函数的微分PPT课件

1、一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页的微分微分,定义定义: 若函数若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(x

2、f0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束 第3页/共27页定理定理 : 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页说明说明:0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,

4、有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页微分的几何意义微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112基本初等函数的微分公式 (见 P115表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页

5、/共27页二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页 返

6、回 结束 第9页/共27页例例2. 设设,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.第10页/共27页)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的

7、反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性 , 例如例如注意 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页三、三、 微分在近似计算中的应微分在近似计算中的应用用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页特别当特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin

8、)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页180dx29sin的近似值 .解解: 设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求求29sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848. 029sin第14页/共27页5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例5. 计算计算xx

9、1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页例例6. 有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页四、四、 微分在估计误差中的应微分在估计误差中的应用用某量的精确值为 A ,

10、 其近似值为 a ,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页例例7. 设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量D 的 绝对误差限,mm05. 0D欲利用

11、公式24DA圆钢截面积 ,解解: 计算 A 的绝对误差限约为DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差 . 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm)第19页/共27页内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页思考与练习思考与练习1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点0 x处的yy ,

12、d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页5. 设设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解: 方程两边求微分, 得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 设 ,0a且,nab 则nnba1nanba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页作业作业P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页1. 已知, )1sinarcsin(2xy 求.d