函数的求导法则PPT课件

1、一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1,)(),(处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxvxu并且在点 x处也可导.则它们的和、差u xv x( )( ) u xv xu xv x ( )( )( )( ).证hu xv xu xhv xhu xv xh0 ( )( ) ()() ( )( )lim hu xhu xv xhv xhh0 ()( ) ()( )limhhu xhu xv xhv xhh00()( )()( )limlimu xv x( )( ).2.2 函数的求导法则第1页/共27页定理2,)(),(处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxvxu并且u xv xu x v

2、xu x v x ( )( )( ) ( )( ) ( ).则它们的积u xv x( )( ) 在点 x处也可导.定理1可推广到多个函数的情形.nnu xuxuxu xuxux1212( )( )( )( )( )( ).证hu xv xu xh v xhu x v xh0 ( )( ) () ()( ) ( )lim u x( )v xh() v xh( ) u x( )v xh() hu xhh0()lim 2.2 函数的求导法则第2页/共27页hhu xhu xv xhh00()( )limlim ()hv xhv xu xh0()( )( ) lim u x v xu x v x( )

3、 ( )( ) ( ).推论Cu x(1) ( ) nu uu12(2) () Cu x( ) nnnu uuu uuu uu121212ax(3) (log) xalnln xa1.ln ( C为常数 )2.2 函数的求导法则第3页/共27页定理3,)(),(处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxvxu则它们的商u xv x( )( )在点 x处也可导.并且 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxu证),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 2.2 函数的求导法

4、则第4页/共27页hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh u x v xu x v xvx2( ) ( )( ) ( ).( ) 特别地， )(1xv)()(2xvxv 2.2 函数的求导法则第5页/共27页例1求 的导数.yxxx57322解 yxxx57322 xxx517322 xxx42853( 1)2( 7)0 xxx4285314.2.2 函数的求导法则第6页/共27页例2解的导数.求

5、函数xyexcos xxxyexexex(cos )() cos(cos )u xv xu x v xu x v x ( )( )( ) ( )( ) ( ).xxexexcossin .例3.tan的导数的导数求求xy 解)(tan xyx2cos xxx222cossincos xx22seccos1 xxcossin)(cossin xxxx cos)(sin .sec)(tan2xx )(cot x类似可得,即.csc2x 2.2 函数的求导法则第7页/共27页例4.sec的导数的导数求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossi

6、n 类似可得 )(1xv)()(2xvxv 即xxxtansec)(sec xxx(csc )csccot 2.2 函数的求导法则第8页/共27页例5xxf xxxsincos( )sincos 求 在 处的导数.x 4 xxxf xxxxxsincos2cos( )1sincossincos 解xfxxxcos( )2sincos xxxxxxxx2(cos ) (sincos )cos (sincos )2(sincos ) xxxxxxxx2sin (sincos )cos (cossin )2(sincos ) xx22(sincos ) 代入得f ()1.4 x 4 将2.2 函数的

7、求导法则第9页/共27页定理4在点 x0 可导,且其导数为二、复合函数的求导法则在点 x0 可导,而ux ( ) 如果函数在点u0可导，则复合函数yf u( ) yfx ( ) x xdyfuxdx 000()(). 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.注复合函数求导的链式法则2.2 函数的求导法则第10页/共27页证yfuu 0(),故故 uyfuu00lim() ,)(可导可导在点在点由由uufy 0u 0lim0 规定u0, 0 在点 x0 可导,从而连续，ux ( ) xu0lim0, xyx0lim xuufuxx 00lim() xxxuufux

8、x 0000() limlimlim 因此x 0lim0, fux 00()(). 故yfuuu 0() 则(*)uyf uuf u0,()( )0 (*)式仍成立!2.2 函数的求导法则第11页/共27页dydfdu dvdxdu dv dx推广的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy ),(ufy 设设),(vu vx ( ) 可导，fuvx( )( )( )注复合函数求导的关键是把握复合函数的结构，从外到内逐层求导.2.2 函数的求导法则第12页/共27页例6求函数 的导数.yx21解yx21由 和yu ux21复合而成，dydfdudxdu dxxu122xx2.1 例7求 （

9、为任意常数）的导数. yxx (0) 解xyxeln,由 和uye ux ln 复合而成，dydfdudxdu dxuex 1x 1. 2.2 函数的求导法则第13页/共27页例8求 的导数.xy lntan()24解xyuuvv ln ,tan ,24函数以下三个函数复合而成，dydfdu dvdxdu dv dx xuv lntan24 vu211sec2xx21112tan() cos ()2424xxx 11sec .cossin()2 2.2 函数的求导法则第14页/共27页例9.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解)1(sin x xe1sin.1cos11sin2xexx

10、xey1sin x1cos)1( x例10设 可导，求的导数. f x( )yxfx232()yxfxxfx23231(2()2 2() 解f xxxfx3323122 () () 2 2() x f xxfx232313().2() 2.2 函数的求导法则第15页/共27页例11求 的导数.yxxln(0)解先去掉绝对值符号再求导.xxyxxxln ,0ln,ln(),0 当 时，x0 当 时，x0 yxx1(ln ),yxxx11ln()( 1). 综上， xx1ln. )()( )(ln)(lnxfxfxfxf 2.2 函数的求导法则第16页/共27页三、反函数的求导法则定理5若严格单调

11、连续函数xy ( ) 在点 y 处可导，并且y ( )0, 则它的反函数 在yf x( ) 相应的点 x 处可导，且有fxy 1( )( ) 或dydxdxdy1 xx 以以增增量量给给x(0), 证则y0, 因函数 连续，xy ( ) 当yx0,0, yxxy1 对等式两边取极限，xxyyxxxyy00011limlimlim fxy 1( ).( ) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2.2 函数的求导法则第17页/共27页.112x 例12.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 类似可得;

12、11)(arctan2xx yycos)(sin 且且, 0 )(sin1 y)(arcsin x内有在)1,1( xarcxx21(cot ).1 为xysin 的反函数，y (,),2 2 yxarcsin 2.2 函数的求导法则第18页/共27页例13.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解 )2(22xaxy)arcsin2(2 axaxxaxax2222122 aaxa2221121 xaxax22222122 aax222.2 2.2 函数的求导法则第19页/共27页xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数

13、和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 四、基本求导公式及求导法则2.2 函数的求导法则第20页/共27页2. 函数的和、差、积、商的求导法则,)(),(处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxvxuu xv xu xv x ( )( )( )( )则 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuu xv xu x v

14、 xu x v x ( )( )( ) ( )( ) ( )Cu x( ) Cu x( ) ( C为常数 )(1)(2)(3)(4)2.2 函数的求导法则第21页/共27页则复合函数 也可导，且其导数为yfx ( ) 3. 复合函数的求导法则ux ( ) 如果函数yf u( ), 都可导，dydy dudxdu dx或y xfux ( )( )( ).4. 反函数的求导法则,0)( yf且且在对应区间在对应区间则它的反函数则它的反函数)(1xfy 内内单单调调、在在某某区区间间如如果果函函数数yIyfx)( 可可导导内也可导，且)(1 )(1yfxf 或dydxdxdy1. 2.2 函数的求导法则第22页/共27页 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合而成的，因此可以根据基本初等函数的导数、复合函数的导数以及导数的四则运算法则解决所有初等函数的求导问题.4. 初等函数的导数初等函数在定义区间内连续，但不一定可导!注2.2 函数的求导法则第23页/共27页（注意成立条件）2. 复合函数的求导法则 )()(xvxu )()(xvxu);()(xvxu .)()(xvxu 3. 反函数的求导法则（关键把握复合结构）1. 函数的和、差、积、商的求导法则牢记基本初等函数的导数公式和求导法则.内容小结2.2 函数的求导法则第24页/共27页思考