123角的平分线的性质

1、11.3 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定1. 什么叫角平分线？什么叫角平分线？ 2 .画画aob平分线平分线oc，在，在oc上任取一点上任取一点p，过，过p向向角的两边作垂线段角的两边作垂线段pd、pe，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？思考题思考题aobpedc命题：命题：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：oc是是aob的平分线，的平分线，点点p在在oc上，上，pd oa 于于d，pe ob于于e，求证：求证：

2、pd=pe.证明文字命题的一般步骤：证明文字命题的一般步骤：1.明确命题中的题设（已知）和结论（求证）；明确命题中的题设（已知）和结论（求证）；2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。aobpedc1= 2 pd oa ，pe obpd=pe.角平分线的性质定理角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。用符号语言表示为：用符号语言表示为：aobped12交换定理的题设和结论得到的命题为

3、：交换定理的题设和结论得到的命题为：c角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。已知：已知：pd oa于于d ，pe ob于于e，pd=pe. 求证：求证： 点点p在在aob的平分线上。的平分线上。角平分线的判定定理角平分线的判定定理aobpdec用符号语言表示为：用符号语言表示为：pd=pe pd oa ，pe ob 1= 2 .12练一练练一练填空：填空：(1). 1= 2，dcac， deab _(_)(2). dcac ，deab ，dc=de_(_)acdeb121= 2dc=de角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的

4、内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等例例1 已知：如图，在已知：如图，在abc中，中， ad是它的角平分线，且是它的角平分线，且bd=cd， deab于于e，dfac于于f ， 求证：求证：eb=fc。 baedcf例例2 如图，在如图，在abc中，中，d是是bc的中点，的中点， deab于于e ，dfac于于f ，且，且becf。 求证：求证：ad是是abc的角平分线。的角平分线。abcefd例例3 如图，如图，abc中，中，c=90， ad是是abc的角平分线，的角平分线， deab于于e，f在在ac上，上， b

5、d=df，求证：，求证：cf=eb。fedcba例例4 如图，已知：如图，已知：bdam于点于点d， cean于点于点e，bd、ce交点交点f， cf=bf，求证：点，求证：点f在在a的平分线上的平分线上.a a a a a a adne bfmca例例5 如图，如图，abc的角平分线的角平分线bm，cn相交于点相交于点p， 求证：点求证：点p到三边到三边ab、bc、ca的距离相等。的距离相等。点点p在在abc的角平分线的角平分线bm上上, pebc， pdab abcpmndef(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理，同理，pe=pf. pdpe=

6、pf.即点即点p到三边到三边ab、bc、ca的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点p作作pdab于于d， pebc于于e，pfac于于fpd=pep练习：练习：如图，如图，abc的的b的外角的平分线的外角的平分线bd 与与c的外角的平分线的外角的平分线ce相交于点相交于点p 求证：点求证：点p到三边到三边ab，bc，ca所在直所在直 线的距离相等线的距离相等abcdefghmn 例例6 如图，已知如图，已知abc的外角的外角cbd和和bce 的平分线相交于点的平分线相交于点f， 求证：点求证：点f在在bac的平分线上的平分线上 证明：证明：过点过点f作作fgae于于g，fhad于于h，fmb

7、c于于mghm点点f在在bce的平分线上，的平分线上， fgae， fmbc fgfm同理可证同理可证fmfhfgfh点点f在在dae的平分线上的平分线上又又 fgae，fhad 利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时，一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( ) a.一处 b. 两处 c.三处 d.四处分析:由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处。d课堂小结课堂小结1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。2.角平分线的判定定理角平分线的判定定理:角的内