函数的极限4PPT课件

1、1yxx考考察察函函数数当当 无无限限增增大大时时的的变变化化趋趋势势1100limxxxx 当当时时， 的的极极限限为为 ，记记作作1100limxxxx 当当时时， 的的极极限限为为 ，记记作作第1页/共35页.xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限 xxysin 00sinsinlimxxxxxx 当当时时，的的极极限限为为 ，记记作作第2页/共35页 .limxxfxaxfxaxfxaf xa 当当 趋趋向向于于正正无无穷穷大大时时，函函一一般般地地，当当自自变变量量 取取正正值值并并且且无无限限增增大大时时，如如果果函函数数无无限限趋

2、趋近近于于一一个个常常数数 ，就就说说记记作作： 数数的的极极限限为为 ， 也也可可记记作作：当当时时，第3页/共35页 .limxxfxaxfxaxfxaf xa 当当 趋趋向向于于负负无无穷穷大大时时，函函当当自自变变量量 取取负负值值并并且且绝绝对对值值无无限限增增大大时时，如如果果函函数数无无限限趋趋近近于于一一个个常常数数 ，就就说说记记作作： 数数的的极极限限为为 ， 也也可可记记作作：当当时时，第4页/共35页 limlimlimlimxxxxxaafxaxfxfxaaCC 若若且且，那那么么就就说说记记作作： 也也可可记记作作：时时，特特别别地地当当 趋趋向向于于无无穷穷大大时

3、时，极极，函函数数的的限限是是 ，第5页/共35页定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim第6页/共35页xxysin 几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA第7页/共35页 11273231141limlimlimlim lgxxxxxxxxx写写出出下下列列函函数数的的极极限限第8页/共35页二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限2111,( )xxf xx考考察察时时 函函数数的的变变化化趋趋势势 这个

4、函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于2，我们称常数2为f(x)当x1 时f(x)的极限。1xyo2第9页/共35页 00000.limxxxxxfxaxxfxxxfxaaf xa趋趋近近于于 时时一一般般地地，当当自自变变量量 无无限限地地趋趋近近于于一一个个常常数数但但不不等等于于时时，如如果果函函数数无无限限趋趋近近于于一一个个常常数数 ，就就说说记记作作： ，函函数数的的极极限限为为 ， 也也可可记记作作：当当时时，第10页/共35页定定义义 2 2 如如果果对对于于任任意意给给定定的的 正正数数 ( (不不论论它它

5、多多么么小小) ), ,总总存存在在正正数数 , ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x, ,对对应应的的函函数数值值)( xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常数数A就就叫叫函函 数数)( xf当当0 xx 时时的的极极限限, ,记记作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当第11页/共35页几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心

6、的去心在在当当 Ayxfyxx.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第12页/共35页1000100 xxyxxxx 考考察察函函数数 ， 当当 无无限限趋趋近近于于 时时的的极极限限第13页/共35页 00000limxxxxxxxxfxaafxfaxx是是函函数数在在点点处处的的左左极极限限一一般般地地，如如果果当当 从从点点左左侧侧 即即无无限限趋趋近近于于 时时，函函数数无无限限趋趋近近于于常常数数，就就说说，记记作作： 00000limxxxxxxxxfxaafxfaxx是是函函数数在在点点处处的的右右极极限限一一般般地地，如如果果当当 从从点点右右侧侧 即即无无限限趋趋

7、近近于于 时时，函函数数无无限限趋趋近近于于常常数数，就就说说，记记作作： 第14页/共35页判断下列命题是否成立 001 fxxfxx在在处处有有定定义义，则则在在处处一一定定有有极极限限 002 fxxfxx在在处处有有极极限限，则则在在处处一一定定有有定定义义 004 fxxfxx在在处处有有左左、右右极极限限，则则在在处处一一定定有有极极限限 003 fxxfxx在在处处有有极极限限，则则在在处处一一定定有有左左、右右极极限限第15页/共35页第16页/共35页函数极限的四则运算第17页/共35页 00000limlimlim ( )( )lim ( )( )( )lim(0)( )x

8、xxxxxxxxxf xag xbf xg xabf xg xa bf xabg xb如果，那么 000012 limlimlimlimnnxxxxxxxxxCf xCf xf xf x 注：以上法则对于仍然适用 第18页/共35页例1:求下列极限 22311 limxxx 222532 limxxxxx 24 limxxxx 421331limxxxxx 233351limxxx第19页/共35页例2:求下列极限 232121121limxxxxx 2211221limxxxx 32223236limxxxxxx 011442limxxx 381352limxxx第20页/共35页 228

9、limxaxaxaxa 31137 lim11xxx 23011632limxxxx22limxaxaxaxa第21页/共35页例3: 22221lim,xxmxnm nx已已知知，求求 222222lim,xxaxba bxx已已知知，求求 2113lim,xaxxbxa b 已已知知，求求第22页/共35页函数的连续性第23页/共35页一种是连续变化的情况一种是连续变化的情况温度计另一种是间断的或跳跃的另一种是间断的或跳跃的 例如邮寄信件时的邮费随邮例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不

10、连续的问题。究函数连续与不连续的问题。4080120160 x分y分20406080第24页/共35页0 x0 x0 x0 x第25页/共35页一般地，函数一般地，函数f（x）在点）在点x0处连续处连续必须同时具备三个条件：必须同时具备三个条件：1、 存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义。处有定义。)(0 xf2、 存在。存在。)(lim0 xfxx3、 )()(lim00 xfxfxx)(xf第26页/共35页定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)在在 处及其处及其附近有定义附近有定义，而且，而且0 xx )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点 处

11、连续处连续，0 x称为称为函数函数f(x)f(x)的连续点。的连续点。0 x第27页/共35页1、连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：xyOaxyOaxyOaxyOaxyOaxyOa连续不连续连续不连续不连续不连续练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）第28页/共35页axyo（7）不连续axyo（8）连续第29页/共35页单侧连续性：单侧连续性：并且并且如果函数如果函数 在点在点 处及其右侧处及其右侧附近附近有定义有定义0 x)()(lim00 xfxfxx则称则称f(x)f(x)在点在点 处右连续处右连续。0 x)(xfxyOa第30页/共35页类

12、似地：类似地：)()(lim00 xfxfxx0 x则称则称f(x)f(x)在在 处是左连续。处是左连续。如果函数如果函数 在点在点x x0 0处及其处及其左侧附近左侧附近有定义，并且有定义，并且)(xf221)(xxxf11xx12oxy2.5如第31页/共35页 211111, , ,axbxxfxmxbxcxxfxa b c m 例例：已已知知 且且在在 处处连连续续，求求第32页/共35页函数的连续区间函数的连续区间1 1、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果 在某一开在某一开区间区间 内内每一点处都连续，就说函每一点处都连续，就说函数数f（x）在）在开区间（开区间（a，b）内）内连续，或连续，或说说f（x）是开区间）是开区间（a，b）内内的连续函数。的连续函数。 )(xf),(ba2 2、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数 在开区间在开区间 内连续，在内连续，在左左端点端点 处处右右连续，在连续，在右右端点端点 处处左左连续，就连续，就说函数说函数 在在闭区间闭