曲线积分习题课及选择题课件

1、曲线积分习题课及选择题曲线积分习题课曲线积分习题课主要内容主要内容典型例题典型例题曲线积分习题课及选择题一、主要内容一、主要内容1. 两类曲线积分的概念两类曲线积分的概念, 两类曲线积分两类曲线积分 的性质及两类曲线积分的关系的性质及两类曲线积分的关系.2. 两类曲线积分的计算方法两类曲线积分的计算方法.3. 格林公式格林公式, 平面曲线积分与路径无关平面曲线积分与路径无关 的条件的条件.曲线积分习题课及选择题 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),

2、(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)曲线积分习题课及选择题格林公式曲线积分习题课及选择题与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下四个命题成立则以下四个命题成立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduy

3、xUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题曲线积分习题课及选择题思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分的计算法的计算法 LyyxQxyxPd),(d),( - - DyxyPxQIdd)(曲线积分习题课及选择题 .0:,)( :22222zyxRzyxCdsyzIC其其中中计计算算例例2CCIzdsy ds解：轮换对称性轮换对称性数数由由积积分分曲曲线线化化简简被被积积函函.322332RRR

4、二、二、典型例题典型例题 CCdszyxdszyx)(31)31222（ CdsR2310曲线积分习题课及选择题例例. 计算计算,dsxIL 其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222 - - ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用利用对称性对称性 , 得得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arL yox曲线积分习题课及选择题例例 计算计算 其中其中L为为 ,)()(22 - - - LyxdyyxdxyxI解解圆周圆周: ，方向沿逆时针，方向沿

5、逆时针.222ayx - - - LadyyxdxyxI2)()(),20:(sincos: ttaytaxLdttt)cos(sin2202 - - dt - - 20 2- - dtatatatatatata - - - - 202)cos)(sincos()sin)(sincos(曲线积分习题课及选择题方方向向。为为半半径径的的圆圆周周，逆逆时时针针）为为圆圆心心，：以以（，：计计算算例例)1(01422 - - RRLyxydxxdyL解解xQyxxyyPyx - - 22222)4(4)0 , 0(),(时时，当当04,1)1(22 - - yxydxxdyR时时当当取逆时针方向。取

6、逆时针方向。内，内，在在且足够小，使得且足够小，使得其中其中：作曲线作曲线时时当当CLCrryrxCR, 0,sin2cos,1)2( 曲线积分习题课及选择题 - - - - - -CCLyxydxxdyyxydxxdy2222原原式式 drrrrr - - - 2024)sin(sin2cos2cos0 2021d 曲线积分习题课及选择题。试求试求恒有恒有任意任意与积分路径无关，且对与积分路径无关，且对且曲线积分且曲线积分导数，导数，平面上有连续的一阶偏平面上有连续的一阶偏在在例设函数例设函数),(),(2),(2,),(2),(), 1()0,0()1 ,()0,0(yxQdyyxQxyd

7、xdyyxQxydxtdyyxQxydxxOyyxQttL ( , )22P x yxyQPxxy解：设，由积分与路径无关条件得)(),(2yCxyxQ 曲线积分习题课及选择题 )1 ,()0,0(),(2tdyyxQxydx 102102)()(dyyCtdyyCt ), 1()0,0(),(2tdyyxQxydx ttdyyCtdyyC002)()(1 tdyyCtdyyCt0102)()(由题设得：由题设得：)(12tCtt 求导得：求导得：两边对两边对. 12),(12)(2- - - - yxyxQttC)(),(2yCxyxQ 曲线积分习题课及选择题。功最大？并求此最大功功最大？并

8、求此最大功所做的所做的一点时，使一点时，使的第一卦限部分上的哪的第一卦限部分上的哪沿直线移动到曲面沿直线移动到曲面原点原点，问将质点从，问将质点从已知力场已知力场例例FczbyaxOkxyjzxiyzF1.222222 ),(wvuA一一点点为为设设曲曲面面上上 OAxydzzxdyyzdxW )(000000:twzvyuxOA - - - - - - - - -解：解：曲线积分习题课及选择题 OAxydzzxdyyzdxW )(000000:twzvyuxOA - - - - - - - - -10:,: twtzvtyutxOA 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtu

9、tdwtvt 1023dttuvwuvw 222222(1)uvwLuvwabc-条件极值问题条件极值问题曲线积分习题课及选择题),3,3,3(cba.33abcW )1(222222- - cwbvauuvwF 1020202222222222cwbvaucwuvFbvuwFauvwFwvu 222222cwbvau 31 曲线积分习题课及选择题, 确定常数确定常数,),(的的梯梯度度为为某某二二元元函函数数yxu例例上上的的向向量量使使在在右右半半平平面面0 x).,(yxu并并求求分析分析令令jyxxiyxxyyxA )()(2),(24224 - - )(2),(24yxxyyxP )

10、(),(242yxxyxQ - - 如果存在二元函数如果存在二元函数),(yxu使得使得 ),(gradyxujyxQiyxP),(),( 则必有则必有,yPxQ 由此确定由此确定, 用线积分或不定积分求用线积分或不定积分求).,(yxu曲线积分习题课及选择题解解 xQ,)(2),(24 yxxyyxP )(),(242yxxyxQ - - 124524)(4)(2- - - - - - yxxyxx yP124224)(4)(2- - yxxyyxx令两者相等得令两者相等得0)1()(424 yxx1- - 即即,224yxxyP 242yxxQ - - 以下用两种方法求以下用两种方法求).

11、,(yxu曲线积分习题课及选择题xyO,224yxxyP 242yxxQ - - ),(yxuyyxxxyxxyyxdd2242),()0, 1(24 - - xyxxxd02124 - - yxyxy0222d112arctanxy- - ),(yx (1,0) (x,0)yyxxyd0242 - -,arctan2Cxy - -法一法一在右半平面内任取一点在右半平面内任取一点作为积分路径的起点作为积分路径的起点,)0 , 1(可得可得用曲线积分用曲线积分的一般表达式是的一般表达式是),(yxuC为任意常数为任意常数.曲线积分习题课及选择题法二法二 用不定积分用不定积分因为因为yQxPyyu

12、xxuuddddd ,224yxxyP 242yxxQ - - 242yxxyu - - 所以所以 ),(yxu )(dxfyyu)(d242xfyyxx - - )(d11222xfxyxy - - )(arctan2xfxy - - 另一方面另一方面, 由于由于 ),(yxPxu242yxxy - - )(arctan2xfxyx242yxxy 曲线积分习题课及选择题 - - )(arctan2xfxyx242yxxy 由此得到由此得到0)( xf从而从而Cxf )(Cxyyxu - - 2arctan),()(arctan),(2xfxyyxu - - 第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课曲线积分习题课及选择题选选 择题择题BCC曲线积分习题课及选择题C区域总位于人右侧区域总位于人右侧人沿这个方向行走，人沿这个方向行走，）（区域总位于人左侧区域总位于人左侧人沿这个方向行走，人沿这个方向行走，）（顺时针方向顺时针方向）（逆时针方向逆时针方向）（）。）。线的正向指（线的正向指（平面有界闭区域边界曲平面有界闭区域边界曲、 D C B A