函数模型及其应用

1、题所适用的函数模型是难点。通过观察图象，判断问题所适用的函数模型是难点。1. 1.一次函数的解析式为一次函数的解析式为_ , _ , 其图像是一条其图像是一条_线，线， 当当_时，一次函数在时，一次函数在 上为增函数，当上为增函数，当_时，时， 一次函数在一次函数在 上为减函数。上为减函数。2. 2.二次函数的解析式为二次函数的解析式为_, _, 其图像是一条其图像是一条_线，当线，当_时，函数有最小值为时，函数有最小值为_，当，当_时，函数有最大值为时，函数有最大值为_。),( ),(0)0)b(kb(kkxkxy y 0 k0 k直直)0(2 acbxaxy0 aabac442 0 aab

2、ac442 抛物抛物问题某学生早上起床太晚，为避免迟某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的一段就累了，不得不走完余下的路程。路程。如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）合此人走法的是（）tt0d0d0(A)tt0d0d0(B)tt0d0d0(D)tt0d0d0（C)908070605040302010vt12345例例1 1 一辆汽车在某段路程

3、中的行驶速度与时间的关系如图所示：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：（1 1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2 2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s kms km与时与时间间t ht h的函数解析式，并作出相应的图象的函数解析式，并作出相应的图象 542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(80

4、10200450ttttttttttS20002000210021002200220023002300240024000 01 12 23 34 45 5t ts(2)解解:下表是下表是1950年年1959年我国的人口数据资料年我国的人口数据资料:,0rteyy (2)如果按表上表的增长趋势如果按表上表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到大约在哪一年我国的人口达到13亿亿?(1)如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期的人口增如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率长率(精确到精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时

5、期的具体人口增长模型时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否并检验所得模型与实际人口数据是否相符相符;.0200.01951,56300)1(55196 ,19591951)1( 11921 rrrrr：年年的的人人口口增增长长率率可可得得由由年年的的人人口口增增长长率率分分别别为为设设解解.0184.0,0222.0,0276.0,0223.0,0197.0,0250.0,0229.0,0210.098765432 rrrrrrrr，同同理理可可得得0221. 09)(921 rrrr于是于是,19511959年期间年期间,我国人口的年平均增长率为我国人口的年平均增长率为.,

6、55196 19591951,55196 0221. 00Nteyyt 增增长长模模型型为为年年期期间间的的人人口口则则我我国国在在令令500005000055000550006000060000650006500070000700000 01 12 23 34 45 5t ty6 67 78 89 9).()(55196,0221.0下下图图的的图图象象并并作作出出函函数数点点图图根根据据上上表表的的数数据据作作出出散散Nteyt 由上图可以看出由上图可以看出,所得模型与所得模型与19501959年的实际人中数据基本吻合年的实际人中数据基本吻合.中，最重要的是二次函数模型中，最重要的是二次函

7、数模型解决应用题的一般程序是：解决应用题的一般程序是：审题审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；建立相应的数学模型；解模：解模：求解数学模型，得出数学结论；求解数学模型，得出数学结论； 实际问题实际问题 数学模型数学模型实际问题实际问题 的解的解抽象概括抽象概括数学模型数学模型 的解的解还原说明还原说明推理推理演算演算例例1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：下表：（身高：cm

8、；体重：；体重：kg）2）若体重超过相同身高男性体重平均值的）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍倍为偏胖，低于为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名倍为偏瘦，那么这个地区一名身身高为高为175cm，体重为，体重为78kg的在校男生的在校男生的体重是否的体重是否正常？正常？ y在在x 250，400上是一次函数上是一次函数 则每月获利润则每月获利润y（6x750）（）（0.8x200）6x0.8x550（250 x400） x400份时，份时，y取得最大值取得最大值870元元 答：每天从报社买进答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为份时，每月获的利润最大，最大利

9、润为870元元 例例3、某蔬菜菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的、某蔬菜菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图市时间的关系用图2的抛物线表示：的抛物线表示：（1）、写出图）、写出图1表示的表示的市场售价与时间市场售价与时间的函数关系式的函数关系式，写出图写出图2表示的种植表示的种植成本与时间的函数成本与时间的函数关系式关系式( )Pf t( )Qg t（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，

10、问何时上市的西红柿）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：210 kg元，时间单位：天），时间单位：天） 0200300t100300P0tQ50150250300100150250解解(1)由图由图1可得市场售价与时间的函数关系式为可得市场售价与时间的函数关系式为:100300,0200( )2300,200300ttf ttt 由图由图2可得种植成本与时间的函数关系式为可得种植成本与时间的函数关系式为:21( )(150)100,0300200g ttt (2)设设 时刻的纯收益为时刻的

11、纯收益为 ,则由题意得则由题意得 即即t( )h t( )( )( ),h tf tg t22171025,200300211175,020020002( )2022tttttth t 200300t 时时,配方整理得配方整理得 ,所以当所以当 时时, 取得取得 上的最大值上的最大值当当0200t 时时,配方整理得配方整理得21( )(50)100,200h tt 所以当所以当50t 时时,( )h t取得取得0,200上的最大值上的最大值100;当当21( )(350)100200h tt 300t ( )h t(200,30087.5综上综上,由由 可知可知, 在在 上可以取得最大值上可以

12、取得最大值100,此时此时 =50,即二月一日开始的第即二月一日开始的第50天时天时,上市的西红柿纯收益上市的西红柿纯收益最大最大.10087.5( )h t0,300t1. 1.一家旅社有一家旅社有100100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房每间每天房价价住房率住房率2020元元1818元元 1616元元1414元元6565 757585859595要使每天收入达到最高，每间定价应为（要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20A.20元元 B.18B.18元元 C.16C.16元元 D.14D.14元元2. 2.将进货单价为将进货单价为8080元的商品按元的商品按9090元一个售出时，能卖出元一个售出时，