函数的极限02184PPT课件

1、.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限第1页/共27页问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察:问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第2页/共27页:. 1 定义定义定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim第3页/共27页:.10情形情

2、形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2.另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且第4页/共27页xxysin 3.几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA第5页/共27页xxysin 例1. 0sinlim xxx证明证明证xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0si

3、n xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 第6页/共27页二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 第7页/共27页:. 1 定义定义定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时

4、使当使当第8页/共27页2.几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第9页/共27页例2).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例3.l

5、im00 xxxx 证明证明证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 第10页/共27页例4. 211lim21 xxx证明证明证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点x=1处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx第11页/共27页3.单侧极限:例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 x

6、x记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy第12页/共27页左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作第13页/共27页.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim

7、0不存在不存在xfx例5证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x第14页/共27页三、函数极限的性质1.有界性定理定理 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.第15页/共27页推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设3.不等式性质定理(保序性).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxf

8、xUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设第16页/共27页).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理(保号性).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论第17页/共27页4.两边夹定理000000(, ) ( )( )( ),lim( )lim ( ),lim( )xxxxxxxN xxf xg xh xf xh xAg xA若存在，当时有，并且则第18页/共27页小结函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(l

9、imAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表)第19页/共27页过 程时 刻从此时刻以后 n x x xXNn xXxXxX )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过 程时 刻从此时刻以后 )(xf Axf)(N第20页/共27页思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存

10、存在在？第21页/共27页思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在.第22页/共27页.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练习第23页/共27页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分