函数的单调与曲线的凹凸PPT课件

1、函数的单调性函数的单调性曲线的上升和下降曲线的上升和下降函数的凹凸性函数的凹凸性曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向用用一阶一阶导数研究导数研究用用二阶二阶导数研究导数研究第1页/共23页( ) 0yf x( )0yfxyoxyf (x)若函数若函数 yf (x) 在在a, b上上单调增加单调增加，则它的图形是一条沿则它的图形是一条沿x轴正向轴正向上升上升的曲线的曲线。ab则曲线上各点处切线的斜率则曲线上各点处切线的斜率是非负是非负的，的，即即若函数若函数 yf (x) 在在a, b上上单调减少单调减少，则它的图形是一条沿则它的图形是一条沿x轴正向轴正向下降下降的曲线的曲线。ab则曲线上各点处切线的斜

2、率则曲线上各点处切线的斜率是非正是非正的，的，即即第2页/共23页反之，若函数在某区间可导，能否用导数的符号来判反之，若函数在某区间可导，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢定函数的单调性呢？答案是答案是肯定肯定的。的。讨论：讨论：设函数设函数f (x)在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)上可导，上可导，在在a, b上任取两点上任取两点x1，x2 （不妨设（不妨设x1x2)由由Lagrange中值定理中值定理得到：得到：212112()()( )() ()f xf xfxxxx( )0fx若在若在(a, b)内导数始终内导数始终( ) 0f210 xx又21()( )0f xf x 若

3、在(a, b)内( )0fx则12 , ,xxa b有12( )()f xf xf (a)=0.) 1(111)(22xxxxxxf 证明证明 令)13 (2)(xxxf 则 例例 6 证明 当 x1 时 xx132 例6 证明 第9页/共23页 因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)单调增加0)13 (2xx 也就是xx132(x1) 因此当x1时 f(x)f(1)0 即第10页/共23页 函数曲线除了有升有降之外函数曲线除了有升有降之外, , 还有不同的弯曲方向还有不同的弯曲方向, , 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？

4、第11页/共23页v曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf 观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系 第12页/共23页v定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 32 31xy 例 6 求曲线3xy的拐点 例12 解 二阶导数无零点当x0时二阶导数不存在 因为当x0时 y0 当x0时 y0所以点(0 0)曲线的拐点 32 92xxy 第21页/共23页