数学问题解决

1、数学问题解决国外和国内的研究现状引言：1980年全美数学教师协会在一份文件中提出了“必须把问题解决作为80年代中学数学的核心”的口号,并且主张“在解决问题方面的成绩如何,将是衡量数学教育成效的有效标准”1。至此,问题解决似乎成了国际数学教育界的一大趋势。20世纪初以来,人们对问题解决及其相关思维技能作了大量的研究。这些研究主要涉及问题和问题解决的界定,问题解决的过程,影响问题解决的因素,问题解决认知机制、元认知研究以及问题解决技能的培养与教学等方面。一、数学问题解决模式和过程研究问题解决模式和过程是历来教育学家和心理学家探讨的重点。如桑代克的试误说、格式塔心理学的顿悟说、信息加工论模式等,认知

2、心理学对此也提出了众多的图式和假说,并利用计算机进行模拟。通常对于问题解决的研究采用河内塔、野人过河等一般问题,通过让解决者完成作业过程的时间、质量等进行考察2。如AusubelRobinson,Glass.Gick,Guiford,BransfordStein等都提出了自己的问题解决模式。 34。受杜威关于问题解决思想的影响,几乎所有的后继研究都把问题解决按照解决者思维发展的进程分为了三到六个不等的阶段。现代认知派在认知的层面上对问题解决的阶段进行了划分,更加注重各阶段之间的动态联系,更真实地描述了人类解决问题的动态过程,是传统阶段论的一个螺旋的上升。如Ausubel和Robinson把问题

3、解决分为呈现问题情境命题、明确问题的目标和已知条件、填补空隙、检验四个阶段5; Glass (1985)对问题解决以流程图的形式表现出来,该流程图的步骤是:形成问题的初始表征、制定问题解决的计划、重构问题表征、执行计划和检验结果。Mayer（1984）等人将数学应用题的解决过程分成四个基本过程,即转化过程、了解过程、计划过程和执行过程6。高文（1999）的研究表明,问题解决的一般图式或过程可以归结为五个阶段:问题的识别与定义、策略的选择与应用、问题的表征、资源的分配、监控与评估7。综合已有的研究可以发现,虽然各研究对于问题解决各个阶段划分的标准不一,但问题解决大致包含以下五个基本的步骤:阅读问

4、题,理解并探究问题,选择解题策略,解决问题,复习、回顾和验证解答结果。二、数学问题内在机制研究近年来,有关应用题研究的内容更加深入,对应用题的研究不仅仅停留在解题策略上,开始探讨应用题解决的内在机制以及与解题策略有关的因素以及策略的适用性上。意大利学者Daniela Lucanneli（2001）等人收集了以往对应用题解决的研究文献挑出了7种学者们公认的应用题解决中所涉及的策略:情境理解、问题表征、问题归类、解题估计、解题计划、自我评价(对列式的自我评价和对计算的自我评价),然后设计了一系列分步的应用题,让被试解答每一道应用题时回答按上述能力所设计的7个多项选择题。结果发现,只是其中的五种能力

5、对被试解题有作用即情境理解、问题表征、问题归类、解题计划和自我评价8。不同的任务决定不同的过程,问题中的些许变化,如句法、内容与结构对问题解决的难度就会产生很大影响。戈尔丁(Goldin)与卡姆(Kulm)曾提出影响问题解决结果的这样一些任务变量:句法、内容、情境变量、结构变量及启发法行为变量。基尔帕特里克(Kilpatrick)针对学生在解决应用题方面所表现出的困难进行研究,发现句子长度和短语数量等因素都是影响易读性(把问题从一般陈述转化为代数形式的容易度)与易解性(从代数形式得到答案的难易度)的因素。路海东（2004）等对影响小学生应用题解决的认知因素及其作用机制进行了探讨。结果表明,情境

6、理解、问题表征、问题归类、解题计划和自我评价是影响小学生应用题解决的主要认知因素。其中,情境理解首先影响问题表征、问题归类、解题计划和自我评价,后四个因素又进一步影响解题成绩9。三、关于数学应用题表征策略的分类及相关研究问题表征在问题解决过程中至关重要。Wetheimer指出,问题解决的典型特征在于生成合理的问题表征,即问题被恰当地组织起来:一个适宜的表征应该满足三个条件:(1)表与问题的真实结构相对应;(2)表征中的各个问题成分被恰当地结合在一起:(3)表征结合了问题解决者的其他知识。通过研究发现,正确的表征是解决问题的必要前提,在错误的或者不完整的问题空间中进行搜索是不可能求得问题正确的解

7、;问题表征是对问题信息的搜索提取和解内化的过程,问题规则(问题的约束条件)在问题表征中起着重要作用。数学应用题心理表征中存在着两种策略直接转换策略(direct translation strategy)和问题模型策略(problem-mode strategy)。Hegarty等人(1995)提出成功的应用题解决者在表征问题时通常将采用问题模型策略,首先从题中选取数字,然后对数字进行加工,其中强调量的推理,即运算过程;而不成功的应用题解决者则采用直接翻译策略,首先试图理解问题情境,然后根据情境表征制订计划,其中强调质的推理,即理解问题中条件之间的关系10。路海东等人(2003)针对我国小学生

8、表征和差应用题的策略也进行了研究,进一步证实了Hegarty等人的研究结果11。纪桂萍等(1996)在研究中把数学应用题解决中的心理表征分为形象表征和抽象表征两种。同时,她们发现小学生的思维具有形象性的特点,图形表征是小学生问题解决过程中的一种重表征系统12。我国学者张庆林等(1997)通过研究发现,学生表征应用题的方式主要有三类:复述内容、画图、找关键信息。优、中、差三类学生在表征方式的使用上差异很大,差生更多地使用复述内容的方式。同时发现结构表征最有利于元认知监视和正确解题,是最佳的表征方式13。Hegarty等人(1999)进一步把视觉空间表征区分为两种类型:图式表征和图形表征。图式表征

9、即描述问题中空间关系的表征;图形表征即描述问题中客体视觉外貌的表征方式。研究发现,采用图式表征方式的学生倾向于对问题的空间关系和空间转化进行表征,这涉及问题的主要信息而遗漏多余细节,图式表征与人的空间能力紧密联系。而采用图形表征则和问题的成功解决是呈负相关的14。澳大利亚的Tom Lowrie和Russell Kaym(2001)将应用题的表征类型分为:视觉化表征、非视觉化表征(或言语化表征)和混合型表征。研究发现问题难度影响学生对问题表征方式的选择。当学生解决难题或新颖的问题时通常采用视觉化的方式进行表征,当解决相对不难的问题时通常采用非视觉化的方式,并且无论是否正确解决了问题都有这种倾向1

10、5。综合以上的研究,我们可以发现在数学应用题解决过程中,学生的问题表征系统是很复杂的。关于不同表征方式对数学应用题解决的影响,不同研究者的结论各不相同,而且同一表征方式对问题的影响,不同研究者所持的观点也不尽相同。但大体上可以分为四类:(1)言语化表征、形象化表征和混合型表征;(2)图式表征和图形表征;(3)复述内容、画图与找关键信息;(4)形象表征与抽象表征。这些结论并非完全对立,而是有一定的相关关系或者是包含关系的。四、结语心理学家以探讨人们解决数学应用题中的心理现象和规律为目的。从以上综述和研究现状可以看出,最初对数学问题解决的研究主要集中在数学问题解决过程及模式的建构和应用中,近年来越

11、来越多的学者关注于数学问题解决内在机制问题的研究,尤其侧重于问题理解阶段的表征、问题解决各阶段的策略及使用以及调控整个解题过程的元认知分析几个方面。实践领域中也出现了应用性研究,诸如,解题策略的训练,元认知能力的培养等等。除关注于决定解题效率和正确率的认知原因以外,也有研究开始注意到非智力或认知因素对问题解决的影响。可见,对数学问题解决的心理学研究已经比较全面和丰富,很多理论模式得以继承和发展,但真正切实有效的教学策略、认知策略的训练等还需进一步完善和验证。这可能是由于心理学家更偏重于理论探讨,试图发现数学问题解决中的认知规律,而数学教育家的研究起点往往定位在数学本身,习惯用演绎的思维去推测解

12、题的心理活动,研究目的是使学生如何学会解题,如何使学生的解题能力得到发展和提高,因而两者之间缺乏沟通,使得研究的成果对教学的实践意义不大。参考文献：1：Newell S E Simon H A.Human problem solvingM.Englewood Cliffs New Jersey Prenlice- - Hall.1972.39-1462: 王甦,汪安圣.认知心理学.北京大学出版社,2003:276-308.3: 李广洲,等.化学问题解决研究.山东教育出版社,2004:10.4: MayerR E.introduction to special section(cognition

13、 and instruction in mathematics).Jourmal of Education Psychology.1989.81(4):452-456.5: D P Ausubel.教育心理学:认知观点.佘星南,等译.人民教育出版社,1994.6: MayerR E,Larlin JH,Kadane J B.A Cognitive analysis of mathematical problem solving ability .Advances in the Psychology of Human Intelligence,1984(2):231-237.7: 高文.一般的问

14、题解决模式.外国教育研究,1999(6).8:Daniela Lucangeli,Patrizio E Tressoldi,Michela Cendron.Cognitive and meta-cognitive abilities involved in the solution of mathematical word problems:validation of a comprehensive model.Contemporary Educational Psychology,2001,25(1):1-15.9: 路海东,董妍,王晓平.小学生数学应用题解决的认知机制研究.心理科学,200

15、4,27(4):867-870.10: Hegarty M,Mayer RE.Comprehension of successful and Unsuccessful Problem Salvers Journal of Educational Psychology,1995,87(1):18-32.11: 路海东,董妍.小学生数学应用题策略的研究.心理发展与教育,2003,19(1):60-63.12: 纪桂萍,焦书兰,何海东.小学生数学问题解决与心理表征.心理发展与教育,1996(1):29-32.13: 张庆林,管鹏.小学生表征应用题的元认知分析.心理发展与教育,1997,13(3):11-14.14: Mary Hegarty,Maria Kozhevnirov.Types of visualspatial representations and mathematical problem