线性代数大一上学期考试复习PPT学习教案

1、会计学1线性代数大一上学期考试复习线性代数大一上学期考试复习2一. 排列与反序奇排列，偶排列反序，反序数二. n阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( 例：34512反序数：6偶排列例：五阶行列式， 1352413524a a a a a13524135241324354152a a a a aa a a a a带正号第1页/共41页3三. 行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。性质5：(i) 行列式某行（列）的元全为零；(ii) 行列式有两行（列

2、）相同；(iii) 行列式有两行（列）的对应元素成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于0 。性质3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。性质4：如果某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。第2页/共41页4(1)nnaaaD2211 nnaaa2211 (2)11, 21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 几个重要结论：第3页/共41页5(3)上三角形

3、行列式 （主对角线下侧元素都为0）nnnnaaaaaaD00022211211 nnaaa2211 (4)下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 第4页/共41页6四. 行列式的计算1. 利用行列式性质计算：化为三角形行列式2. 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质进行计算化为箭形行列式第5页/共41页7例1：12nxaxxxxaxDxxxa112100nxaxxaaaa箭形行列式对第 i 列提出公因子 ai 1irr 2,3,in第6页/共41页812121()010001niinnxxxaaaa aa1121( 1

4、)()1nnniixa aaa 1ccini,211212110()101nnxaxxaaaa aa第7页/共41页9例2：12niicc122300000000nnxxxxxxaaaa按第1列展开1230000000nnxxxxaaDaaa第8页/共41页10112()nnxxx a12(1)000()00nnaaaxxxa 122300000000nnxxxxxxaaaa按第1列展开第9页/共41页11第二章 矩阵一. 矩阵概念二. 矩阵的基本运算三. 逆矩阵的计算四. 矩阵的初等变换第10页/共41页12 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 记作记作简记为：m nA

5、1,2,;1,2, ()ijaim jn实矩阵: 元素是实数mn数一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、单位阵一. 矩阵概念第11页/共41页13矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）数与矩阵相乘：数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 AA A ()ijAAa矩阵与矩阵相乘：规定(),ijm nABCc ()(),ijijm ss nABab设转置矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 或 . AAAA二. 矩阵的基本运算第12页/共41页14 A是n 阶

6、方阵， 个个kkAAAA 方阵的幂：方阵的多项式：0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且（m,k为正整数）方阵的行列式：满足: 1;nAA 2ABA B第13页/共41页15定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得ABBAE则称矩阵A是可逆的（非奇异的、满秩的）矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.判定定理:n阶方阵A可逆0A11AAA 且111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 满足规律：三. 逆矩阵的计算例: 已知求：12()A BE_41123,0203AB第14页/共41页162.

7、 克莱姆法则（求解线性方程组）1. 解矩阵方程(1)AXB (2)XAB BAX1 BAX1 bAX .,232211DDxDDxDDxDDxnn 第15页/共41页17具体包括：对换变换、倍乘变换、倍加变换四. 矩阵的初等变换初等行变换初等列变换初等变换.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵即， 1, AEEA，初初等等行行变变换换 用初等行变换法求矩阵的逆矩阵第16页/共41页18例: 设 且 ,求矩阵X.解：2,AXEX(2),AE XE101211001

8、2AE211221111 1(2),XAEE 1211(2)221111AE 1(2)XAEE 301110014A2AXEX第17页/共41页19第三章 线性方程组一. 向量组的线性相关性线性相关，线性无关的定义和判定。 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示向量组 线性相关)2(,21 mm 定义：定理：向量组 线性相关)2(,21 mm 至少存在一组不全为零的m个数m12, 使得等式112210mjjmmj 成立。第18页/共41页20二. 向量组的秩、矩阵的秩及其求法极大线性无关组：矩阵的秩：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。向量组的秩：一个向量组的极大线性无关组所含向量的

9、个数称为这个向量组的秩。化成行阶梯形矩阵后，看非零行的行数。如何求向量组或矩阵的秩?（将向量组写成）矩阵初等行变换行阶梯形矩阵若向量组的一个部分组线性无关，但将向量组中任何一个向量添加到这个线性无关的部分组中去，得到的都是线性相关的部分组，则称该线性无关部分组为向量组的极大线性无关组。第19页/共41页21例：判断下列向量组的线性相关性并求秩。(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12);解 因为10025010340014723411 12100250103400147000014所以, 向量组的秩等于4，故向量组线性无关.第20页/共

10、41页化A为阶梯形，比较rA,n之间的关系三. 线性方程组的求解 非齐次：ABrrnABrr无穷多解唯一解齐次：ArnArn无穷多解唯一解（非零解）四. 线性方程组解的结构 齐次：基础解系解集合中的一个极大线性无关组n rn rXk Xk XkX1122,通解：非齐次：,12n rk kkR 通解：01122,n rn rXXk Xk XkX其中 为AX=b0Xn rXXX 12(,)化B为阶梯形，比较rA,rB,n之间的关系（零解）的一个特解； 是导出组的一个基础解系。,12n rXXX ABrr 无解n第21页/共41页23解例. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解:12341234

11、123424530364204817110 xxxxxxxxxxxx24533642481711A21313/2275222453000075rrrr321212/72775751/21200010000rrrrrr2r 第22页/共41页242124753472xxxxx 224410,01xxxx 所以, 方程组等价于分别取得一个基础解系为:271257210,001 通解:1 122Xkk（ 为任意常数）12,k k第23页/共41页25解例. 求下列非齐次线性方程组的通解:13412341234124221223335xxxxxxxxxxxxxx1011211211()21123310

12、35A2131412310112013010130101301rrrrrr第24页/共41页26同解方程组为:通解为:3242210112013010000000000rrrrr1342321 3xxxxx3 xxxxxxxxx12343344211130010, ,001 或xxxxxx xRx第25页/共41页27 二. n维线性空间，基底与坐标 三. 基底变换与坐标变换一. 线性空间的概念 第四章 线性空间 线性空间，子空间基底，维数，坐标；如何求基底变换的过渡矩阵；如何求基底变换下的坐标变换；第26页/共41页28作业(1)求由基底1,2,3到基底1,2,3的

13、过渡矩阵;1231231210110,1 ,1 ;1 ,1,2111101 在R3中有以下两组基底：(2)已知向量在基1,2,3下的坐标为(1, 2, 3)T，求在基1,2,3 下的坐标。第27页/共41页29解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为 1123123,M 011011011121112132131101244 1121011011112111101M 123123,M 011 132244M 即：第28页/共41页30在基1,2,3下的坐标为(-1/2, -7/2, 9/2)T.(2)1231/2 7/29/2 xxx1123123 xXxMx设在基1,2,3下

14、的坐标为123(,)TXx xx1011113222443 第29页/共41页31例. 设(1)在R3中求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵; (2)求向量=(2, 5, 3)T在基1, 2, 3下的坐标.1231231210110,1 ,1 ;1 ,1,2111101 (3)已知向量在基1, 2, 3下的坐标为(2, 5, 3)T，求在基1, 2, 3下的坐标。第30页/共41页32解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为 1123123,M 011011011121112132131101244 1121011011112111101M 123123,M 011

15、 132244M 即：第31页/共41页33在基1, 2, 3下的坐标为(2, -5, 10)T.(2)112312122 01155111310 xxx 123121201151113xxx 112233,xxx123212150113111xxx 第32页/共41页34在基1, 2, 3下的坐标为(8, -23, 36)T.(3)1238 2336 xxx123213xXxMx设在基1,2,3下的坐标为123(,)TXx xx011213252443 第33页/共41页35 二. n维线性空间V中线性变换的矩阵 一. 线性变换的定义第五章 线性变换 映射 变换 线性变换1. 线性变换在给定

16、基底下的矩阵2. 线性变换在不同基底下的矩阵 (,)nTTTA 1212n=,.,.BMAM 1相似变换第34页/共41页362. 已知R3中的线性变换 使得,123011()0, ()2 , ()2112TTT 123-1101 ,0 ,1 ,1-11 求 T 在 下的矩阵.T123, 其中：第35页/共41页37解：1011101 21 123123,TTTA 1123123,ATTT 1110011 10102211 11 12A 1 110110110221011 12第36页/共41页38三. 矩阵的对角化1. 矩阵的特征根与特征向量定义:设 是 阶方阵，An若数 和 维非零列向量

17、，使得 nx Axx 成立，则称 是方阵 的一个特征根（值）， A为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。xA 第37页/共41页392. 特征根与特征向量的求法(1) 0AE 求出 即为特征根; (2) Axx 0AE x 把得到的特征根 代入上 式， 求齐次线性方程组的非零解 0AE x x即为所求特征向量。 1112121222120nnnnnnaaaaaafAEaaa 称为矩阵 的特征方程。A第38页/共41页40001010100A解：A的特征方程为01010010EA(-1)2(+1)0所以A的特征值为1=2=1, 3=-1.对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于10100