b1c1;cd、c1d1;da、d1a1;的交点是平行四边形之顶点。证：moa2=nob2故a2ob2+d=180° 于是有o、a2、

8、d、b2四点共圆因此1=odb2，5=oda2同理：o、a2、c、d2四点共圆因此3=ocd2，4=aco同理：o、d2、b、c2四点共圆因此6=obc2，7=obd2 同理：o、c2、a、b2四点共圆 因此8=oab2，9=oac2又因为：odb2=oab2，oda2=aco,ocd2=obd2，obc2=oac27+8=obd2+oab2,1+3=odb2+ocd2所以：7+8=1+3，即：b2c2d2=b2a2d2又：9+5=oac2+oda2，6+4=obc2+aco所以：9+5=6+4，即：c2b2a2=c2d2a2所以：四边形a2b2c2d2为平行四边形，四边形对应边ab、a1b1

9、，bc、b1c1，cdc1d1，da、d1a1的交点是一平行四边形之顶点。16已知：i是abc的内心，延长ai交bc于d,abc中三顶点a，b，c的对边为a，b，c.求证：ai:id =(b+c):a证明：利用角平分线的性质。 i是内心，bi平分b, ai:id=ab:bd ai:id=ab:bd=ac:dc 由等比性质得：=17.在下图中，用阴影标出的4个三角形面积相等。求证：没有阴影的3个四边形之面积也相等。如果一个三角形的面积为1，那么一个四边形的面积等于多少？a2c2b2ab1cba1c1s1s7s3s6s4s5s2证明：如图所示，连接aa2，c1c2。假设，=a, =b, =c, c1c2/aa2 b2c1c2b2a2a a=1+(2). c1c2/aa2 由已知 可得 ca2a2b2b2c1=a1 a2是cc1的中点 同理，b2，c2分别是aa1，bb1的中点。(3) a2是cc1的中点 s5+s4=s6+s2 s5=s6（已知s2=s4） 同理，s6=s7 即，s5=s6=s7(4)由c1c2/aa2 知 故当s1=1时，s5=s6=s7=18.已知：r、r分别为abc之