函数的连续性与间断点65208PPT课件

1、1第1页/共20页2第2页/共20页3上面的定义用 “ ”语言表达如下： )()(lim00 xfxfxx就称函数 )(xf在点 连续。 定义定义2 2 设函数 )(xfy 在点 0 x的某一邻域内有定义，若函数 )(xf当 0 xx 时的极限存在， ),(0 xf即 0 x处的函数值 且等于它在点 此定义经常用来判断 函数在某点的连续性 定义定义3 3 设函数 )(xfy 在点 0 x的某一邻域内有定义，若对于 , 0 , 0 使得对于适合不等式 0 xx的一切 ,x对应的函数值 都满足不等式 )()(0 xfxf就称函数 在点 连续。 )(xf)(xf第3页/共20页4第4页/共20页5在

2、区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。函数在该区间上连续。 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。 如函数 xyxyxyln, 1,sin3是连续函数。但 xyxy1,tan不是连续函数。 第5页/共20页6证明：函数xysin是连续函数。证：),(x设 当x有增量 x 时，则 xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx 12cosxx .2sin2sin)sin(xxxxy 又因为当0 时， sinxxxxxxy 222sin2sin)sin(0当0 x 时， 由夹逼准则得. 0y 这

3、就证明了 xysin在),(内连续。 第6页/共20页7)(xf则函数 在点 0 x不连续， 0 x称为函数 )(xf的不连续点 而点 设函数 )(xf在点 0 x的某去心邻域内有定义。 有下列情形之一： （1）在0 x没有定义； （2） 虽在 有定义，但 )(lim0 xfxx不存在； （3） 虽在 有定义，且 )(lim0 xfxx存在，但 );()(lim00 xfxfxx或间断点。 )(xf若函数 第7页/共20页8例1 函数 112xxy在点 1x没有定义， 2)1(lim11lim121xxxxx 令 1x时, 2y则该函数在 1x处连续。 所以， 1x称为该函数的可去间断点可去间

4、断点。 。Oxy1x为函数的间断点。 所以 第8页/共20页9例2 函数 ,21,)(xxfy. 1, 1xx, 1lim)(lim11xxfxx而.21)1(fxyO。.改变函数的定义，令 1)1(f则该函数在 1x成为连续。 1x也称为该函数的可去间断点可去间断点。 xyO。.第9页/共20页10例3 函数, 1, 0, 1)(xxxfy. 0, 0, 0 xxxxyO。 1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx所以 )(lim0 xfx不存在。 0 x称为 该函数的跳跃间断点跳跃间断点。 第10页/共20页11例4 正切函数 xytan在2 x处没

5、有定义， 所以 2 x是函数 xytan的间断点。 Oxy2 2 23 xxtanlim2 所以，称 2 x为函数 xytan的无穷间断点无穷间断点。 第11页/共20页12第12页/共20页13第13页/共20页14例6 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。 . 1, 1,3, 1, 14; 0,1cos3;2,tan; 2, 1,2311222xxxxxyxxykkxkxxxyxxxxxy 2,1,0, , 2 第14页/共20页15解 2, 1,231122xxxxxy 231lim221xxxx21lim1xxx21x是

6、可去间断点，属于第一类间断点可去间断点，属于第一类间断点。补充定义：. 21yx时时，当当则该函数在1x点连续。0123lim222xxxx231lim222xxxx2x是无穷间断点，属于第二类间断点无穷间断点，属于第二类间断点。第15页/共20页16xxkxtanlim ,kkxkxxxy2102,tan 2 1cossinlim0 xxxxxxxtanlim0当0k时，所以 0 x是可去间断点，属于第一类间断点可去间断点，属于第一类间断点 补充定义：补充定义： .10yx时时，当当则函数在该点连续函数在该点连续。 当0k时，则 kx 是无穷间断点无穷间断点。 0tanlim2xxkx 所以

7、 2 kx是可去间断点可去间断点。属于第一类 补充定义：补充定义： . 02ykx时，时，当当 则函数在该点连续函数在该点连续。第16页/共20页17 0,1cos32xxy 时时，当当0 x函数在 -1 到 +1 之间变动无限多次， 0 x所以 是振荡间断点振荡间断点， 属于第二类间断点第二类间断点。 1, 1,3, 1, 14xxxxxy 01lim0101xfx23lim0101xfx则 1x是跳跃间断点，属于第一类间断点跳跃间断点，属于第一类间断点。 第17页/共20页18解1,1, 011,1, 01,xxxxxxxx例7 讨论函数 xxxxfnnn2211lim)(的连续性，若有间断点 判断其类型。 ,1,1, 11, 0lim2xxxxnn1,1, 01,)(xxxxxxf,1, 11, 01, 111lim22xxxxxnnn第18页/共20页19 11lim0101fxfx 11lim0101