曲线运动和相对运动课件

1、曲线运动和相对运动 (求导求导)(积分积分) dtvdadtrdv,avrr,avtr)() 1 (由)()2(trva由注意：平均速度注意：平均速度（瞬时）速度（瞬时）速度（瞬时）速率（瞬时）速率tr vdvdrttrdd vvtsdd svt ( )( )( )( )r tx t iy t jz t k曲线运动和相对运动线量线量： 线位移线位移(弧长弧长)dtdsv/线速度线速度dtdvat/切向加速度切向加速度Rvan/2法向加速度法向加速度角量：角量： 角位移角位移(rad)ddt角速度角速度(rad/s)22dddtdt角加速度角加速度(rad/s2)SSR Rv Rat2 Ran

2、te vv )(ttet O Rtene曲线运动和相对运动 O2 2 1O1P1曲率圆曲率圆1曲率圆曲率圆2P21te1ne2ne2te运动轨迹运动轨迹nteeta 2ddvv 加速度：加速度： 曲率半径曲率半径 角位置角位置 角速度角速度 角加速度角加速度 角加速度角加速度 角速度角速度 角坐标角坐标对时间求一阶导对时间求一阶导微分方程、积分微分方程、积分 曲线运动和相对运动例例8 8（00130013）一质点在平面上作曲线运动，一质点在平面上作曲线运动， 其速率其速率v与路程与路程S的关系为的关系为v = 1+S2（SI） 则其切向加速度以路程则其切向加速度以路程S来表示的表达来表示的表达

3、 式为式为?ta 解：解：切向加速度切向加速度tdvadt 2(1)22dSdSSSvdtdt )(1 (22SISS曲线运动和相对运动例例9 9 （02610261） 一质点从静止出发，沿半径一质点从静止出发，沿半径 R = 1m的圆周运动，其角加速度随时的圆周运动，其角加速度随时 间间t的变化规律是的变化规律是 = 12t2 6t (SI)(SI) 则（则（1）质点的角速度）质点的角速度 = ? （2）切向加速度）切向加速度 at = ?解：ddt dtdtt6122dtttdt002)612()/(3423sradtt （1）（2）切向加速度）切向加速度 tdvadt r )/)(612

4、(22smtt 曲线运动和相对运动一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即方成正比，即 =kt 2 ，k 为待定常数为待定常数. .已知质点已知质点在在2 s 末的线速度为末的线速度为 32 m/s。 t =0.5 s 时质点的线速度和加速度时质点的线速度和加速度 m/s 32v24RtRv2m/s 0 . 88ddRttav222m/s 25. 8aaan322s 4 RttKv24 tm/s 0 . 24 2 Rtv22m/s 0 . 2Ranv6 .

5、13)(arctanaan解解例例1010求求当当t =0.5 s 时时由题意得由题意得曲线运动和相对运动 抛体运动抛体运动(projectile motion)加速度：加速度：gaxyo速度：速度：0 xxvvgtvvyy0运动方程：运动方程：tvxx02210gttvyy0v1te2ne1ne.g.2te1nenteeta 2ddvv加速度：加速度：直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系00cosxvv00sinyvv0vg曲线运动和相对运动解：解：sin30tag物体作斜抛运动如图，测得在轨道物体作斜抛运动如图，测得在轨道A A点处速度的大小为点处速度的大小为v，其方向与水，其方向与水

6、平方向夹角成平方向夹角成3030 . . 则物体在则物体在A A点的点的切向加速度切向加速度at t= = ，轨道的曲率，轨道的曲率半径半径 = = . .gvA30 例例11112g曲线运动和相对运动2van30cosgannav2g23gv3322曲线运动和相对运动例例1212（05990599）以初速率以初速率V0，抛射角，抛射角 0抛出抛出 一物体，则其抛物线轨道最高点处一物体，则其抛物线轨道最高点处 的曲率半径的曲率半径 = ？解：解： 在最高点在最高点gan0ta gV200cosVV最高gV200)cos(曲线运动和相对运动质点在运动中质点在运动中 是否变化；是否变化； dvdt

7、dvdt na讨论题：讨论题： 一质点做抛体运动，问：一质点做抛体运动，问： 是否变化；是否变化；是否变化。是否变化。 变化变化不变不变变化变化曲线运动和相对运动同一物体相对于不同的参照系，运动状态可以不同。同一物体相对于不同的参照系，运动状态可以不同。 1.7 相对运动相对运动（relative motion）相对运动相对运动是指是指不同不同参考系中观察参考系中观察同一同一物体的运动。物体的运动。曲线运动和相对运动r 位移关系：位移关系：0rrr 速度关系：速度关系： u vv 称为称为绝对速度绝对速度（absolute velocity）v称为称为相对速度相对速度（relative vel

8、ocity）v 称为称为牵连速度牵连速度（connected velocity）u yxS0r O uA Ox yS yA uSxO r BA 仅讨论一参考系仅讨论一参考系 S 相对另一参考系相对另一参考系 S 以速度以速度 平动平动u时的情形：时的情形：曲线运动和相对运动 称为称为伽利略速度变换伽利略速度变换 vvvASASS S例例 雨天骑车人只在胸前铺雨天骑车人只在胸前铺 v雨对地雨对地=v雨对人雨对人+v人对地人对地(骑车骑车)（v ） （v ） （u ）v雨对地雨对地v 对地对地(骑车骑车)v雨对人雨对人加速度关系：加速度关系： 在在 相对于相对于S平动平动的条件下的条件下S 0aa

9、a .const u若若aa 有有, 0dd0 tua则则 一块塑料布即可遮雨。一块塑料布即可遮雨。u vv 称为称为伽利略速度变换伽利略速度变换 u vv曲线运动和相对运动几点说明：几点说明：1.以上结论是在以上结论是在绝对时空观绝对时空观下得出的：下得出的： 只有只有假定假定“长度的测量不依赖于参考系长度的测量不依赖于参考系”0rrr 只有只有假定假定“时间的测量不依赖于参考系时间的测量不依赖于参考系”绝对时空观只在绝对时空观只在 u c 时才成立。时才成立。u vv0aaa 和和才能给出位移关系式：才能给出位移关系式：（空间的绝对性），（空间的绝对性），（时间的绝对性），（时间的绝对性）

10、，才能进一步给出关系式：才能进一步给出关系式：曲线运动和相对运动 2.不可将速度的合成与分解和伽利略速度变不可将速度的合成与分解和伽利略速度变 速度的合成速度的合成是在同一个参考系中进行的，是在同一个参考系中进行的，伽利略速度变换伽利略速度变换则应用于两个参考系之间，则应用于两个参考系之间，3. 只适用于相对运动为只适用于相对运动为平动平动的情形。的情形。aaa 0换关系相混。换关系相混。只在只在u 0, a0, a0; CD: v0, a=0.各区间，各区间，何种运动？何种运动？思考思考曲线运动和相对运动6. 已知质点位矢的表示式为已知质点位矢的表示式为 (a(a、b b为常量为常量) )，

11、则该质点作，则该质点作(A)(A)匀速直线匀速直线运动运动.(B).(B)变速直线运动变速直线运动.(C).(C)抛物线运动抛物线运动. . (D)(D)一般曲线运动一般曲线运动. . jbtiatr22解：解：dtrdv(B)(B)v的大小随时间变化，但方向不变的大小随时间变化，但方向不变. .)(2j bi at曲线运动和相对运动7. 质点在质点在XOYXOY平面上运动平面上运动, ,加速度加速度 , ,初速度初速度 , ,则质点任意时则质点任意时刻的速度刻的速度 . .2/smjasmjiv/330v解：解：jdtvd/tvvdtjvd00tdtjvv00)()3(3SIjtiv思考思考

12、若质点初位矢若质点初位矢 , 则任意时刻位矢则任意时刻位矢?00rjt曲线运动和相对运动8. 质点作半径为质点作半径为R R的圆周运动，其速率的圆周运动，其速率v=ct=ct2 2 (c(c为常量为常量) )，则从，则从t=0t=0到到t t时刻，质点走过时刻，质点走过的路程的路程S(t)=S(t)= . .解：解：3/3ctS 2ctdtdStSdtctdS020质点的角位移？质点的角位移？t t时刻时刻的加速度？的加速度？思考思考曲线运动和相对运动 例例99质点沿半径为质点沿半径为0.1m的圆周运动，其的圆周运动，其角位置角位置 =2+4t2 (SI)(SI)，则则t=2s时，时， an n= ，at t= .解：解： 思路一思路一 (t) (t) at=R 思路二思路二 (t) S(t)at(t) atv(t) v an=v2/R25.6 m/s20.8 m/s2 (t) an=R 2何种圆周运动？何种圆周运动？思考思考曲线运动和相对运动将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为g 为重力加速度为重力加速度， 为切向与水平方向的夹角为切向与水平方