函数的极限01739PPT课件

1、:数列极限的定义数列极限的定义:limaxnn,).01 , )().2正正整整数数N ,).3时时当当Nn .).4成成立立 axn:数极限定义数极限定义修改数列极限定义为函修改数列极限定义为函, )(nfnxn的函数的函数看成是看成是把数列的通项把数列的通项:limaxnn)(xfx,).01 , )().2正整数正整数N ,).3时时当当Nn .).4成成立立 axn)(xf)(正实数正实数XXx nxX.)(axf无限接近于常数无限接近于常数一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第1页/共24页:)(limaxfx,0. )1 ,0. )2 X,. )3时时当

2、当Xx .)(. )4成立成立 axf:时时沿实轴趋于沿实轴趋于当自变量当自变量 xxXX:时时趋于趋于当自变量当自变量 x:)(limaxfx,0. )1 ,0. )2 X,. )3时时当当Xx .)(. )4成立成立 axfoX()Xxxx)235(定义定义P第2页/共24页XX a aoxy)(xfy a几何解释几何解释:直线直线 y = a 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线:)(limaxfx,0. )1 ,0. )2 X,. )3时时当当Xx .)(. )4成立成立 axfx极限存在极限存在函数在函数在 | x | X 上有界上有界.这表明这表明: 第3页/共24页,

3、. )01 ,. )02 X,. )3时时当当Xx .)(. )4成立成立 axf.01lim.1 xx证明证明例例)(重要结论重要结论,|1.x 证证01 x,0 ,|1 x设设,1| x则则,1 X取取,|时时则当则当Xx .成立成立 01 x.01lim xx.)(lim)(lim)(lim.1axfxfaxfxxx 定理定理:,1得得根据定理根据定理,lim01xx.lim086xx第4页/共24页:. )10 xx 从右侧趋于从右侧趋于)0:(00 xxxx或或记号记号:)(limaxfxx000 x0 xx) 0 x,. )01 . )2. )3.)(. )4成立成立 axf,0

4、,00时时当当 xxxx:. )20 xx 从左侧趋于从左侧趋于)0:(00 xxxx或或记号记号:)(limaxfxx00,. )01 . )3.)(. )成立 axf40 x0 xx 0 x(x. )2,00时时当当xxx .)(axf无限接近于常数无限接近于常数,0 .)(axf无限接近于常数无限接近于常数二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限第5页/共24页:. )30 xx 趋于趋于)(0 xx :)(limaxfxx0,. )01 . )2. )3.)(. )4成立成立 axf0 x0 xxx) 0 x 0 x(,|00时时当当 xxxx,0 .)(axf

5、无限接近于常数无限接近于常数:特特别别注注意意.,)30 xx 中中!)(lim. )10限限是最重要的一种函数极是最重要的一种函数极axfxx , )0()(lim. )2000 xfxfxx还记为还记为左极限左极限:注意注意. )0()(lim000 xfxfxx又记为又记为右极限右极限:又记为又记为)(,)(0 xxaxf)132(定定义义P第6页/共24页几何解释几何解释:0 x0 x a aAx0 xy)(xfy 极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界(P36定理定理2)这表明这表明: xx.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线在以直线在以直线图形完全落图形

6、完全落函数函数邻域时邻域时的去心的去心在在当当 ayxfyxx .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 注意注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 第7页/共24页例例2. 证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有第8页/共24页例例3. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义. .1 x,)( A

7、xf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx的范围的范围要估计要估计|1| x第9页/共24页.,)(lim10必唯一必唯一如果存在如果存在定理定理xfxx)( 36P)(.略略反证法反证法证明证明)36()(2P局部有界性局部有界性定理定理,)(lim0 和和那么存在正常数那么存在正常数如果如果Maxfxx .)(,00成立成立有有时时当当Mxfxx ,)(lim0axfxx 由由证证,0,1 对于对于,00时时当当 xx,1)(成立成立 axfaaxfxf )()(,a 1.1aM 取取.证毕证毕.)(两个不同的数无限接近两个不同的数无限接近不能同时向不能同时向函数函数

8、xf0 x0 x a aax0 xy)(xfy xx.,)(lim:axfx 对于对于注注MxfXx | )(|,|有有时时当当三、函数极限的性质三、函数极限的性质第10页/共24页)37()(3P局部保号性局部保号性定理定理,0)(lim0 Axfxx如果如果,0 那么存在常数那么存在常数.0)(,00 xfxx有有时时当当 0 0 ,0)(lim0 Axfxx设设证证,02 A 对于对于,0,00时时当当 xx,)(成立成立 Axf Axf)(.02 A0 x0 xAAAx0 xy)(xfy .,)(lim:axfx 对于对于注注.)(,|同号同号与与有有时时当当axfXx )(逆逆否否定

9、定理理推推论论,0)()(0 xfxU内内如果在如果在,)(lim0Axfxx 而且而且.0 A那么那么0 0 第11页/共24页:定理定理保号性保号性.),(,0)(0)(lim00时成立时成立当当 xUxxfxfxx .|,0)(0)(lim时成立时成立当当Xxxfxfx .,00lim时成立时成立当当Nnxxnnn 000000:逆否定理逆否定理.)(lim,0)(lim0)(00存在存在如果如果xfxfxfxxxx .)(lim,0)(lim0)(存在存在如果如果xfxfxfxx .lim,0lim0存在存在如果如果nnnnnxxx , 不能改成不能改成逆否定理中的逆否定理中的.0li

10、m,02 nnnnxx但但例如数列通项例如数列通项000000第12页/共24页例例4:设设f (x) 在在 点某邻域内有定义点某邻域内有定义, 且且 0 x,1)()()(lim2000 xxxfxfxx必存在某邻域必存在某邻域 使使,),(0 x),()()(0 xfxfA ),()()(0 xfxfB ),()()(0 xfxfC ).()()(0 xfxfD 解解: 令令,)()()()(200 xxxfxfxF 有有01)(lim0 xFxx由保号定定理得由保号定定理得,必存在某邻域必存在某邻域 使使F (x) 0,),(0 x且且 ,0)(20 xx,0)()(0 xfxf即即 )

11、,()(0 xfxf 正确答案为正确答案为 ( C ). 第13页/共24页, ,)(lim400的数列的数列为任一收敛于为任一收敛于如果如果定理定理xxaxfnxx .)(limaxfnn 则则,4321xxxx),(),(),(),(4321xfxfxfxf0 xa.sinlim:不存在不存在证明证明例题例题xx, nnxnx则则令令证证 .sinlim0 nnx,22 nnyny则则再令再令 .sinlim1 nny.sinlim不存在不存在xx第14页/共24页.5定理定理那么那么有定义有定义是初等函数是初等函数若若,)(,)(0 xfxfy . )()(lim00 xfxfxx)(

12、现在不证现在不证2342lim.5221 xxxx例例2)1(34)1()1(222 .53 6523lim.6222 xxxxx例例)0,0,2(分子也为分子也为分母为分母为代入代入以以 x)3)(2()1)(2(lim2 xxxxx)0)2( ,2,2(因子因子为非为非但但 xxx312xxxlim.1 |0:0 xx定义中第三句定义中第三句极限的求法极限的求法第15页/共24页 1211lim.721xxx例例)(,1,)1(xfxf化简化简程中程中极限过极限过无定义无定义 )(lim11211xxxx)(lim1111xxxx)10( x因子因子约去非约去非111xxlim.21)2c

13、os2(lnlim.86xx 例例32 cosln.0 )( 111x第16页/共24页145lim.91 xxxx例例xxxxxxxx45145451limxxxxxx451451)(lim)1(0( x因子因子约去非约去非xxx 454lim11454 .2 第17页/共24页.)(lim)(lim)(lim.6000axfxfaxfxxxxxx 定理定理 001)(.102xxxxxf例例. )(lim0 xfx讨论讨论为分为分分段函数不是初等函数分段函数不是初等函数此为分段函数此为分段函数分析分析0.)( ,: x.,0,必须分别讨论必须分别讨论一样一样之左右两侧定义方式不之左右两侧定

14、义方式不界点界点 x:. 左极限左极限解解)(lim)(xffx000)(lim10 xx,1:右极限右极限)(lim)(xffx00020 xx lim.0.)(lim,0不存在不存在所以所以左右极限不相等左右极限不相等xfx第18页/共24页:函数极限的定义函数极限的定义, )(limxfxx0, )(limxfxx00, )(limxfxx00, )(limxfx, )(limxfx. )(limxfx:的六种趋限方式的六种趋限方式它们分别对应于自变量它们分别对应于自变量,0 xx ,00 xx,00 xx,x,x.x内容小结内容小结第19页/共24页:相关定理相关定理.)(lim)(lim)(lim. )axfxfaxfxxx 1.)()()(lim. )axfxfaxfxx 002000.,)(lim. )30必唯一必唯一如果存在如果存在xfxx:).4局部有界性局部有界性.)()(limMxfaxfxx 0:).5局部保号性局部保号性.)()(lim000 xfaxfxx)(0 xUx 0 0 第20页/共24页那么那么有定义有定义是初等函数是初等函数若若,)(,)(. )80 xfxfy . )()(lim00 xfxfxx) .( 极限计算举例极限计算举例.01lim xx重要结论重要结论0;)(lim)